Numerik Applets

Konvergenz und Stabilitätsgebiete
Die Lösungen der Anfangswertaufgabe

\begin{displaymath}\begin{array}{l} \dot{x}=Bx\\ x(t_0)=x_0\\ \end{array}\end{displaymath}

klingen für wachsendes $ t$ ab, falls $ \Lambda(B)\subset\mathbb{C}^{-}$(Eigenwerte der Matrix $ B$ haben negativen Realteil).

Wir betrachten die Differentialgleichung

\begin{displaymath}\left(% \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \\end{array}% ... ...(% \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \end{array}% \right)\end{displaymath}

Die Eigenwerte von $ B$ sind: $ \lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta i$.
Ein Integrationsverfahren erzeugt für konstante Schrittweiten $ h$ nur dann eine abklingende Approximation der Lösung der Differentialgleichung, wenn die komplexe Zahl $ z=h\cdot \lambda$ im Stabilitätsbereich des Integrationsverfahren liegt. Die Stabilitätsbereiche der expliziten Adams-Bashforth Verfahren der Ordnung $ m=1$(rot), $ m=2$(grün) und $ m=3$(blau) sind dargestellt.

Wählen Sie durch Klicken in die ''komplexe Ebene'' Werte für $ \alpha$ und $ \beta$.
Vergleichen Sie für verschiedene Werte von $ h$ (innerhalb bzw. außerhalb der Stabilitätsgebiete) die Lösungen der drei Integrationsverfahren mit der exakten Lösung.


Letzte Änderung am 18.11.04 durch Heinrich Mellmann @Mail: mellmann@mathematik.hu-berlin.de