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Interpolation: Newton versus Spline

Es existieren verschieden Verfahren zur Interpolation einer Population diskreter Punkte. Wir stellen die Polynom- und die Splineinterpolation gegenüber.

Seien  Stützstellen $ t_1,...,t_n\in\mathds{R}$ und Funktionswerte $ f(t_1),...,(t_n)\in\mathds{R}$ einer Funktion $ f$ gegeben.

Als Erstes betrachten wir die Interpolation mit Polynomen:
Hierbei wird ein Polynom $ P$ mit $ \deg{P}\leq n-1$ konstruiert das die Interpolationsbedingungen

$\displaystyle P(t_i)=f(t_i), \>\>\>\>\>\>i=1,...,n$

erfüllt. Wir bilden

$\displaystyle p_i = \prod_{j=1,j\neq i}^n\frac{t-t_j}{t_i-t_j},$

dann gilt

\begin{displaymath}p_i(t_k) = \left\{% \begin{array}{ll} 0, & k=i \\ 1, & k\neq i \\ \end{array}% \right.,\end{displaymath}

und es ist $ \deg{p_i}=n-1$.

Das Polynom

$\displaystyle P(t):=L(t):=\sum_{i=1}^np_i(t)f(t_i)$

erfüllt dann alle gestellten Bedingungen. Dieses Polynom wird das Interpolationspolynom von Lagrange genannt.
Für praktische Berechnungen wird die Darstellung in Form des Newtonschen Interpolationspolynoms benutzt.

  Als Zweites die Interpolation mit Natürlichen Kubischen Splinefunktionen:

Bei der Interpolation mittels kubischer Splinefunktionen wird der Funktionsverlauf innerhalb der einzelnen Intervalle durch Polynome 3-ten Grades interpoliert. Eine interpolierende natürliche Splinefunktion kann also geschrieben werden als

\begin{displaymath}S(t)=\left\{% \begin{array}{ll} S_0(t) &, t\in[t_0,t_1] \\... ... S_{n-1}(t) &, t\in[t_{n-1},t_n] \\ \end{array}% \right. \end{displaymath}

wobei die $ S_i$  Polynome 3-ten Grades sind. Für die Polynome $ S_i$ verwendet man den Ansatz

$\displaystyle S_i(t)=\frac{1}{6}M_{i+1}\cdot\frac{(t-t_i)^3}{h_i}+\frac{1}{6}M_{i}\cdot\frac{(t_{i+1}-t)^3}{h_i}+c_i(t-t_i)+d_i,$

wobei $ h_i = t_{i+1}-t_i$, und $ M_{i-1},M_i,c_i$ und $ d_i$ unbekannte Konstanten sind. Zusätzlich werden an die Splinefunktion $ S$ folgende Bedingungen gestellt:
  • Interpolationsbedingung:

    $\displaystyle S(t_i)=f(t_i), i=0,..,n;$

  • Stetigkeit der Tangente:

    $\displaystyle S_i'(t_{i+1})=S_{i+1}'(t_{i+1}), i=0,..,n-2;$

  • Stetigkeit der Krümmung:

    $\displaystyle S_i''(t_{i+1})=S_{i+1}''(t_{i+1}), i=0,..,n-2;$

  • ''Natürliche'' Randbedingung:
    $\displaystyle S_0''(t_{0})=S_{n-1}''(t_{n})=0;$
Mit diesen Bedingungen erhält man ein lineares Gleichungssystem zur Bestimmung der Unbekannten Mi.


Bei zunehmender Anzahl der Stützstellen steigt auch der Grad des Lagrange-/Newton-Polynoms, was dazu führt, dass es im Vergleich zur Spline-Funkion besonders stark oszilliert.

Vergleichen Sie das Interpolationsverhalten beider Verfahren bei verschiedener Anzahl von Stützstellen und deren Verteilung jeweils für die Runge- und Sinus-Funktion.



Letzte Änderung am 18.05.05 durch Heinrich Mellmann @Mail: mellmann@mathematik.hu-berlin.de