Das Rätsel des Zahlenrätsels
 von René Lamour

Raetselbild

Wie bestimmt man die Lösung eines Zahlenrätsels ?

Jedem Symbol wird eine Variablenbezeichnung zugeordnet. Man erhält
 
 
 

AAA
-
B
=
 ACD
+
+
+
 EBF
-
 FDG
=
 BGD
HGB
-
FDH
=
GI E
    und daraus sechs Beziehungen 

    (3 waagerecht und 3 senkrecht)
AAA
 -
B
   = ACD
EBF
-
 FDG   = BGD
HGB
-
 FDH   = GIE
AAA
+
EBF
   = HGB
B
+
 FDG   = FDH
ACD
+
 BGD   = GIE

 

Aus diesen Beziehungen können sechs Gleichungen erzeugt werden, wenn man bedenkt, dass die Zahl

XYZ   eigentlich 100 X + 10 Y + Z

entspricht. Wir zeigen das an der zweiten Beziehung

100 E + 10 B + F - (100 F + 10 D +G) = 100 B +10 G + D.

Ordnet man die Gleichung nach den Variablen um, ergibt sich

 -90 B - 11 D + 100 E - 99 F -11 G = 0.

Für alle Gleichungen erhalten wir ein Gleichungssystem mit sechs Gleichungen und s  (hier = 9) Unbekannten

matrix

Die Matrix  K, die die Koeffizienten enthält, wird (mit dem Householder-Verfahren) zerlegt und dabei ihr Rang r bestimmt. Der Rang ist bei "richtigen" Aufgaben sehr oft  fünf. Mit diesen Informationen schreiben wir



wobei K1 regulär ist und Pz Zeilenkombinationen und Ps eine Spaltenpermutation bewirken. Nutzen wir diese Zerlegung, dann hat das Gleichungssystem die Form

Wir erhalten eine Darstellung für  X1 = - K1-1 K2 X2  . Dabei variieren in X2  (s - r) Variable zwischen 0 und 9. Es müssen also

Gleichungssysteme gelöst und dann die Lösungen auf ihre Gültigkeit überprüft werden. Das heißt, dass alle Komponenten der Lösung

nichtnegativ, ganzzahlig zwischen 0 und 9 und paarweise verschieden

sein müssen.

Für Fragen kann man mir eine Mail schicken.
13.6.2002