(January 31, 2013)

Integralsatz und Formel von Cauchy

1. Wegintegral

Ein Weg (= Kurve) ist eine stetige Abbildung γ : [0, 1] → ℂ. Ein geschlossener Weg ist ein Weg γ mit γ(0) = γ(1). Dies kann als stetige Abbildung γ : S^{1} → ℂ aufgefaßt werden. Eine Jordankurve ist ein injektiver geschlossener Weg S^{1} → ℂ. Ein Gebiet ist eine zusammenhängende offene Menge. Ein Jordangebiet ist ein Gebiet, dessen Rand eine Jordankurve ist. Jordangebiete sind einfach zusammenhängend. Ein Weg heißt rektifizierbar, wenn die Länge der Approximation durch Polygonzüge für jede Zerlegung Z = {t_{0} < t_{1} < … < t_{n}} von [0, 1] beschränkt bleibt. Das Supremum

L(γ) = sup_{Z} ∑_{k=1}^{n} |γ(t_{k}) − γ(t_{k−1})| < ∞

heißt dann Länge des Weges. Ist γ stetig differenzierbar, so ist γ rektifizierbar und

L(γ) = ∫_{γ} |dz| = ∫_{0}^{1} |γ′(t)| dt .

Ein Weg ist stückweise stetig differenzierbar, wenn er in endlich viele C^{1}–Wege zerlegt werden kann. Ein C^{1}–Weg γ heißt glatt, wenn γ′(t) ≠ 0 für alle t ∈ [0, 1].

Sei γ ein rektifizierbarer Weg und f stetig. Das Wegintegral

∫_{γ} f = ∫_{γ} f(z) dz

wird folgendermaßen definiert. Für eine Zerlegung Z = {t_{0} < t_{1} < … < t_{n}} sei δ(Z) = max{t_{k} − t_{k−1}}. Wähle für jedes k ∈ {1, …, n} ein ζ_{k} ∈ γ([t_{k−1}, t_{k}]) und setze

∫_{γ} f(z) dz = lim_{δ(Z)→0} ∑_{k=1}^{n} f(ζ_{k})(γ(t_{k}) − γ(t_{k−1})) .

Für einen (stückweise) C^{1}–Weg erhält man

∫_{γ} f(z) dz = ∫_{0}^{1} f(γ(t))γ′(t) dt .

Ein Integrationsweg ist wahlweise ein rektifizierbarer Weg oder ein stückweise stetig differenzierbarer Weg.

Ist γ : S^{1} → ℂ ein geschlossener Weg, so ist für z ∉ γ die ganze Zahl

n(γ, z) = \frac{1}{2πi} ∫_{γ} \frac{1}{ζ − z} dζ die Windungszahl von γ bzgl. z .

Sind γ_{1}, …, γ_{n} geschlossene Kurven, so nennt man Γ := γ_{1} + … + γ_{n} Zyklus. Die Windungszahl für z ∉ Γ ist n(Γ, z) := ∑_{j=1}^{n} n(γ_{j}, z) und

Int Γ = {z ∈ ℂ \ Γ : n(Γ, z) ≠ 0} das Innere von Γ ,
Ext Γ = {z ∈ ℂ \ Γ : n(Γ, z) = 0} das Äußere von Γ .

Sei G ⊂ ℂ offen. Dann heißt Γ nullhomolog in G, wenn Int Γ ⊂ G. Zwei Zykel Γ_{1}, Γ_{2} heißen homolog in G, wenn n(Γ_{1}, z) = n(Γ_{2}, z) ∀ z ∉ G. Ein Zyklus Γ in G heißt Randzyklus von V ⊂⊂ G, wenn

∂V = Γ , n(Γ, z) = 1 ∀ z ∈ V , n(Γ, z) = 0 ∀ z ∉ \overline{V} .

Ist G offen und f : G → ℂ holomorph, so kann man auch für beliebige Wege γ : [0, 1] → G das Wegintegral ∫_{γ} f definieren. Hat f in G eine Stammfunktion F, so ist ∫_{γ} f = F (γ(1)) − F (γ(0)). Im allgemeinen hat f lokale Stammfunktionen. Ist F_{0} eine lokale Stammfunktion in einer Umgebung U_{0} von γ(0), so gibt es eine analytische Fortsetzung (F_{0}, …, F_{n}) entlang γ, d.h. F_{k} : U_{k} → ℂ, wobei U_{k} Umgebung von γ(t_{k}), F_{k−1} = F_{k} auf U_{k−1} ∩ U_{k} ≠ ∅ und F′_{k} = f. Setze also

∫_{γ} f = F_{n}(γ(1)) − F_{0}(γ(0)) .

2. Integralsatz

Eine Funktion f ist holomorph in a, wenn f in einer Umgebung von a komplex differenzierbar ist. O(Ω) bezeichne die Menge der holomorphen Funktionen, die in jedem Punkt von Ω holomorph sind. Dann ist f ∈ O(Ω) holomorph in einer Umgebung von Ω.

Satz 2.1 (Cauchy/Goursat). Ist G ein Gebiet und D ⊂⊂ G eine Kreisscheibe, so gilt

∫_{∂D} f(z) dz = 0 und f(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{∂D} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ für z ∈ D

für jede holomorphe Funktion f : G → ℂ.

Die Gleichungen werden als Cauchy–Integralsatz und Cauchy–Formel bezeichnet.

Satz 2.2. Sei f holomorph im Gebiet G und Γ ⊂ G nullhomologer Zyklus in G, d.h. Int Γ ⊂ G. Dann gilt

∫_{Γ} f(z) dz = 0 und n(Γ, z) · f(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{Γ} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ ∀ z ∈ G \ Γ .

Ist insbesondere Γ = ∂V Randzyklus der offenen Menge V ⊂⊂ G, so gilt

∫_{∂V} f(z) dz = 0 und f(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{∂V} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ ∀ z ∈ V .

Sei G ein Jordangebiet und die Jordankurve γ = ∂G ein Integrationsweg.

(i) Ist f holomorph in einer Umgebung von \overline{G}, so gilt ∫_{∂G} f(z) dz = 0. Sei nun f holomorph in G und stetig auf \overline{G}, d.h. f ∈ O(G) ∩ C^{0}(\overline{G}). Um das Integral I = ∫_{γ} f(z) dz zu berechnen, kann man entweder f durch Funktionen gleichmäßig approximieren, die in einer Umgebung von \overline{G} holomorph sind, und erhält I = 0. Oder man approximiert in geeigneter Weise die Randkurve γ durch geschlossene Wege in G, und erhält wiederum I = 0.

(ii) Sei nun z ∈ G und h(ζ) = \frac{f(ζ)}{ζ − z}. Betrachte g(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{γ} h(ζ) dζ. Da f

stetig ist auf γ, ist g holomorph in ℂ \ γ. Ist f ∈ O(\overline{G}), so gilt g(z) = f(z) in G. Sei wieder f ∈ O(G)∩C^{0}(\overline{G}). Wählt man eine kompakte Menge K ⊂ \overline{G}\\{z\} mit γ ⊂ K geeignet, so kann h auf K durch holomorphe Funktionen h_{n} gleichmäßig approximiert werden oder γ durch geeignete Wege γ_{n} ⊂ K, so daß gilt

lim_{n→∞} ∫_{γ} h_{n} = lim_{n→∞} ∫_{γ_{n}} h = ∫_{γ} h .

Sei ε > 0 kleiner als d(z, ∂G) und K_{ε} = \overline{G} \ D_{ε}(z). Wenn γ_{n} ⊂ K̊ ⊂ G und |γ_{n} − γ|_{[0,1]} klein genug ist, daß γ_{n} und γ dieselbe Windungszahl bzgl. z haben, so gilt ∫_{γ_{n}} h = 2πif(z) und folglich g(z) = f(z). Wenn man andererseits h durch h_{n} ∈ O(K_{ε}) approximiert, so gilt ∫_{∂K_{ε}} h_{n} = 0, da ∂K_{ε} = γ + η ein Randzyklus ist, und daher ∫_{∂K_{ε}} h = 0. Für η : [0, 1] → G, η(t) = z + εe^{−2πit}, folgt

∫_{η} h_{n} → ∫_{η} h = −2πif(z) , daher g(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{γ} h = f(z) .

Wenn f_{n} → f gleichmäßig auf γ und f_{n}(z) → f(z), kann man auch so abschätzen:

| ∫_{γ} \frac{f_{n}(ζ) − f(ζ)}{ζ − z} dζ| ≤ \frac{L(γ)}{d(z, γ)} max_{γ} |f_{n} − f| = C · max_{γ} |f_{n} − f| → 0 .

Lemma 2.3. Sei f holomorph in 𝔻 und stetig auf \overline{𝔻}. Dann gilt:

(i) ∫_{∂𝔻} f(z) dz = 0 ; (ii) f(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{∂𝔻} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ für z ∈ 𝔻 .

Beweis. Sei γ = ∂𝔻.

(i) Sei 0 < r < 1 und f_{r}(z) = f(rz). Dann gilt

| ∫_{γ} f(z) dz − ∫_{γ} f_{r}(z) dz| = | ∫_{γ}(f(z) − f(rz)) dz| ≤ L(γ) · max_{z∈γ} |f(z) − f(rz)| .

Nun ist f_{r} holomorph in einer Umgebung von \overline{𝔻}, somit ∫_{γ} f_{r} = 0. Da f auf \overline{𝔻} gleichmäßig stetig ist, gibt es zu ε > 0 auch r < 1 mit L(γ) · max_{γ} |f − f_{r}| < ε. (ii) Für r < 1 ist f_{r}(z) = f(rz) holomorph in {|z| < 1/r} und

f_{r}(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{γ} \frac{f_{r}(ζ)}{ζ − z} dζ für alle |z| < 1 < \frac{1}{r} .

Sei

g(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{γ} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ .

|g(z) − f_{r}(z)| = \frac{1}{2π} | ∫_{γ} \frac{f(ζ) − f_{r}(ζ)}{ζ − z} dζ| ≤ max_{ζ∈γ} |\frac{f(ζ) − f_{r}(ζ)}{ζ − z}|

≤ \frac{1}{d(z, γ)} max_{γ} |f − f_{r}| = \frac{1}{1 − |z|} max_{∂𝔻}|f − f_{r}| .

Da f gleichmäßig stetig ist auf \overline{𝔻}, gilt max_{|ζ|=1} |f(ζ) − f(rζ)| → 0 für r → 1. Somit gilt f_{r}(z) → g(z), r → 1, wie auch f_{r}(z) → f(z), also f(z) = g(z).

Alternativ aber umständlich: Sei z ∈ 𝔻 und |z| < r_{0} ≤ r < 1. Dann gilt

f(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{|ζ|=r} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ . Definiere g(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{|ζ|=1} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ .

|f(z) − g(z)| = \frac{1}{2π} | ∫_{|ζ|=r} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ − ∫_{|ζ|=1} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ|

= \frac{1}{2π} | ∫_{0}^{2π}(\frac{f(e^{it})}{e^{it} − z} ie^{it} − \frac{f(re^{it})}{re^{it} − z} ire^{it}) dt|

≤ max_{t∈[0,2π]} |\frac{f(e^{it})}{e^{it} − z} − \frac{rf(re^{it})}{re^{it} − z}| < ε für 1 − r < δ .

Denn h(r, t) = \frac{rf(re^{it})}{re^{it} − z} ist stetig auf der kompakten Menge [r_{0}, 1] × [0, 2π].

Lemma 2.4.

(A) Seien f_{n} stetige Funktionen. Konvergiert f_{n} → f gleichmäßig auf γ, so gilt

lim_{n→∞} ∫_{γ} f_{n} = ∫_{γ} f .

(B) Seien γ_{n}, γ stetig differenzierbar und f stetig. Konvergiert γ_{n} → γ in C^{1}([0, 1], ℂ), d.h. |γ_{n} − γ|_{C^{1}} = max{|γ_{n} − γ|_{[0,1]}, |γ′_{n} − γ′|_{[0,1]}} → 0, so gilt

lim_{n→∞} ∫_{γ_{n}} f = ∫_{γ} f .

Beweis. (A) f ist stetig auf (der Spur von) γ. Mit der Standardabschätzung gilt

| ∫_{γ} f_{n} − ∫_{γ} f| = | ∫_{γ}(f_{n} − f)| ≤ L(γ) · |f_{n} − f|_{γ} → 0 .

(B) Die Kurven γ_{n} liegen zusammen mit γ in einer kompakten Menge, auf der f gleichmäßig stetig ist.

| ∫_{γ_{n}} f − ∫_{γ} f| = | ∫_{0}^{1} (f(γ_{n}(t))γ′_{n}(t) − f(γ(t))γ′(t)) dt|
≤ |(f ∘ γ_{n})γ′_{n} − (f ∘ γ)γ′|_{[0,1]}
= |(f ∘ γ_{n})γ′_{n} − (f ∘ γ)γ′_{n} + (f ∘ γ)γ′_{n} − (f ∘ γ)γ′|_{[0,1]}
≤ |((f ∘ γ_{n}) − (f ∘ γ))γ′_{n}|_{[0,1]} + |(f ∘ γ)(γ′_{n} − γ′)|_{[0,1]} .

Da f gleichmäßig stetig ist und γ_{n} gleichmäßig konvergent, geht der erste Summand gegen 0. Da γ′_{n} gleichmäßig konvergiert, geht auch der zweite Summand gegen 0.

Lemma 2.5. Sei G ein beschränktes Gebiet und f_{n} ∈ O(G) ∩ C^{0}(\overline{G}). Ist f_{n}|_{∂G} gleichmäßig konvergent in ∂G, so konvergiert f_{n} gleichmäßig in \overline{G} gegen ein f ∈ O(G) ∩ C^{0}(\overline{G}).

Beweis. Nach dem Maximumprinzip gilt |f_{n} − f_{m}|\overline{G} = |f_{n} − f_{m}|_{∂G}. Daher ist f_{n} eine Cauchy-Folge bzgl. | · |\overline{G} und somit gleichmäßig konvergent in \overline{G}.

Lemma 2.6. Sei G ein beschränktes Gebiet, so daß ∂G ein Randzyklus ist, der aus Integrationswegen besteht, und f ∈ O(G) ∩ C^{0}(\overline{G}). Ist f_{n} ∈ O(\overline{G}) eine Folge mit f_{n} → f gleichmäßig auf ∂G, dann gilt

(i) ∫_{∂G} f(z) dz = 0 und (ii) f(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{∂G} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ für z ∈ G .

Beweis. (i) Für die f_{n} gilt ∫_{∂G} f_{n} = 0 und nach Lemma 2.4(A)

0 = ∫_{∂G} f_{n} ⟶ ∫_{∂G} f .

(ii) Für z ∈ G ist d(z, ∂G) > 0. Setze g(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{∂G} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ. Dann gilt

|f_{n}(z) − g(z)| = \frac{1}{2π} | ∫_{∂G} \frac{f_{n}(ζ) − f(ζ)}{ζ − z} dζ| ≤ \frac{L(∂G)}{2π} max_{ζ∈∂G} |\frac{f_{n}(ζ) − f(ζ)}{ζ − z}|

≤ \frac{L(∂G)}{2π · d(z, ∂G)} max_{∂G} |f_{n} − f| = C · max_{∂G} |f_{n} − f| < ε für n ≥ N .

Somit gilt f_{n}(z) → g(z). Da nach dem Maximumprinzip (Lemma 2.5) f_{n} → f gleichmäßig in \overline{G}, gilt auch g(z) = f(z).

3. Rationale Approximation

Satz 3.1 (Runge I). Sei U offen und f ∈ O(U). Dann kann f lokal gleichmäßig in U durch rationale Funktionen mit Polen außerhalb U approximiert werden. Ist ℂ̂ \ U zusammenhängend, so kann f lokal gleichmäßig in U durch Polynome approximiert werden.

Anders formuliert:

Satz 3.2 (Runge II). Sei K ⊂ ℂ kompakt und f ∈ O(K). Ist U ⊃ K die Umgebung, auf der f holomorph ist, so kann f gleichmäßig in K durch rationale Funktionen mit Polen außerhalb U approximiert werden. Ist ℂ \ K zusammenhängend, so kann f gleichmäßig in K durch Polynome approximiert werden.

Ist G einfach zusammenhängend und wird f ∈ O(G) durch Polynome f_{n} approximiert, so ist ∫_{γ} f_{n} = 0 für jede geschlossene Kurve γ ⊂ G, da γ nullhomolog in ℂ ist. Daraus folgt ∫_{γ} f = 0. Wenn jedoch f ∈ O(G)∩C^{0}(\overline{G}) für ein einfach zusammenhängendes beschränktes Gebiet, so wird Approximation in \overline{G} benötigt, auch wenn f nur im Inneren holomorph ist.

Satz 3.3 (Mergelyan). Sei K ⊂ ℂ kompakt und f ∈ O(K̊)∩C^{0}(K). Ist ℂ\K zusammenhängend, so kann f gleichmäßig in K durch Polynome approximiert werden. Hat ℂ \ K endlich viele Zusammenhangskomponenten, so kann f gleichmäßig in K durch rationale Funktionen mit Polen außerhalb K approximiert werden.

Zusammen mit Satz 2.6 erhält man den Integralsatz für Randzyklen. Wenn man den Integralsatz für beschränkte Gebiete, die durch endlich viele disjunkte Jordankurven berandet werden, beweisen will, reicht folgende Version.

Satz 3.4 (Walsh). Ist G ein Jordangebiet, so kann jedes f ∈ O(G) ∩ C^{0}(\overline{G}) gleichmäßig in \overline{G} durch Polynome approximiert werden.

Der Beweis für Jordangebiete beruht auf der Approximation der Randkurve γ durch Jordankurven γ_{n} von außen. Damit folgert Walsh auch den Integralsatz.

Satz 3.5 (Carathéodory). Ist ψ : 𝔻 → G eine konforme Abbildung, so hat ψ eine stetige und injektive Fortsetzung auf \overline{𝔻} genau dann, wenn ∂G eine Jordankurve ist. ψ : \overline{𝔻} → \overline{G} ist dann ein Homöomorphismus.

Sei G ein Jordangebiet und seien ψ : 𝔻 → G und Ψ : 𝔻 → ℂ̂ \ \overline{G} konform. Parametrisiert man γ_{r}(t) = Ψ(re^{2πit}) und γ̃_{r}(t) = ψ(re^{2πit}), so konvergieren diese gleichmäßig für r_{n} → 1, da Ψ und ψ gleichmäßig stetig sind auf \overline{𝔻}:

|γ_{r} − γ|_{[0,1]} = max_{t∈[0,1]} |Ψ(re^{2πit}) − Ψ(e^{2πit})| < ε , wenn |re^{2πit} − e^{2πit}| = 1 − r < δ .

Satz 3.6 (Radó). Seien γ_{n} : S^{1} → ℂ Jordankurven, die gleichmäßig gegen die Jordankurve γ : S^{1} → ℂ konvergieren, und G_{n} bzw. G die Jordangebiete, die γ_{n} bzw. γ als Rand haben. Seien ψ_{n} : 𝔻 → G_{n}, ψ : 𝔻 → G konforme Abbildungen mit ψ_{n}(0) = ψ(0) und ψ′_{n}(0) > 0, ψ′(0) > 0 für alle n. Dann konvergieren ψ_{n} gleichmäßig auf \overline{𝔻} gegen ψ.

Beweis Satz 3.4. Wähle Jordankurven γ_{n} : S^{1} → ∂G_{n}, so daß \overline{G}_{n+1} ⊂ G_{n} und γ_{n} → γ gleichmäßig auf S^{1}. Dann gibt es konforme Abbildungen φ_{n} : G_{n} → 𝔻, φ : G → 𝔻 mit Inversen ψ_{n}, ψ so, daß ψ_{n} nach Satz 3.6 gleichmäßig auf \overline{𝔻} konvergiert. Zu zeigen ist, daß φ_{n} gleichmäßig konvergiert auf \overline{G}, damit

|f(ψ ∘ φ(z)) − f(ψ ∘ φ_{n}(z))| < ε für z ∈ \overline{G} , wenn n ≥ N ,

denn f ∘ ψ ist gleichmäßig stetig auf \overline{𝔻}. Für z ∈ \overline{G} und φ_{n}(z) = w ∈ 𝔻 gilt

\begin{aligned}|φ(z) − φ_{n}(z)| & = |φψ_{n}(w) − φ_{n}ψ_{n}(w)| = |φψ_{n}(w) − w| \\ & = |φψ_{n}(w) − φψ(w)| < δ_{1} \end{aligned}

wenn |ψ_{n}(w) − ψ(w)| ≤ |ψ_{n} − ψ|\overline{𝔻} < δ_{2} für n ≥ N, denn φ ist gleichmäßig stetig. Nun kann f ∘ψ∘φ_{n} ∈ O(G_{n}) gleichmäßig auf \overline{G} durch Polynome f_{n} approximiert werden, womit |f −f_{n}|\overline{G} = |fψφ−f_{n}|\overline{G} ≤ |fψφ−fψφ_{n}|\overline{G} +|fψφ_{n}−f_{n}|\overline{G} → 0.

Der Ansatz mit der Approximation der Randkurve durch Kurven im Inneren wird unter anderem von Pollard und Denjoy verfolgt.

4. Anhang

Ist Ω ein beschränktes Gebiet mit positiv orientiertem C^{1}–Rand und ω eine 1– Form, so gilt nach dem Satz von Stokes

∫_{Ω} dω = ∫_{∂Ω} ω .

Ist ω = a dz ∈ C_{1,0}^{1}(\overline{Ω}) eine stetig differenzierbare (1, 0)–Form, dann ist dω = \frac{∂a}{∂\overline{z}} d\overline{z} ∧ dz = \overline{∂}ω und mit Stokes ∫_{∂Ω} ω = ∫_{Ω} \overline{∂}ω. Sei \frac{∂f}{∂\overline{z}} = f\overline{z}. Ist f ∈ O(Ω) ∩ C^{1}(\overline{Ω}), folgt d(f dz) = 0 und ∫_{∂Ω} f dz = 0, da f\overline{z} = 0.

Lemma 4.1 (Inhomogene Cauchy–Formel). Sei Ω ⊂⊂ ℂ ein beschränktes Gebiet mit C^{1}–Rand und f ∈ C^{1}(\overline{Ω}). Dann gilt

f(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{∂Ω} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ + \frac{1}{2πi} ∫_{Ω} \frac{f\overline{ζ}(ζ)}{ζ − z} dζ ∧ d\overline{ζ} .

Bergmann–Raum O^{2}(G)

Sei G ein Gebiet und L^{2}(G) der Raum der quadratintegrierbaren Funktionen mit Skalarprodukt

⟨f, g⟩_{G} = ∫_{G} f\overline{g} dV und ∥f∥_{G}^{2} = ∫_{G} |f|^{2} dV ,

wobei dV = dx dy = dx ∧ dy = \frac{i}{2} dz ∧ d\overline{z}, dz = dx + i dy, d\overline{z} = dx − i dy. Es gilt die Cauchy–Schwarzsche Ungleichung |⟨f, g⟩_{G}| ≤ ∥f∥_{G} ∥g∥_{G}.

Transformationsformel: Für diffeomorphes ϕ : U → V, ϕ(r, t) = (x, y), ist det Jac_{ℝ}(ϕ) = |ϕ_{z}|^{2} − |ϕ\overline{z}|^{2} und

∫_{ϕ(U)} f(x, y) dx dy = ∫_{U} f(ϕ(r, t)) det Jac_{ℝ}(ϕ) dr dt .

Ist f ∈ O(\overline{D}_{R}(z)), so folgt aus der Cauchy–Formel die Mittelwerteigenschaft

f(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{∂D_{r}(z)} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}f(z + re^{it}) dt ∀ 0 < r ≤ R .

Mit ϕ(r, t) = (r cos t, r sin t), det Jac_{ℝ}(ϕ) = r, folgt für holomorphe Funktionen die Flächenmittelwertgleichung

∫_{D_{R}(z)} f dV = ∫_{0}^{R} r ∫_{0}^{2π}f(z + re^{it}) dt dr = 2π f(z) ∫_{0}^{R} r dr = πR^{2} f(z) .

Zusammen mit Cauchy–Schwarz folgt für f ∈ O(\overline{D}_{R}(z))

|f(z)| ≤ \frac{1}{\sqrt{π}R} ∥f∥_{G} .

Satz 4.2 (Bergmann–Ungleichung). Sei G ein Gebiet und f ∈ O(G) ∩ L^{2}(G). Dann gilt für jedes z ∈ G

|f(z)| ≤ \frac{1}{\sqrt{π} d(z, ∂G)} ∥f∥_{G} .

Folgerung. Sei O^{2}(G) := O(G) ∩ L^{2}(G) und f_{n} ∈ O^{2}(G).

(i) Konvergiert f_{n} in L^{2}(G), d.h ∥f_{n}−f∥_{G} → 0, dann konvergiert f_{n} → f lokal gleichmäßig, d.h. |f_{n} − f|_{K} → 0 für jede kompakte Teilmenge K ⊂⊂ G.

(ii) O^{2}(G) ⊂ L^{2}(G) ist ein abgeschlossener Unterraum.

Satz 4.3. Sei G ein beschränktes Gebiet mit glattem Rand und Durchmesser d(G) = R. Dann gibt es zu jedem f ∈ L^{2}(G) ∩ C^{1}(G) ein u ∈ C^{1}(G) mit

\frac{∂u}{∂\overline{z}} = f und ∥u∥_{G} ≤ 2R ∥f∥_{G} .

Satz 4.4. Sei G ein beschränktes Gebiet mit glattem Rand. Dann hat die Einschränkungsabbildung O(\overline{G}) → O^{2}(G) dichtes Bild, d.h. zu jedem ε > 0 und f ∈ O^{2}(G) gibt es ein f̃ ∈ O(\overline{G}) mit ∥f̃− f∥_{G} < ε.

Beweisskizze. \overline{G} wird geeignet überdeckt durch endlich viele offene Mengen U_{0} ∪ U_{1} ∪ … ∪ U_{n}, wobei U_{0} = G. In U_{k}, k = 1, …, n wird f, lokal approximiert durch f_{k}^{δ}(z) = f(z − δn_{k}), wobei n_{k} eine nach außen gerichtete Normale an ∂G in U_{k} ist. Mit einer Zerlegung der Eins ∑_{j=0}^{n} χ_{j} ≡ 1, supp χ_{j} ⊂⊂ U_{j}, setzt man

f^{δ} = χ_{0}f + ∑_{j=1}^{n} χ_{j}f_{j}^{δ} .

f^{δ} ist in einer Umgebung G_{ρ} von \overline{G} stetig differenzierbar mit den Eigenschaften

f^{δ} − f = ∑_{j=1}^{n} χ_{j}(f_{j}^{δ} − f) , ∥f^{δ} − f∥_{G} → 0 (δ → 0)

und

f δ ; \overline{z} = ∑_{j=1}^{n} χ_{j,\overline{z}}(f_{j}^{δ} − f) , ∥f δ ; \overline{z}∥_{G_{ρ}} → 0 (δ → 0) .

Nun wählt man u auf G_{ρ} mit \frac{∂u}{∂\overline{z}} = f δ ; \overline{z} und ∥u∥_{G_{ρ}} ≤ C ∥f∥_{G_{ρ}}. Dann ist f̃:= f^{δ}−u holomorph auf G_{ρ} mit ∥f̃− f∥_{G} ≤ ∥f^{δ} − f∥_{G} + ∥u∥_{G} < ε für δ klein genug. einfach zusammenhängende Gebiete

Definition (Satz & Def.). Eine Gebiet G ⊂ ℂ ist einfach zusammenhängend, wenn eine der äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

(A) Jede geschlossene Kurve in G ist nullhomotop in G.

(B) Jede geschlossene Kurve in G ist nullhomolog in G.

(C) ℂ̂ \ G ist zusammenhängend.

(D) Für jedes f ∈ O(G) und jeden geschlossenen Weg γ ⊂ G gilt ∫_{γ} f = 0 .

(E) Jedes f ∈ O(G) kann lokal gleichmäßig in G durch Polynome approximiert werden.

(F) Jede nullstellenfreie holomorphe Funktion hat einen holomorphen Logarithmus, d.h. zu jedem f ∈ O^{∗}(G) gibt es ein g ∈ O(G) mit e^{g} = f.

(G) G ist homöomorph zu ℂ.

(H) Entweder G = ℂ oder es gibt eine konforme Abbildung 𝔻 → G.

Bemerkung. (A)-(B): Ist γ nullhomotop, so ist γ nullhomolog. (A)-(C) gilt auch für Gebiete in ℂ̂, bei (G)-(H) kommt noch die Möglichkeit G = ℂ̂ hinzu. (D): Dies bedeutet, daß jedes f in G eine Stammfunktion hat. Ist γ : [0, 1] → G ein Weg, der γ(0) = a mit γ(1) = b verbindet, so ist ∫_{γ} f unabhängig vom Weg und man schreibt ∫_{a}^{b} f. ∫_{[a,b]} f ist hingegen das Integral über die Strecke γ = [a, b], γ(t) = a(1 − t) + bt = a + (b − a)t, die a mit b verbindet.

Sei K ⊂ ℂ kompakt und F_{K} die Familie holomorpher Funktionen f : ℂ̂\K → ℂ mit f(∞) = 0 und sup |f(z)| ≤ 1. Dann nennt man γ(K) = sup_{F_{K}} |f′(∞)| analytische Kapazität von K. Ein Gebiet G ⊂ ℂ̂ ist einfach zusammenhängend genau dann, wenn ℂ̂\G zusammenhängend ist. Ist G einfach zusammenhängend und enthält ℂ̂ \ G mindestens zwei Punkte, so gibt es eine konforme Abbildung ϕ : G → 𝔻. Sind K und ℂ̂ \ K zusammenhängend, und enthält K mindestens zwei Punkte, so nennt man K ein Kontinuum. Für ein Kontinuum K ist ℂ̂ \ K ein einfach zusammenhängendes Gebiet, zu dem es eine konforme Abbildung ϕ : ℂ̂ \ K → 𝔻 mit ϕ(∞) = 0 gibt. Es gilt γ(K) = |ϕ′(∞)| und d(K)/4 ≤ γ(K) ≤ d(K). Für die abgeschlossene Kreisscheibe \overline{D}_{r}(a) ist ϕ(z) = r/(z − a) eine konforme Abbildung ϕ : ℂ̂ \ \overline{D}_{r}(a) → 𝔻 mit ϕ(∞) = 0. Es folgt γ(\overline{D}_{r}(z)) = r.

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