Skript zur Vorlesung über Eichfeldtheorie [ps] [pdf]

Zu dieser Vorlesung ist inzwischen ein Lehrbuch erschienen:
Helga Baum: Eichfeldtheorie. Eine Einführung in die Differentialgeometrie auf Faserbündeln. Springer-Verlag, 2009.

Dieses Skript ist enthält einige ausgewählte Abschnitte aus meiner Vorlesung über Eichfeldtheorie, die ich seit Anfang der 90er Jahre mehrfach an der Humboldt-Universität unter dem Titel Hauptfaserbündel und Zusammenhänge bzw. Eichfeld- und Holonomietheorie als Teil meines Differentialgeometrie-Kurses für Studenten im Hauptstudium gehalten habe. Das hier vorliegende Skript habe ich als begleitendes Studienmaterial für den Kompaktkurs "Einführung in die Eichfeldtheorie"' zusammengestellt, den ich an der Humboldt-Universität vom 31.03.05 -02.04.05 durchgeführt habe. Dabei setze ich voraus, dass der Leser mit der Differentialrechnung auf Mannigfaltigkeiten vertraut ist.

Der vollständige Inhalt der Vorlesung "Einführung in die Eichfeld- und Holonomietheorie" ist hier (das Skript zu den fehlenden Kapiteln ist in Arbeit):

Kapitel 1:  Liesche Gruppen und homogene Räume

1.1.Liesche Gruppen und ihre Lie-Algebren
1.2.  Exponentialabbildung einer Lieschen Gruppe
1.3.  Abgeschlossene Untergruppen von Lieschen Gruppen
1.4.  Homogene Räume
1.5.  Die adjungierte Darstellung
1.6. Aufgaben zu Kapitel 1

Kapitel 2:  Hauptfaserbündel und assoziierte Vektorbündel

2.1. Lokal-triviale Faserungen
2.2.  Hauptfaserbündel
2.3.  Assoziierte Faserbündel
2.4.  Reduktion und Erweiterung von Hauptfaserbündeln
2.5. Aufgaben zu Kapitel 2

Kapitel 3:  Homotopieklassifikation für G-Hauptfaserbündel

3.1.  Numerierbare G-Hauptfaserbündel
3.2.  Universelle G-Hauptfaserbündel und Milnor-Konstruktion
3.3.  Klassifizierungssätze und Anwendungen   
3.4.  Aufgaben zu Kapitel 3

Kapitel 4:  Zusammenhänge in Hauptfaserbündeln

4.1. Zusammenhänge, Definition und Beispiele
4.2. Der affine Raum aller Zusammenhänge
4.2.  Parallelverschiebung in Hauptfaserbündeln
4.3.  Das absolute Differential eines Zusammenhanges
4.4.  Die Krümmung eines Zusammenhanges
4.5.  Zusammenhänge in U(1)-Bündeln
4.6.  Aufgaben zu Kapitel 4

Kapitel 5:  Holonomietheorie

5.1.  Reduktion und Erweiterung von Zusammenhängen
5.2.  Das Holonomiebündel
5.3.  Holonomiegruppen und parallele Schnitte
5.4.  Holonomiegruppen semi-Riemannscher Mannigfaltigkeiten
5.5. Aufgaben zu Kapitel 5

Kapitel 6:   Charakteristische Klassen in der deRham-Kohomologie

6.1.  Weil-Homomorphismus
6.2.  Chern-Klassen komplexer Vektorbündel
6.3.  Pontrjagin-Klassen reeller Vektorbündel
6.4.  Formale Potenzreihen und Geschlechter
6.5.  Aufgaben zu Kapitel 6

Kapitel 7:  Yang-Mills-Gleichungen und Instantonen

7.1.. Die Maxwell-Gleichung für ein elektromagnetisches Feld in geschlossener Form
7.2.  Die Yang-Mills-Gleichung als Euler-Lagrange-Gleichung
7.3.  Selbstduale Zusammenhänge (Instantonen)
7.4.  Der Weyl-Tensor und selbstduale Riemannsche Mannigfaltigkeiten
7.5.  Aufgaben zu Kapitel 7

Kapitel 8: Spinoren und Dirac-Operatoren

8.1. Clifford-Algebren und Spin-Gruppe
8.2. Spin-Strukturen Riemannscher und pseudo-Riemannscher Mannigfaltigkeiten
8.3. Spinorfelder und Dirac-Operator
8.4. Holonomiegruppen und parallele Spinoren
8.5. Aufgaben zu Kapitel 8 

Kapitel 9. Cartan-Zusammenhänge und ihre Holonomie

9.1. Cartan-Zusammenhänge, Definition und Beispiele
9.2. Die Krümmung eines Cartan-Zusammenhanges
9.3. Holonomiegruppen von Cartan-Zusammenhängen und parallele Traktoren
9.4. Cartan-Zusammenhänge in der konformen Geometrie
9.5. Aufgaben zu Kapitel 9