PS Differentialgeometrie von Kurven und Flächen (SoSe 2013)
Beschreibung des Seminars
Dieses Proseminar bietet eine Einführung in die Theorie von Kurven und Flächen im euklidischen Raum R^n. Insbesondere sind diese sehr anschauliche Beispiele für allgemeine Begriffe und Theorien der Differentialgeometrie für (Unter-)Mannigfaltigkeiten.
Im ersten Teil beschäftigen wir uns mit (glatten) Kurven in der Ebene sowie im Raum und im zweiten Teil dann mit Flächen. Im Gegensatz zur Analysis III stehen hier nicht die analytischen Eigenschaften dieser Objekete im Vordergrund, sondern ihre Geometrie. Wir behandeln zunächst die geometrischen Eigenschaften dieser Objekte (Länge, Flächeninhalt und vor allem Krümmung) an sich und betrachten dann Aussagen darüber, wie die lokalen geometrischen Daten das globale Verhalten der Kurven bzw. Flächen bestimmen.
Organisatorisches
Voraussetzungen
Analysis I-III (insb. Differentialgleichungen, Differentialrechnung mehrerer Variabler, möglichst auch Untermannigfaltigkeiten des Rn), Lineare Algebra I und II, für einige Teile event. Funktionentheorie
Das Seminar richtet sich insbesondere an Hörer_innen des Analysis-Grundkurses von Prof. Baum, bei den Teilnahmevoraussetzungen gehe ich von den in diesem Kurs erworbenen Kenntnissen aus. Andere Teilnehmer_innen sind aber ebenfalls herzlich willkommen. Wenn Sie nicht alle vorausgesetzten Kentnisse haben, kann ich das bei der Themenvergabe berücksichtigen.
Organisation
Zeit und Ort: Mittwochs 9-11, RUD25, 3.006
Seminarleiter: Christoph Stadtmüller, Sprechstunde Fr 10-11, RUD 25 1.310 (für kurze Fragen, zur Vorbereitung des Vortrags bitte Termin vereinbaren)
Anmeldung und Vergabe der Themen beim ersten Termin (Mi 10.4.).
Bedingungen für den Seminarschein
- Regelmäße (d.h. wöchentliche) Teilnahme am Seminar
- Guter eigener Vortrag
- Schriftliche Ausarbeitung des Vortrags (handschriftlich reicht, das ist aber auch eine gute Gelegenheit, sich in LaTeX zu trainieren - ein kleiner Hinweis zu Graphiken steht am Ende der Seite, ansonsten helfe ich bei (mit dem Proseminar verbundenen) TeX-Problemen auch gerne weiter)
Seminarplan
| Datum | Thema | Vortragende/r |
| 10.4. | Seminarplanung | |
| 17.4. | kein Seminar | |
| 24.4. | Parametrisierte Kurven, Krümmung und Windung, insb. für ebene Kurven und Raumkurven | Julia Schaeffer |
| 1.5. | Kein Seminar (Tag der Arbeit) | |
| 8.5. | Totalkrümmung ebener Kurven, Umflaufzahl | Henning Sauter |
| 15.5. | Totalkrümmung von Raumkurven (Sätze von Fenchel, Fary/Milnor) | Felix Nötzel |
| 22.5. | Flächen, Erste Fundamentalform, grundlegende geometrische Daten (Längen, Winkel, Flächen), Gauß-Abbildung und Zweite Fundamentalform | Klara Schmitt |
| 29.5. | Krümmungsbegriffe (Normalenkrümmung, Gauß-Krümmung, mittlere Krümmung) | Hilko Paschke |
| 5.6. | Rotationsflächen oder Regelflächen | Tobias Berchner |
| 12.6. | Minimalflächen I (Motivation, Definiton, Variation der Fläche) | Cornelius Pech |
| 13.6. 9-11 | Minimalflächen II (Minimalflächen und holomorphe Funktionen) Raum 3.007 | Victor Warno |
| 19.6. | Verhalten geometrischer Eigenschaften unter Abbildungen (Isometrien, konforme und flächentreue Abbildungen) | Martin Zesewitz |
| 26.6. | Vektorfelder und kovariante Ableitung | Alejandro de Miquel |
| 3.7. | Das "theorema egregium" | Marc Sastre Rienitz |
| 10.7. | Triangulierung von Flächen und Euler-Charakteristik | Daniel Platt |
| 11.7. 9-11 | Der Satz von Gauß-Bonnet Raum 3.007 | Maik Pickl |
Detailliertere Beschreibungen der ersten Vorträge finden Sie im detaillierten Seminarplan (aktualisiert am 12.4.).
Literatur
| Signatur (HU-Bib) | ||
| [B] | C. Bär, Elementare Differentialgeometrie, de Gruyter Lehrbuch 2001 Aus dem HU-Netz online verfügbar | SK 370 B141 |
| [DC] | M. DoCarmo, Differentialgeometrie von Kurven und Flächen, Vieweg 1983 (und neuere Auflagen) | SK 370 C287 D56 |
| [EJ] | J.-H. Eschenburg und J. Jost, Differentialgeometrie und Minimalflächen, Springer Aus dem HU-Netz online verfügbar | SK370 J84 D5 |
| [K] | W. Kühnel: Differentialgeometrie. Kurven - Flächen - Mannigfaltigkeiten, Vieweg 1999 (und neuer Auflagen) Aus dem HU-Netz online verfügbar | SK370 K95 |
| [W] | V. Wünsch: Differentialgeometrie von Kurven und Flächen, Teubner 1997 od. Wissenschaftverlag Thüringen 2012 | SK370 W959 |
Allgemeine Hinweise zu den Vorträgen
Vorbereitung
Beginnen Sie rechtzeitig mit der Vorbereitung Ihres Vortrages! Sie müssen sich selbständig in unbekanntes Material einarbeiten, das braucht seine Zeit. Spätestens eine Woche vor Ihrem Vortrag treffen Sie sich mit mir, um Ihr Konzept für den Vortrag zu besprechen.Die im Seminarplan enthaltenen Literaturangaben sind nicht abschließend, es exitieren weitere Bücher zu dem Thema - eine Blick in ein anderes Buch kann helfen, ein Thema aus verschiedenen Blickwinkeln zu sehen und dadurch besser zu verstehen.
Vortrag
- Wichtigstes Ziel Ihres Vortrages ist, dass Ihre Zuhörer_innen Sie verstehen und nicht dem Seminarleiter zu zeigen, dass sie das Thema verstanden haben (das merkt dieser ohenhin, wenn Sie den ersten Punkt erfüllen). Sieh dazu auch den nächsten Punkt.
- Wenn Sie Ihren Vortrag sorgfältig vorbereitet haben, sind Sie Experte auf diesem Gebiet - Ihre Zuhörer_innen, für die sie den Vortrag halten, aber nicht! Das sollten Sie bei Art und Geschwindigkeit der Erklärungen beachten.
- Nehmen Sie Nachfragen als Zeichen, dass Ihr Vortrag aufmerksam verfolgt wird und nicht als Kritik.
- Mathematik wird an der Tafel gemacht: Beamer (Wer einen benötigt, sagt mir bitte vorher bescheid) und Polylux können zur Unterstützung herangezogen werden (z.B. um Bilder zu zeigen), die mathematische Theorie wird an der Tafel entwickelt. Das wirkt u.a. auch als natürliche Bremse Ihres Vortragstempos.
- Kurven und Flächen sind sehr anschauliche Objekte - das sollte man auch in Ihren Vorträgen merken: Skizzen und Bilder können viel zum Verständnis beitragen.
