Zusätzliche Lehrveranstaltungen

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN: EINFÜHRUNG J. GEISER
IN DIE DISKRETISIERUNGS- UND LÖSUNGSVERFAHREN (D-B,AN) C. CARSTENSEN
2 SWS VL pro Woche, Do 09-11 Uhr, RUD 25, 1.115

Inhalt:

Im Rahmen einer weiterführenden VL für Differentialgleichungen soll ein Zugang mit approximativen Verfahren von gewöhnlichen Differentialgleichungen bis hin zu speziellen partiellen Differentialgleichungen gegeben werden. Es werden dabei verschiedene Diskretisierungs- und Lösungsverfahren präsentiert. Die VL ist in 3 Teile untergliedert:
Im ersten Teil werden die gewöhnlichen Differentialgleichungen behandelt. Dabei werden Finite-Differenzen-, implizite und explizite Runge-Kutta-Verfahren, Einschritt- und Mehrschrittverfahren als Grundlagen eingeführt. Der Begriff der nichtsteifen und steifen Systeme, sowie einfache Stabilitäts- und Konvergenzaussagen werden behandelt.
Im zweiten Teil werden die partiellen Differentialgleichungen mit Ausrichtung auf parabolische Differentialgleichungen behandelt. Es wird über den Galerkin-Ansatz der Übergang von den gewöhnlichen zu den partiellen Differentialgleichungen durchgeführt. Dabei sollen Finite-Volumen-Verfahren, Finite-Elemente-Verfahren und Diskontinuierliche-Galerkin-Verfahren vorgestellt werden. Die Diskretisierung für spezielle parabolische Differentialgleichungen, wie Konvektions-Diffusions- und Navier-Stokes-Gleichungen sollen im Mittelpunkt stehen. Um die entstehenden Gleichungssysteme zu lösen, sollen iterative Verfahren, wie konjungierte Gradienten-, Mehrgitter-Verfahren besprochen werden.
Im dritten Teil soll ein allgemeines Lösungsverfahren, das Operator-Splitting-Verfahren vorgestellt werden. Mit diesem Verfahren können komplizierte Differentialgleichungssysteme entkoppelt und die entstehenden einfacheren Differentialgleichungen mit den jeweiligen Diskretisierungsverfahren und Lösungsverfahren behandelt werden. Im Schwerpunkt sollen dabei die Entkoppelbarkeit und die Fehlerordnung der Verfahren behandelt werden. In der Anwendung sollen Systeme von Diffusions-Reaktionsgleichungen behandelt werden, die in der Materialforschung vorkommen.
Die VL richtet sich an interessierte Studenten aus der Mathematik und den Naturwissenschaften und setzt Grundkenntnisse in der Funktionalanalysis und Linearen Algebra voraus. Mit dieser Einführung soll ein Einstieg zur Lösung von komplizierten Differentialgleichungssystemen, wie sie in der Umwelt-, Material- und Bio-Forschung vorkommen, vorbereitet werden. Es soll der Einstieg in Studienarbeiten oder Diplomarbeiten ermöglicht werden. Eine Weiterführung der VL im SS 2006 im Rahmen einer weiteren VL oder eines SE ist angedacht.

Übungen:

nach Vereinbarung

Literatur:

Brenner, S.: The Mathematical Theory of Finite Element Methods.
Braess, F.: Finite Elemente.
Deuflhard, F.; Bornemann, F.: Numerische Mathematik II.
Hairer, E.; Norsett, S.P.; Wanner, G.: Solving Ordinary Differential Equations I.
LeVeque, R.J.: Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems.
Stoer, J.; Bulirsch, R.: Numerische Mathematik II.
Thomee, V.: Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Equations.

Sprechstunden:

nach Vereinbarung, RUD 25, 2.406, Tel. 2093-5489

EINFÜHRUNG IN DIE METHODEN DER ASYMPTOTIK Introduction  to Asymptotic Methods (D-B, AN, S) A. MÜNCH
2 SWS VL pro Woche, Di 17-19 Uhr, RUD 25, 1.115

Inhalt:
Many complex problems that appear in mathematical applications in particular in mathematical models of real world problems using ordinary or partial differential equations can be significantly simplified, and sometimes solved, by asymptotic techniques that make use of the presence of (very) small or large parameters. Perturbation methods are therefore an essential tool in the derivation and understanding of mathematical model equations, and an important complement to numerical approaches.
This course aims at introducing the audience to some of the most important techniques.

Kley words/syllabus -- Stichworte/Inhalt:

Introduction: What is an asymptotic expansion, Order symbols.
Regular perturbations.
Matched Asymptotic Expansions:
Inner- and outer expansions, intermediate variables,
overlap domain, construction of a uniformly valid solution.
Examples.
Multiple scales problem:
Method of strained coordinates,
Weakly nonlinear stability analysis, Method of Homogenization.
Examples.

Literatur:
The lecture will be held in English or German depending on the preference of the audience.

SPEKTRALSEQUENZEN (D-A, RE; S) I. KATH
Kompaktkurs 20.02. - 28.02.2006, RUD 25, 3.011

Inhalt:

Spektralsequenzen sind ein wichtiges Werkzeug der homologischen Algebra.
Sie haben viele Anwendungen in der Algebra, der algebraischen Geometrieund der algebraischen Topologie. In der Vorlesung werden Definition, Konstruktionsprinzipien und Anwendungen vorgestellt und an folgenden
Beispielen demonstriert: Leray-Serre-Spektralsequenz f"ur Homologie und Kohomologie von Faserungen, Hochschild-Serre-Spektralsequenz für Lie-Algebren-Kohomologie, Grothendieck-Spektralsequenz für die
Komposition abgeleiteter Funktoren.