Topologie

Montag 13-15 Rud 26, 0'313 und Mittwoch 13-15, RUD 26, 0'311

Vorlesender:  Klaus Mohnke
                           Büro: Adlershof, Haus 1,  Zimmer 306
                           Phone: (030) 2093 1814
                           Fax: (030) 2093 2727
                           Email:   mohnke@mathematik.hu-berlin.de
 

Übung:  Donnerstag 15-17 Uhr, RUD 25, 3.007; Florin Belgun

 

Sprechstunden und email-Adressen:
 
Mohnke     Mittwoch 9-11, Rud 25, 1.306 und nach Vereinbarung
Belgun
    Dienstag 11-13, Donnerstag 14-15, Rud 25, 1.108
    belgun@mathematik.hu-berlin.de


Übungsaufgaben

Blatt 01
Blatt 02
Blatt 03
Blatt 04
Blatt 05
Blatt 06
Blatt 07
Blatt 08
Blatt 09
Blatt 10
Blatt 11
Blatt 12

Ausgewählte Musterlösungen und Diskussionen (Beiträge in LaTeX sind willkommen)

Blatt 2, Aufgabe 11 (2) (F.Belgun)
G-->Homoö(X) ist stetig für G-Raum X
(K. Mohnke)
Blatt5 Aufgabe 19 (Peter Herbrich)
Blatt5 Aufgabe 21 (Peter Herbrich)
Der Satz von Tychonoff (Sela Fried)
Blatt 6 Aufgabe 24 (Peter Herbrich)
Blatt 8 (Peter Herbrich)



Modell der Boyschen Flaeche in Oberwolfach    Modell der Boyschen Fläche vor der Bibliothek des Mathematischen Forschungsinstitutes in Oberwolfach. Die Boysche Fläche ist eine Immersion der reell projektiven Ebene in den Raum, mit einer glatten Kurve von Doppelpunkten, die eine dreifache Selbstüberschneidung besitzt.



Topologie ist ein relativ junger Zweig der Mathematik. Sie stellt Methoden bereit, um relativ komplizierte geometrisch-kombinatorische oder analytische Sachverhalte mithilfe unser niedrigdimensionalen Anschauung zu erfassen und nach bestimmten logischen regeln zu studieren. Erste topologische Sachverhalte wurden schon im 18. und 19. Jahrhundert entdeckt (Eulerscher Polyedersatz, Jordanscher Kurvensatz, Gauss' Windungszahl). Die logische Klammer wurde jedoch erst im 20.Jahrhundert gefunden. Interessanterweise fielen hier mehrere Entwicklungen zusammen: die Popularisierung und Rechtfertigung des Studiums von Mannigfaltigkeiten durch Riemann und ganz entscheidend Poinarés Arbeiten zu Differentialgleichungen, sowie die dafür eigentlich a priori notwendige Begriffsbildung des topologischen Raumes durch Hausdorff, der wesentlich durch Cantors mengentheoretische Arbeiten inspiriert wurde.

Drei wesentliche Fragestellungen, die in der Vorlesung exemplarisch illustriert werden sind
  (1) Die Klassifikation topologischer Räume mit bestimmten Eigenschaften bis auf Homöomorphie oder andere topologische Relationen. Die Lösungen solcher Probleme können sehr viel Geld wert sein    (http://www.claymath.org/millennium/Poincare_Conjecture/)!
 (2) Die Untersuchung von algebraischen  Eigenschaften der Gruppe der Homöomorphismen (Diffeomorphismen) eines gegebenen Raumes. Selbst fūr den Kreis, ist das noch lange nicht verstanden. Allegemeiner interesssiert man sich fūr Eigenschaften stetiger Abbildungen, beispielsweise die Frage, ob diese Fixpunkte besitzen.
 (3)  Schließlich möchte man Eigenschaften topologischer Räume finden: Obstruktionen und Invarinaten. Beispielsweise fūr stetige Abbildungen und deren Forstsetzbarkeit.


Die Vorlesung wendet sich an Studenten mit soliden Grundkentnissen in Analysis und Algebra (ab dem 2.Studienjahr). Es ist geplant einen großen Teil der Vorlesung mit der Einfūhrung in die Algebraische Topologie zu verbringen. Ein Schein zur erfolgreichen Teilnahme  wird fūr die aktive Teilnahme am Übungsbetrieb vergeben (Vorrechnen der Übungsaufgaben, Mitarbeit).




statt eines Skriptes folgen wir soweit es möglich ist:
(1) Hatcher: Algebraic Topology, http://www.math.cornell.edu/~hatcher

Mengentopologie:
(2) Jänich: Topologie, Springer-Lehrbuch,
(3) Steen, Seebach:  Counterexamples in Topology: Springer

Klassifikation der Flächen:
(4) Boltjanskij, Efremovič: Anschauliche kombinatorische Topologie
(5) Massey: A basic course in algebraic topology

Algebraische Topologie:
(6) Greenberg, Harper: Algebraic Topology: A first course, Addison-Wesley
(7) Spanier: Algebraic Topology, Springer

Themen der Vorlesung (mit Vorbehalt):
 

                     - topologischer Raum (offene, abgeschlossene Mengen, Umgebung, Inneres, Abschluss,
                        topologische Summe und Produkt, Quotienten)
                     - zusammenhängende und wegezusammenhängende Räume und Teilmengen
                     - Trennungsaxiome (Hausdorff-Eigenschaft)
                     - Kompakteit
                     - Abzählbarkeitsaxiome
                     - Quotienten

                     - topologische Mannigfaltigkeiten (Definition, Beispiele)
                     - Invarianz der Dimension, Invarianz des Randes)
                     - zusammenhängende Summen
                     - Triangulierungen
                     - Klassifikation der Flächen
                     - Homotopie
                     - Fundamentalgruppe (einfach zusammenhängende topologische Räume, S1)
                     - Retraktionen, Homotopieinvarianz
                     - Seifert-vanKampen-Theorem (Fundamentalgruppen der Flächen)
                     - Überlagerungen (Hebbarkeit von Abbildungen, Universalüberlagerung, Decktransformationen)
                     - Singuläre Homologie (Definition,



Klaus Mohnke
Mi, 6. Juni  2007, 11:05