Prof. Dr. Helga Baum
Lehrveranstaltungen WS 2010/11

Vorlesung: Differentialgeometrie von Kurven und Flächen

Die Vorlesung richtet sich speziell an Studierende im Masterstudiengang der Lehramtstudiengänge als eine der zu wählenden Wahlpflichtvorlesungen Mathematik (4 SWS VL, 2SWS Ü, 2SWS SE)

Vorlesung:	Mo  09.15 -10.45 Uhr, RUD 25, 3.011, Mi   09.15 -10.45 Uhr, RUD 25, 3.011
Übung:	Mo  11.00 -12.30 Uhr, RUD 25, 1.315
Sprechzeiten:	Mittwoch nach der Vorlesung, Raum RUD 25, 1.307
Übungsaufgaben	Abgabe jeweils Montags vor der Vorlesung, Rückgabe in der Übung am Montag

Inhalt:
Die Vorlesung gibt eine Einführung in die Differentialgeometrie von Kurven und Flächen im R³, wobei besonderer Wert auf Anschaulichkeit gelegt wird.
Im 1. Teil der Vorlesung werden Kurven in der Ebene und im Raum betrachtet und die sie charakterisierenden geometrischen Größen (Länge, Krümmung, Windung) behandelt. Als Beispiele werden spezielle Kurven und ihre Eigenschaften untersucht (Schleppkurve, Kettenlinie, Zykloiden, Spiralen, Evoluten, Evolventen, Hüllkurven,...). Desweiteren werden einige Sätze der globalen Kurventheorie bewiesen, die Zusammenhänge zwischen der lokalen Gestalt der Kurve (z.B. ihrer Krümmung) und dem globalen Verhalten der Kurve beschreiben.
Im 2. Teil der Vorlesung befassen wir uns mit der lokalen Theorie von Flächen im R³  . Auch auf  Flächen werden verschiedene Krümmungen (Gaußsche Krümmung, mittlere Krümmung , Hauptkrümmungen) definiert, die ihre geometrische Gestalt lokal beschreiben. Es wird erklärt, wie man den Flächeninhalt von Flächenstücken berechnet  und die kürzeste Verbindungskurve zwischen 2 Punkten auf einer gegebenen Fläche (Geodäte) findet. Ein zentraler Satz ist das Theorema Egregium von Carl Friedrich Gauß, das aussagt, dass die zunächst in Abhängigkeit von der Lage der Fläche im Raum definierte Gauß'sche Krümmung  nur von der Geometrie innerhalb der Fläche selbst abhängt. Dieser Satz zeigt z.B., dass es keine Landkarten der Erdoberfläche geben kann, die die geometrischen Verhältnisse exakt widerspiegeln. Als Beispiele werden z.B. Flächen konstanter Gaußscher Krümmung, Regelflächen, Rotationsflächen und Minimalflächen behandelt. 
Im 3. Teil der Vorlesung wird der Satz von Gauß-Bonnet und einige seiner Anwendungen behandelt.  Dieser Satz macht eine Aussage über den Zusammenhang zwischen der (lokal) definierten Gaußschen Krümmung auf kompakten Flächen und der globalen Gestalt der Fläche (Anzahl der Löcher). Als Anwendung erhält man z.B. Sätze über die Winkelsumme von "Dreiecken" auf Flächen, die die klassischen Sätze  über Dreiecke in der Euklidischen, der sphärischen und der hyperbolischen Geometrie enthalten und verallgemeinern.

Voraussetzungen: 
Die Vorlesung benutzt nur Kenntnisse und Methoden aus den Vorlesungen des 1. Studienjahres (Analysis I/ II, Lineare Algebra und Geometrie I/II)

Geplante Fortsetzung:

Im SS 2011 findet, wie im Studienplan vorgesehen, das aufbauende Seminar zur Vorlesung statt (ggf. nach Absprache als Kompaktseminar).

Modulprüfung:
Die Modulprüfung findet als mündliche Prüfung statt. Termin: 21.02.2011 (Bitte vergesssen Sie nicht, sich 14 Tage vorher im Prüfungsamt anzumelden)