Im
1. Teil der Vorlesung werden Kurven in der
Ebene und im Raum betrachtet und die sie
charakterisierenden geometrischen Größen (Länge,
Krümmung, Windung) behandelt. Als Beispiele
werden spezielle Kurven und ihre Eigenschaften
untersucht (Schleppkurve, Kettenlinie,
Zykloiden, Spiralen, Evoluten, Evolventen,
Hüllkurven,...). Desweiteren werden einige Sätze
der globalen Kurventheorie bewiesen, die
Zusammenhänge zwischen der lokalen Gestalt der
Kurve (z.B. ihrer Krümmung) und dem globalen
Verhalten der Kurve beschreiben.
Im
2. Teil der Vorlesung befassen wir uns mit
der lokalen Theorie von Flächen im R3
. Auch auf Flächen werden verschiedene
Krümmungen (Gaußsche Krümmung, mittlere
Krümmung, Hauptkrümmungen) definiert, die die
geometrische Gestalt der Fläche lokal
charakterisieren. Wir behandeln spezielle
Flächenklassen und ihre geometrische Bedeutung
(z.B. Regelflächen, Flächen konstanter
Gauß-Krümmung, Minimalflächen).
Im
3. Teil der Vorlesung befassen wir uns mit
globalen Eigenschaften von Flächen. Ein
zentraler Satz ist das Theorema Egregium von
Carl Friedrich Gauß, das aussagt, dass die
zunächst in Abhängigkeit von der Lage der Fläche
im Raum definierte Gauß'sche Krümmung nur
von der Geometrie innerhalb der Fläche selbst
abhängt. Dieser Satz zeigt z.B., dass es keine
Landkarten der Erdoberfläche geben kann, die die
geometrischen Verhältnisse exakt widerspiegeln.
Desweiteren wird der Satz von Gauß-Bonnet
und einige seiner Anwendungen behandelt.
Dieser Satz macht eine Aussage über den
Zusammenhang zwischen der (lokal) definierten
Gaußschen Krümmung auf kompakten Flächen und der
globalen Gestalt der Fläche (Anzahl der Löcher).
Als Anwendung erhält man z.B. Sätze über die
Winkelsumme von "Dreiecken" auf Flächen, die die
klassischen Sätze über Dreiecke in der
Euklidischen, der sphärischen und der
hyperbolischen Geometrie enthalten und
verallgemeinern. Als weiteres Thema werden wir
behandeln, wir man die kürzeste Verbindungskurve
(Geodäte) zwischen 2 Punkten auf einer gegebenen
Fläche findet.
Die
Vorlesung benutzt nur Kenntnisse und Methoden
aus den Vorlesungen des 1. Studienjahres
(Analysis I/ II, Lineare Algebra und
analytischeGeometrie I/II).
