(Stand: August 2012)

Weitere Kapitel der Funktionentheorie

Vorlesung Sommersemester 2011

Inhalt

Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1. Harmonische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Poisson–Formel Schwarzsches Spiegelungsprinzip Greensche Funktion

2. Schlichte Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Möbiustransformationen Hyperbolische Metrik Koebescher Verzerrungssatz Randverhalten konformer Abbildungen Eigentliche Abbildungen

3. Bloch–Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Satz von Picard Normale Familien

4. Runge–Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Inhomogene Cauchy-Riemann–Gleichung Cousin Problem: Mittag–Leffler, Weierstraß

5. Riemannsche Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Literatur A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6. Iterationstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Juliamenge einer rationalen Abbildung Periodische Punkte Fatoukomponenten Quadratische Polynome und Mandelbrotmenge

Literatur B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Grundlagen

Sei ℂ = {x + iy : x, y ∈ ℝ} die komplexe Ebene und

z = x + iy , \overline{z} = x − iy .

Sei X ⊂ ℂ. Eine Funktion f : X → ℂ ist Funktion von x und y bzw. z und \overline{z}.

Sei U ⊂ ℂ offen, f : U → ℂ und a ∈ U.

f komplex differenzierbar in a ⟺ f′(a) := lim_{z→a} \frac{f(z) − f(a)}{z − a} existiert. f holomorph in a ⟺ f ist in einer Umgebung von a komplex difbar. Somit: f holomorph in U ⟺ f komplex difbar in U. Ist K ⊂ ℂ kompakt, dann ist f : K → ℂ holomorph, wenn es eine Umgebung U von K gibt, in der f holomorph ist.

df = \frac{∂f}{∂x} dx + \frac{∂f}{∂y} dy = \frac{1}{2}(\frac{∂f}{∂x} − i\frac{∂f}{∂y} )(dx + idy) + \frac{1}{2}(\frac{∂f}{∂x} + i\frac{∂f}{∂y} )(dx − idy)
= \frac{∂f}{∂z} dz + \frac{∂f}{∂\overline{z}} d\overline{z} mit Wirtinger–Ableitungen

\frac{∂f}{∂z} = \frac{1}{2}(\frac{∂f}{∂x} − i\frac{∂f}{∂y} ) und \frac{∂f}{∂\overline{z}} = \frac{1}{2}(\frac{∂f}{∂x} + i\frac{∂f}{∂y} ) .

\frac{∂}{∂z} und \frac{∂}{∂\overline{z}} sind ℂ–linear und erfüllen die Leibniz–Regel.

Es gilt: f komplex difbar ⟺ f reell difbar und \frac{∂f}{∂\overline{z}} = 0 (Cauchy-Riemann–Gln.)

Ist f komplex difbar, so gilt f′ = \frac{∂f}{∂z} = \frac{∂f}{∂x} = −i\frac{∂f}{∂y} wegen \frac{∂f}{∂\overline{z}} = 0

Sei f = u + iv mit u = Re f, v = Im f. Dann gilt

\begin{aligned}\frac{∂f}{∂\overline{z}} = 0 & ⟺ (\frac{∂u}{∂x} − \frac{∂v}{∂y} ) + i(\frac{∂u}{∂y} + \frac{∂v}{∂y} ) = 0 \\ & ⟺ \frac{∂u}{∂x} = \frac{∂v}{∂y} und \frac{∂u}{∂y} = −\frac{∂v}{∂y} . \end{aligned}

Ist f komplex difbar und gilt Re f ≡ const oder Im f ≡ const oder |f| ≡ const, so ist f konstant.

Schreibweise:

\frac{∂f}{∂z} = f_{z} , \frac{∂f}{∂\overline{z}} = f\overline{z} , \frac{∂f}{∂x} = f_{x} , \frac{∂f}{∂y} = f_{y}

Kreisscheiben: D_{r}(a) := {|z − a| < r}, speziell Einheitskreisscheibe 𝔻 = D_{1}(0).

Y liegt relativ kompakt in X, Y ⊂⊂ X, falls \overline{Y} kompakt ist und in X liegt bzw. wenn es eine kompakte Menge K ⊂ X gibt mit Y ⊂ K. Eine Teilmenge G ⊂ ℂ heißt Gebiet, wenn sie offen und zusammenhängend ist. Sei G ein Gebiet und f : G → ℂ. Dann sind äquivalent:

(i) f ist holomorph. (ii) f reell difbar und CR–Gleichungen sind erfüllt, d.h. f komplex difbar. (iii) f ∈ C^{1} und df = g dz mit stetiger Funktion g : G → ℂ (dann g = \frac{∂f}{∂z}). (iv) f ∈ C^{1} und ω = f dz ist geschlossen.

(v) f besitzt überall in G lokale Stammfunktionen. (vi) (Morera)

f ist stetig und für jedes abgeschlossene Dreieck Δ ⊂ G gilt ∫_{∂Δ} f dz = 0.

(vii) f ist analytisch, d.h. überall in eine Potenzreihe entwickelbar. Grundlegend ist der Satz von Goursat: Ist f holomorph in G und Δ ⊂ G ein abgeschlossenes Dreieck, so gilt ∫_{∂Δ} f dz = 0.

Daraus folgt der Cauchy–Integralsatz und die Cauchy–Formel: Ist f : G → ℂ holomorph und D = D_{r}(a) eine Kreisscheibe mit \overline{D} ⊂ G, so gilt

f(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{∂D} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ für alle z ∈ D .

Hieraus folgt: f′ ist holomorph (somit stetig) und f läßt sich in eine Potenzreihe entwickeln. Lemma. Sei D eine Kreisscheibe. Ist f holomorph in D und stetig auf \overline{D}, so gilt

∫_{∂D} f(z) dz = 0 und f(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{∂D} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ für z ∈ D .

Beweis. O.E. sei D = {|z| < R} und γ = ∂D. Sei r < 1 und f_{r}(z) = f(rz).

| ∫_{γ} f_{r}(z) dz − ∫_{γ} f(z) dz| = | ∫_{γ}(f(rz) − f(z)) dz| ≤ L(γ) · max_{z∈|γ|} |f(rz) − f(z)| .

Nun ist f_{r} holomorph in \overline{D}, somit ∫_{γ} f_{r} = 0. Da f gleichmäßig stetig ist auf \overline{D}, gibt es zu ε > 0 auch r < 1 mit L(γ)·max_{γ} |f_{r}−f| = L(γ)·max_{|ζ|=R} |f(rζ)−f(ζ)| < ε.

f_{r} ist holomorph in {|z| < R/r} und es gilt

\frac{1}{2πi} ∫_{γ} \frac{f_{r}(ζ)}{ζ − z} dζ = \begin{cases}f_{r}(z) & für |z| < R < \frac{R}{r} \\ 0 & für R < |z| . \end{cases}

Sei g(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{γ} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ. Dann gilt für z ∈ D

|f_{r}(z) − g(z)| = \frac{1}{2π} | ∫_{γ} \frac{f_{r}(ζ) − f(ζ)}{ζ − z} dζ| ≤ R · max_{ζ∈|γ|} |\frac{f_{r}(ζ) − f(ζ)}{ζ − z}|

≤ \frac{R}{d(z, |γ|)} max_{γ} |f_{r} − f| = \frac{R}{R − |z|} max_{∂D} |f_{r} − f| .

Da f gleichmäßig stetig ist auf \overline{D}, gilt max_{|ζ|=R} |f(rζ) − f(ζ)| → 0 für r → 1. Somit gilt f_{r}(z) → g(z), r → 1, wie auch f_{r}(z) → f(z), also f(z) = g(z).

Definition. Eine stetige Funktion f : G → ℂ hat die Mittelwerteigenschaft (MWE), falls für jedes z ∈ G ein R > 0 existiert, so daß

f(z) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}f(z + re^{it}) dt für alle 0 ≤ r < R .

Holomorphe Funktionen haben die MWE; Mittelwertformel: Ist f : G → ℂ holomorph und \overline{D}_{r}(a) ⊂ G, so gilt

f(a) = \frac{1}{2πi} ∫_{|z−a|=r} \frac{f(z)}{z − a} dz = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}f(a + re^{it}) dt .

Standardabschätzung : | ∫_{γ} f(z) dz| ≤ L(γ) · max_{γ} |f|.

Sei D = D_{r}(z_{0}). Ist f holomorph (in Umgebung von) 𝔻, dann liefern Cauchy– Formel und Standardabschätzung für z ∈ D

|f(z_{0})| ≤ max_{|ζ−z_{0}|=r} |f(ζ)| =: |f|_{∂D} ,
|f(z)| ≤ r · max_{|ζ−z_{0}|=r} \frac{|f(ζ)|}{|ζ − z|} = \frac{r}{r − |z − z_{0}|} · max_{|ζ−z_{0}|=r} |f(ζ)| = C_{z} · |f|_{∂D} ,

wobei C_{z} = \frac{r}{r−|z−z_{0}|} ≥ 1 nur von z ∈ D abhängt. Betrachte nun Potenzen [f(z)]^{k}. Dann folgt |f(z)| ≤ \sqrt[k]{C_{z}} · |f|_{∂D} mit \sqrt[k]{C_{z}} → 1 (k → ∞), somit |f(z)| ≤ |f|_{∂D}.

Identitätssatz: Sei G ein Gebiet und A ⊂ G eine Menge, die in G einen Häufungspunkt hat. Gilt f|_{A} ≡ 0, dann ist f ≡ 0. (Beweis durch Potenzreihenentwicklung)

Die Menge A ist diskret in G, wenn sie keinen Häufungspunkt hat, der in G liegt. Die Nullstellen einer nicht–konstanten holomorphen Funktion sind isoliert.

Riemannscher Hebbarkeitssatz: Sei U offen, a ∈ U und f : U \ {a} → ℂ holomorph und beschränkt. Dann gibt es eine holomorphe Funktion F : U → ℂ mit F |_{U\{a}} = f.

Gebietstreue: Ist f holomorph im Gebiet G und nicht konstant, dann ist f(G) ein Gebiet.

Maximumprinzip: Sei f holomorph im Gebiet G. Hat |f| ein lokales Maximum in G, so ist f konstant.

Das Maximumprinzip kann aus dem Offenheitssatz (Gebietstreue) hergeleitet werden und umgekehrt. Aus dem Maximumprinzip folgt das

Lemma von Schwarz: Sei f : 𝔻 → 𝔻 holomorph mit f(0) = 0. Dann gilt |f(z)| ≤ |z| und |f′(0)| ≤ 1. Gilt |f(z)| = |z| für ein z ≠ 0 oder |f′(0)| = 1, so ist f(z) = λz eine Drehung. Für die Abschätzung |f′(0)| ≤ 1 reicht Standardabschätzung der Cauchy–Formel: Für f : 𝔻 → 𝔻 holomorph und 0 < r < 1 gilt

f′(0) = \frac{1}{2πi} ∫_{|ζ|=r} \frac{f(ζ)}{ζ^{2}} dζ , |f′(0)| ≤ \frac{2πr}{2π} max_{|ζ|=r} \frac{|f(ζ)|}{|ζ|^{2}} ≤ \frac{1}{r} → 1 (r → 1)

Für g(z) = \frac{f(z)}{z} und |z| < r folgt |g(z)| ≤ max_{|ζ|=r} |g(ζ)| ≤ 1/r → 1, also |f(z)| ≤ |z|.

Liouville: Ist f : ℂ → ℂ holomorph und beschränkt, so ist f konstant.

Zum Beweis kann man die Cauchy–Formel abschätzen. Für |z| < R gilt nämlich

\begin{aligned}|f(z) − f(0)| & = \frac{1}{2π} | ∫_{|ζ|=R} f(ζ)[\frac{1}{ζ − z} − \frac{1}{ζ}] dζ| = \frac{1}{2π} | ∫_{|ζ|=R} \frac{zf(ζ)}{ζ(ζ − z)} dζ| \\ & ≤ max_{|ζ|=R} |f(ζ)| · \frac{|z|}{R − |z|} ≤ \frac{C|z|}{R − |z|} → 0 (R → ∞) . \end{aligned}

Allgemeiner gilt die Cauchy–Abschätzung. Ist f : G → ℂ holomorph und D = D_{r}(z_{0}) eine Kreisscheibe mit \overline{D} ⊂ G, so gilt

f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2πi} ∫_{∂D} \frac{f(ζ)}{(ζ − z)^{n+1}} dζ für alle z ∈ D .

Für z = z_{0} und C_{r} = max_{|ζ−z_{0}|=r} |f(ζ)| folgt

|f^{(n)}(z_{0})| = \frac{n!}{2π} · | ∫_{|ζ−z_{0}|=r} \frac{f(ζ)}{(ζ − z_{0})^{n+1}} dζ| ≤ \frac{n!}{r^{n}} · C_{r} ,

für die Koeffizienten der Potenzreihe f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − z_{0})^{n} also |a_{n}| ≤ C_{r}/r^{n}.

Lemma. Sei f eine ganze Funktion, d.h. f : ℂ → ℂ holomorph.

(i) Gilt |f(z)| ≤ C|z|^{n} für alle |z| ≥ R, dann ist f Polynom vom Grad ≤ n. (ii) Gibt es Konstanten R, C > 0, so daß |f(z)| ≥ C|z|^{n} für alle |z| > R, dann

ist f ein Polynom vom Grad ≥ n. Umgekehrt gilt: Lemma. Sei p(z) = z^{n} + a_{n−1}z^{n−1} + … + a_{0} ein Polynom.

(i) Dann gibt es C > 0, so daß |p(z)| ≤ C |z|^{n} für |z| ≥ 1 . (ii) Für ε > 0 gibt es r ≥ 1, so daß

(1 − ε)|z|^{n} ≤ |p(z)| ≤ (1 + ε)|z|^{n} für |z| ≥ r .

Ist γ : [0, 1] → ℂ ein geschlossener Weg, so ist für z ∉ |γ| die ganze Zahl

n(γ, z) = \frac{1}{2πi} ∫_{γ} \frac{1}{ζ − z} dζ die Windungszahl von γ bzgl. z .

Sei f meromorph in G und a ∈ G. Dann gibt es ein n ∈ ℤ, eine Umgebung U ⊂ G von a und eine holomorphe Funktion h in U mit

f(z) = (z − a)^{n} · h(z) und h(a) ≠ 0 .

h erhählt man durch die Laurent–Entwicklung von f um a. Dort gilt

ord_{a} f = n , \frac{f′(z)}{f(z)} = \frac{n}{z − a} + \frac{h′(z)}{h(z)} .

Ist ε > 0 klein genug, daß h(z) ≠ 0 in D_{2ε}(a), so folgt

∫_{∂D_{ε}(a)} \frac{f′(z)}{f(z)} dz = ∫_{∂D_{ε}(a)} \frac{n}{z − a} dz + ∫_{∂D_{ε}(a)} \frac{h′(z)}{h(z)} dz = 2πi · n .

Sei f holomorph in a ∈ ℂ. Dann ist ν_{f}(a) := ord_{a}(f − f(a)) die Vielfachheit, mit der a auf f(a) abgebildet wird. Ist f konstant, dann ν_{f}(a) = ∞. Ansonsten gibt es ein n ≥ 1, so daß in der Nähe von a gilt f(z) = f(a) + (z − a)^{n}g(z) mit g holomorph in a und g(a) ≠ 0. Dann ist ν_{f}(a) = n. Für n = 1 gilt g(a) = f′(a).

Ist f : G → ℂ holomorph, so ist

N_{f}(w) = ∑_{z∈f^{−1}(w)}ν_{f}(z) die Anzahl der w–Stellen in G mit Vielfachheit .

Ist D ⊂⊂ G eine Kreisscheibe, so ist für w ∉ f(∂D)

N_{f}(w, D) = \frac{1}{2πi} ∫_{∂D} \frac{f′(ζ)}{f(ζ) − w} dζ = \frac{1}{2πi} ∫_{f(∂D)} \frac{dξ}{ξ − w}

die Anzahl der w–Stellen von f in D. Für γ = ∂D ist dies n(f ∘ γ, w).

Argumentprinzip: Sei f : G → ℂ holomorph im Gebiet G und γ : [0, 1] → G ein geschlossener Weg, der nullhomolog (in G) ist und auf dem keine b–Stelle von f liegt. Dann gilt

\frac{1}{2πi} ∫_{γ} \frac{f′(z)}{f(z) − b} dz = n(f ∘ γ, b) = ∑_{a∈f^{−1}(b)}ν_{f}(a) · n(γ, a) .

Dabei heißt γ ⊂ G nullhomolog, wenn Int γ ⊂ G, d.h. n(γ, z) = 0 für alle z ∉ G. Berandet γ die offene Menge V ⊂⊂ G, d.h. γ = ∂V, n(γ, z) = 1 für z ∈ V und n(γ, z) = 0 sonst, dann zählt n(f ∘ γ, w) die Anzahl der w–Stellen von f in V.

Rouché: Seien f, g : G → ℂ holomorh und die offene Menge V ⊂⊂ G werde von einer Kurve berandet. Gilt |f(ζ) − g(ζ)| < |f(ζ)| für alle ζ ∈ ∂V, so haben f und g gleichviele Nullstellen in V. (Gilt auch, wenn ∂V Randzyklus ist.)

Sind γ_{1}, …, γ_{n} geschlossene Kurven, so nennt man Γ := γ_{1} + … + γ_{n} Zyklus. Die Windungszahl für z ∉ Γ ist n(Γ, z) := ∑_{j=1}^{n} n(γ_{j}, z) und

Int Γ = {z ∈ ℂ \ Γ : n(Γ, z) ≠ 0} das Innere von Γ und
Ext Γ = {z ∈ ℂ \ Γ : n(Γ, z) = 0} das Äußere von Γ .

Sei G ⊂ ℂ offen. Dann heißt Γ nullhomolog in G, wenn Int Γ ⊂ G. Zwei Zykel Γ_{1}, Γ_{2} heißen homolog in G, wenn n(Γ_{1}, z) = n(Γ_{2}, z) ∀ z ∉ G. Ein Zyklus Γ in G heißt Randzyklus von (der offenen Menge) V ⊂⊂ G, wenn

∂V = Γ , n(Γ, z) = 1 ∀ z ∈ V , n(Γ, z) = 0 ∀ z ∉ \overline{V} .

Cauchy–Integralsatz/Formel für Zykel: Sei f holomorph im Gebiet G und Γ ⊂ G nullhomologer Zyklus in G, d.h. Int Γ ⊂ G. Dann gilt:

(i) ∫_{Γ} f(z) dz = 0 ; (ii) n(Γ, z) · f(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{Γ} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ ∀ z ∈ G \ Γ .

Für eine Kreisscheibe D ⊂⊂ G ist somit ∫_{∂D} \frac{f(ζ)}{ζ−z} dζ = 0 für z ∈ ℂ \ \overline{D}. Dies folgt auch, da g(ζ) = \frac{f(ζ)}{ζ−z} holomorph in \overline{D} ist, wenn z ∈ ℂ \ \overline{D}.

Definition. Sei U offen und a ∈ U. Sei f : U \ {a} → ℂ holomorph und r > 0, so daß \overline{D}_{r}(a) ⊂ U. Dann heißt

res_{a} f := \frac{1}{2πi} ∫_{∂D_{r}(a)} f(z) dz das Residuum von f in a .

Es gilt:

(i) Ist f(z) = ∑_{n=−∞}^{∞} a_{n}(z −b)^{n} die Laurent–Reihe um b, dann ist res_{b} f = a_{−1} .

(ii) Sei h(z) = ∑_{n=−∞}^{−1} a_{n}(z − b)^{n} ein Hauptteil um b und γ ⊂ ℂ \ {b} eine

geschlossene Kurve. Dann ist h : ℂ \ {b} → ℂ holomorph und

\frac{1}{2πi} ∫_{γ} h(z) dz = \frac{a_{−1}}{2πi} ∫_{γ} \frac{dz}{z − b} = a_{−1} · n(γ, b) = n(γ, b) · res_{b} h .

(iii) Ist a außerwesentliche Singularität von f ≢ 0, dann ist ord_{a} f = res_{a} (\frac{f′}{f} ).

(iv) f nicht–konstant ⇝ ν_{f}(a) = res_{a} (\frac{f′}{f−f(a)}).

Residuensatz für Zykel: Sei G ein Gebiet, S ⊂ G eine diskrete Menge in G und f : G\S → ℂ holomorph. Sei Γ ⊂ G \ S nullhomologer Zyklus in G. Dann gilt

\frac{1}{2πi} ∫_{Γ} f(z) dz = ∑_{z∈Int Γ} n(Γ, z) · res_{z} f .

Ist der Rand von V ⊂⊂ G ein Randzyklus, so gilt \frac{1}{2πi} ∫_{∂V} f(z) dz = ∑_{z∈V} res_{z} f .

Konvergenzsatz von Weierstraß: Sei G offen und f_{n} : G → ℂ eine Folge holomorpher Funktionen, die lokal gleichmäßig gegen f : G → ℂ konvergiert. Dann ist f holomorph und die Ableitungen konvergieren ebenfalls lokal gleichmäßig, f_{n}^{(k)} → f^{(k)}.

1. Harmonische Funktionen

Definition. Sei G ⊂ ℂ offen. Eine C^{2}–Funktion u : G → ℝ heißt harmonisch, wenn

Δu = \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}} = 4\frac{∂^{2}u}{∂z∂\overline{z}} = 0 in G.

Δ = \frac{∂^{2}}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}}{∂y^{2}} heißt Laplace–Operator.

u sei harmonisch auf \overline{G}, wenn u harmonisch in einer Umgebung von \overline{G} ist.

Ist f holomorph, dann gilt Δf = 4(f\overline{z})_{z} = 0 (komplex harmonisch). Für Realteil u = Re f und Imaginärteil v = Im f gilt Δu = u_{xx} + u_{yy} = v_{yx} − v_{xy} = 0 und analog Δv = 0, d.h. Real– und Imaginärteil holomorpher Funktionen sind harmonisch. Also ist u : G → ℝ harmonisch, wenn u lokal Realteil einer holomorphen Funktion ist. Somit ist log |f| harmonisch in {f ≠ 0}, da lokal log |f| = Re(log f) für einen Zweig des Logarithmus.

Lemma 1.1. u : G → ℝ harmonisch ⇒ 2u_{z} = u_{x} − iu_{y} holomorph.

Beweis. 0 = Δu = 2(2u_{z})\overline{z}.

Definition. Sei u : G → ℝ harmonisch, G Gebiet. v : G → ℝ heißt konjugiert harmonisch zu u, falls f = u + iv holomorph ist in G.

Bemerkung. v ist ebenfalls harmonisch. v ist bis auf additive Konstante eindeutig bestimmt: Seien v, ṽ konjugiert zu u im Gebiet G, somit f = u + iv, f̃ = u + iṽ holomorph. Re(f̃− f) ≡ 0 ⇒ f̃− f ≡ ic ⇒ ṽ = v + c. Beispiel.

(i) u(x, y) = 2xy ⇝ v(x, y) = y^{2} − x^{2}, f(z) = −iz^{2} = u + iv.

(ii) log |z| hat in ℂ \ {0} keine konjugierte harmonische Funktion.

(iii) −i(u + iv) = v − iu ⇝ wenn v konjugiert zu u, dann −u konjugiert zu v.

Sei G ein Gebiet. Dann: G ist einfach zusammenhängend ⟺ ℂ̂ \ G zusammenhängend ⟺ Jede holomorphe Funktion hat eine Stammfunktion ⟺ Jede holomorphe Funktion f : G → ℂ \ {0} hat holomorphen Logarithmus g : G → ℂ, d.h. f = e^{g}. Ist f holomorph in einem einfach zusammenhängenden Gebiet G, dann ist das Wegintegral von a ∈ G nach b ∈ G wegunabhängig. Somit kann man schreiben

∫_{a}^{b} f(z) dz .

Eine Stammfunktion ist dann definiert durch F (z) = ∫_{z_{0}}^{z} f(ζ) dζ, und

für jeden geschlossenen Weg γ ⊂ G ist ∫_{γ} f dz = 0.

Satz 1.2. Sei G einfach zusammenhängendes Gebiet. Dann existiert zu jeder harmonischen Funktion u : G → ℝ eine holomorphe Funktion f : G → ℂ mit Re f = u.

Beweis. u_{z} ist holomorph in G. Da G einfach zusammenhängend ist, hat 2u_{z} eine Stammfunktion F : G → ℂ, d.h. F holomorph mit F′ = 2u_{z} = u_{x} − iu_{y}. Weiter ist F = ũ + iṽ mit ũ = Re F

\begin{matrix}⇒ F′ = ũ_{x} + iṽ_{x} = ũ_{x} − iũ_{y} = u_{x} − iu_{y} \\ ⇒ ũ_{x} = u_{x} , ũ_{y} = u_{y} ⇒ d(ũ − u) = 0 . \end{matrix}

Da G Gebiet, gibt es c ∈ ℝ mit u = ũ + c, also u = Re(F + c).

Umgekehrt gilt auch: Sei G ein Gebiet. Existiert zu jeder harmonischen Funktion u : G → ℝ eine holomorphe Funktion f : G → ℂ mit Re f = u, so ist G einfach zusammenhängend.

Folgerung. Sei G Gebiet, u : G → ℝ eine C^{2}–Funktion.

a) u harmonisch ⟺ lokal u = Re f, f holomorph

b) G einfach zusammenhängend: u harmonisch in G ⟺ u = Re f, f holomorph in G ⟺ ∃ v konjugiert harmonisch zu u in G

c) Harmonische Funktionen sind beliebig oft difbar.

Lemma 1.3. Sei u : G → ℝ harmonisch, F : H → G holomorph ⇒ u ∘ F : H → ℝ harmonisch.

Beweis. lokal: u = Re f, f = u + iv holomorph ⇝ Re(f ∘ F) = u ∘ F.

Allgemeiner gilt Δ(u ∘ F) = ((Δu) ∘ F )|F′|^{2} .

Satz. Sei G ein Gebiet und f : G → ℂ sei stetig mit MWE.

(i) Hat |f| in z_{0} ∈ G ein lokales Maximum, so ist f in einer Umgebung von z_{0} konstant.

(ii) Hat |f| ein globales Maximum, so ist f konstant in G.

(iii) Ist G beschränkt und zudem f stetig auf \overline{G}, so nimmt |f| sein Maximum auf dem Rand ∂G an.

Beweis. siehe [FL1].

Satz 1.4. Sei G ein Gebiet und u : G → ℝ sei stetig mit MWE.

(i) Hat u in z_{0} ∈ G ein lokales Maximum oder Minimum, so ist u in einer Umgebung von z_{0} konstant.

(ii) Hat u in z_{0} ∈ G ein globales Maximum oder Minimum, so ist u konstant in G.

(iii) Ist G beschränkt und zudem u stetig auf \overline{G}, so nimmt u sein Maximum und Minimum auf dem Rand ∂G an.

Beweis. (i) Sei D eine Kreisscheibe mit Radius R > 0 um z_{0}, in der u(z_{0}) = c ein Maximum ist. O.E. sei D klein genug, daß die Mittelwertformel gilt. Gäbe es ein a ∈ D mit u(a) < c, dann wäre der Mittelwert auf {|z − z_{0}| = |a − z_{0}|} auch kleiner c, da u stetig ist. Bei einem Minimum analog oder betrachte −u. (ii) Ist u(z_{0}) = c, so ist wegen Stetigkeit G′ = {u(z) = c} relativ abgeschlossen in G. Ist z_{1} ∈ G′, so gibt es nach (i) eine Umgebung U von z_{1} mit u|_{U} ≡ c. Somit ist G′ offen. Da G zusammenhängend, folgt G′ = G. (iii) folgt aus (ii).

Hat f : \overline{G} → ℂ die MWE, so auch Re f und Im f. Ist zudem G ⊂⊂ ℂ und Im f|_{∂G} ≡ 0 ⇒ Im f ≡ 0.

Satz 1.5 (MWE). Sei u : G → ℝ harmonisch, dann hat u die MWE.

Es gilt sogar: Wenn \overline{D}_{r}(a) ⊂ G, so ist u(a) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}u(a + re^{it}) dt.

Beweis. \overline{D}_{r}(a) hat eine einfach zusammenhängende Umgebung U ⊂ G, in der es ein holomorphes f gibt mit u = Re f. Mit f hat auch Re f die MWE.

Folgerung. Sei G ein Gebiet und u : G → ℝ harmonisch. Hat u in z_{0} ∈ G ein lokales Maximum oder Minimum, dann ist u in einer Umgebung von z_{0} konstant.

Mit dem Identitätssatz wird aus einem lokalen Maximum/Minimum folgen, daß u konstant im ganzen Gebiet G ist.

Satz 1.6 (Identitätssatz). Sei u : G → ℝ harmonisch im Gebiet G ⊂ ℂ und gelte u|_{V} ≡ 0 in einer offenen Menge V ⊂ G, dann ist u ≡ 0 in G.

Beweis. Sei A = {z ∈ G : u = 0 in einer Umgebung von z }. A ist offen und nichtleer. Zeige: A ist relativ abgeschlossen in G. Sei z_{0} ∈ \overline{A} ∩ G. Dann gibt es eine Kreisscheibe D ⊂⊂ G um z_{0} und eine holomorphe Funktion f : D → ℂ mit Re f = u. Für z_{1} ∈ A ∩ D ist Re f = 0 in einer Umgebung von z_{1} ⇝ f ≡ ic um z_{1} ⇝ f ≡ ic in D (Id-Satz für f). Somit u = Re f = 0 in D, d.h. z_{0} ∈ A.

Beachte: u(x, y) = x ist harmonisch und verschwindet auf {x = 0}.

Folgerung (aus MWE). Nullstellen harmonischer Funktionen u : G → ℝ sind niemals isoliert.

Beweis. Ist u(a) = 0 und R > 0 so, daß für r < R die Mittelwertformel gilt, dann ist ∫_{0}^{2π} u(a+re^{it}) dt = 0. Ist nun u(a+re^{it_{1}}) ≠ 0, dann ist wegen Stetigkeit u in einem offenen Kreisbogen um t_{1} ungleich Null. Da der Mittelwert 0 ist, muß an einer anderen Stelle der Wert u(a + re^{it}) entgegengesetztes Vorzeichen haben. Da u stetig ist, enthält das zusammenhängende Bild u({|z − a| = r}) ⊂ ℝ die Null.

Für komplexe harmonische Funktionen gilt das i.a. nicht, wie die holomorphen Funktionen zeigen. Da verschwinden i.a. Realteil und Imaginärteil auf Kreislinien um Nullstellen für unterschiedliche Argumente.

Satz 1.7 (Maximumprinzip). Sei u : G → ℝ harmonisch, G ⊂ ℂ Gebiet. Hat u ein lokales Maximum oder Minimum in G, so ist u konstant. Ist G beschränkt und stetig auf \overline{G}, dann wird Maximum und Minimum auf ∂G angenommen.

Beweis. Wegen MWE gilt: Hat u lokales Min/Max in z ⇒ u in Umgebung von z konstant. Mit Identitätssatz folgt Behauptung.

Folgerung. Sei G beschränkt und u_{1}, u_{2} : G → ℝ harmonisch und stetig auf \overline{G}. Ist u_{1}|_{∂G} = u_{2}|_{∂G}, dann ist u_{1} = u_{2}.

Dirichlet–Problem: Sei G ein Gebiet und h : ∂G → ℝ stetig. Gibt es eine stetige Funktion f : \overline{G} → ℝ, die harmonisch in G ist, mit den Randwerten f|_{∂G} = h?

Folgerung. Ist G beschränkt, so gibt es höchstens eine Lösung des Dirichlet– Problems zu gegebenen stetigen Randwerten.

Definition. Eine stetige Funktion v : G → ℝ heißt subharmonisch, wenn für jede Kreisscheibe D_{r}(z) ⊂⊂ G gilt

v(z) ≤ \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}v(z + re^{it}) dt .

Subharmonische Funktionen erfüllen die Mittelwertungleichung und somit das lokale Maximumprinzip, i.a. jedoch nicht das Minimumprinzip. Beispiel.

· f holomorph ⇒ |f|, |f|^{α} subharmonisch

· u harmonisch ⇒ |u| subharmonisch

· lokal: f = u + iv ⇒ e^{f} holomorph ⇒ e^{u} = |e^{f}| subharmonisch

Satz. Sei v : G → ℝ, v ∈ C^{2}. Dann gilt: v subharmonisch ⟺ Δv ≥ 0 .

§ Poisson–Formel

Sei D eine Kreisscheibe, so definiert eine stetige Funktion ϕ : ∂D → ℂ eine holomorphe Funktion g : ℂ \ ∂D → ℂ,

g(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{∂D} \frac{ϕ(ζ)}{ζ − z} dζ , denn

\frac{g(z) − g(z_{0})}{z − z_{0}} = \frac{1}{2πi} ∫_{∂D} \frac{ϕ(ζ)}{(ζ − z)(ζ − z_{0})} dζ → \frac{1}{2πi} ∫_{∂D} \frac{ϕ(ζ)}{(ζ − z_{0})^{2}} dζ (z → z_{0}) .

Allerdings braucht das Randverhalten von g nichts mit ϕ zu tun haben. Zum Beispiel gilt für ϕ(ζ) = \overline{ζ} auf \{|ζ| = 1\}: g|_{𝔻} ≡ 0.

Entwickle \frac{1}{ζ−z} in geometrische Reihe: \frac{1}{ζ−z} = \frac{1}{ζ} \frac{1}{1− \frac{z}{ζ}} = \frac{1}{ζ} ∑_{k≥0}(\frac{z}{ζ})^{k}; somit \frac{\overline{ζ}}{ζ−z} = \frac{|ζ|^{2}}{ζ^{2}} \frac{1}{1− \frac{z}{ζ}} =

|ζ|^{2} ∑_{k≥0} \frac{z^{k}}{ζ^{k+2}} , wobei ∫_{∂𝔻} ζ^{k} dζ = 0 für k ≠ −1. Oder: ϕ = f|_{∂𝔻}, f(ζ) = \frac{1}{ζ} ∈ O(ℂ̂ \ \{0\}).

Ist nun f : D → ℂ holomorph und stetig in \overline{D}, dann gilt^{1}

g(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{∂D} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ = \begin{cases}f(z) & , z ∈ D \\ 0 & , z ∈ ℂ \ \overline{D} , \end{cases}

und die Werte der Cauchy–Formel in D konvergieren zum Rand hin gegen die Werte von f auf dem Rand, da g(z) = f(z) in D. Ist also die stetige Funktion auf dem Rand die Einschränkung einer holomorphen Funktion in \overline{D}, so liefert die Integralformel eine holomorphe Funktion in D, die zum Rand hin mit den vorgegebenen Randwerten zusammenpaßt.

• Sei nun D_{R} = \{|z| < R\} und u : \overline{D}_{R} → ℝ harmonisch. Es gilt

u(0) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}u(Re^{iθ}) dθ .

Ist T : \overline{𝔻} → \overline{D}_{R} biholomorph mit T (0) = a ∈ D_{R} und T (e^{iθ}) = Re^{it}, so ist u ∘ T : \overline{𝔻} → ℝ harmonisch und die MWE ergibt

u(a) = u ∘ T (0) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}u ∘ T (e^{iθ}) dθ = \frac{1}{2πi} ∫_{|ζ|=1} u ∘ T (ζ) \frac{dζ}{ζ} .

1O.E. sei D = 𝔻 und definiere g_{r}(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{∂𝔻} \frac{f(rζ)}{ζ−z} dζ. g_{r} ist holomorph in ℂ \ ∂𝔻, g_{r}(z) = f(rz) für |z| < 1 und g_{r}(z) = 0 für |z| > 1. Zudem |g_{r}(z) − g(z)| → 0 (r → 1).

Mit ζ = e^{iθ}, z = Re^{it} und T (ζ) = z ergibt sich dθ = \frac{dζ}{iζ} , dz = iz dt und

dζ = (T^{−1})′(z) dz , dθ = \frac{(T^{−1})′(z)}{T^{−1}(z)} z dt ,

⇝ u(a) = \frac{1}{2πi} ∫_{|z|=R} u(z)\frac{(T^{−1})′(z)}{T^{−1}(z)} dz = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}u(z)\frac{(T^{−1})′(z)}{T^{−1}(z)} z dt .

Nun ist φ_{b}(z) = \frac{z − b}{\overline{b}z − 1} ein Automorphismus 𝔻 → 𝔻 mit φ_{b}(0) = b, φ_{b}^{−1} = φ_{b} und

φ′_{b}(z) = \frac{|b|^{2} − 1}{(\overline{b}z − 1)^{2}} . So gilt für T (ζ) = R · φ\frac{a}{R} (ζ) , T : 𝔻 → D_{R}, T (∂𝔻) = ∂D_{R},

T (0) = a , T^{−1}(z) = R\frac{z − a}{\overline{a}z − R^{2}} , (T^{−1})′(z) = \frac{R}{\overline{a}z − R^{2}} [1 − \frac{(z − a)\overline{a}}{\overline{a}z − R^{2}}] .

Mit z\overline{z} = R^{2} erhält man

z \frac{(T^{−1})′(z)}{T^{−1}(z)} = \frac{z}{z − a} + \frac{\overline{a}z}{R^{2} − \overline{a}z} = \frac{z}{z − a} + \frac{\overline{a}}{\overline{z} − \overline{a}} = \frac{|z|^{2} − |a|^{2}}{|z − a|^{2}} .

Nun ist

Re \frac{z + a}{z − a} = \frac{1}{2}(\frac{z + a}{z − a} + \frac{\overline{z} + \overline{a}}{\overline{z} − \overline{a}}) = \frac{|z|^{2} − |a|^{2}}{|z − a|^{2}} .

Damit erhält man die Poisson–Formel (z = Re^{it}, a ∈ D_{R})

u(a) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} \frac{R^{2} − |a|^{2}}{|Re^{it} − a|^{2}} u(Re^{it}) dt = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}Re(\frac{z + a}{z − a})u(z) \frac{dz}{iz} .

P (z, a) = \frac{|z|^{2} − |a|^{2}}{|z − a|^{2}} = Re \frac{z + a}{z − a} heißt Poisson–Kern für die Kreisscheibe D_{R}. Da die Poisson–Formel auch für komplexwertige harmonische Funktionen gilt, gilt insbesondere für holomorphe f : \overline{D}_{R} → ℂ

f(z) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}P (Re^{iϑ}, z)f(Re^{iϑ}) dϑ = \frac{1}{2πi} ∫_{|ζ|=R} P (ζ, z)f(ζ) \frac{dζ}{ζ} .

Zudem gilt (Schwarz): f(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{|ζ|=R} \frac{ζ + z}{ζ − z} Ref(ζ) \frac{dζ}{ζ} + i Imf(0) .

Beweis. Sei u = Re f und F (z) = \frac{1}{2π} ∫_{∂D_{R}} \frac{ζ + z}{ζ − z} u(ζ) \frac{dζ}{iζ} .

⇝ Re F (z) = \frac{1}{2π} ∫_{∂D_{R}} Re(\frac{ζ + z}{ζ − z} ) u(ζ) \frac{dζ}{iζ} = u(z) = Re f(z)

⇝ Im f = Im F +C ⇝ C = Im f(0), da F (0) ∈ ℝ. ⇝ f = F +i Im f(0) .

Satz 1.8 (Poisson–Formel). Sei D_{r} = \{|z| < r\} und P (ζ, z) = \frac{|ζ|^{2} − |z|^{2}}{|ζ − z|^{2}} .

(i) Ist u stetig auf \overline{D}_{r} und harmonisch in D_{r}, so gilt

u(z) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}P (re^{iϑ}, z) u(re^{iϑ}) dϑ für z ∈ D_{r}.

(ii) Ist h stetig auf ∂D_{r}, so ist

u(z) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}P (re^{iϑ}, z) h(re^{iϑ}) dϑ harmonisch in D_{r}.

Beweis. (i) Für ρ < 1 ist u_{ρ}(z) = u(ρz) harmonisch auf \overline{D}_{r}, die Poisson-Formel

gilt und |u_{ρ} −u|_{\overline{D}_{r}} → 0 für ρ → 1. Somit u(z) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} P (re^{iϑ}, z) lim_{ρ→1} u_{ρ}(re^{iϑ}) dϑ.

(ii) P (ζ, z) = Re \frac{ζ+z}{ζ−z} ist harmonisch in z. Vertauschen von Differentiation und Integration liefert Δu = 0.

Sei u ≡ 1. Für z ∈ D_{r} gilt dann ∫_{0}^{2π}P (re^{iϑ}, z) dϑ = ∫_{0}^{2π} \frac{r^{2} − |z|^{2}}{|re^{iϑ} − z|^{2}} dϑ = 2π.

Satz 1.9 (Liouville). u : ℂ → ℝ harmonisch und beschränkt ⇒ u konstant.

Beweis. (a) Sei |u| < C und z ∈ D_{R}.

|u(z) − u(0)| = \frac{1}{2π} | ∫_{∂D_{R}} (P (ζ, z) − 1) u(ζ) \frac{dζ}{iζ} | ≤ \frac{2πR}{2πR} · max_{|ζ|=R} |P (ζ, z) − 1|·|u(ζ)| .

Es gilt max_{∂D_{R}} |u| < C und

P (ζ, z) − 1 = Re \frac{ζ + z}{ζ − z} − Re \frac{ζ − z}{ζ − z} = 2 Re \frac{z}{ζ − z} .

Somit |u(z) − u(0)| ≤ 2C · max_{|ζ|=R} | Re \frac{z}{ζ−z}| ≤ 2C · max_{|ζ|=R} |\frac{z}{ζ−z}| → 0 für R → ∞.

(b) Alternativ: Sei f : ℂ → ℂ holomorph mit Re f = u. Da | Re f| < C, wähle konforme Abbildung φ : {| Re z| < C} → 𝔻. Dann ist φ ∘ f : ℂ → 𝔻 konstant.

Satz 1.10 (Schwarz). Sei D_{R} = {|z| < R} und h stetig auf ∂D_{R}. Dann ist

u(z) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}P (Re^{iϑ}, z) h(Re^{iϑ}) dϑ & , z ∈ D_{R} \\ h(z) & , z ∈ ∂D_{R} \end{matrix}

stetig auf \overline{D}_{R} und harmonisch in D_{R}.

Beweis. Es war P (ζ, z) = \frac{|ζ|^{2} − |z|^{2}}{|ζ − z|^{2}} = Re \frac{ζ + z}{ζ − z} mit \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}P (re^{iϑ}, z) dϑ = 1 .

u(z) = Re (\frac{1}{2πi} ∫_{|ζ|=R} \frac{ζ+z}{ζ−z} u(ζ) \frac{dζ}{ζ} ) ist harmonisch in D_{R}, da z ↦ \frac{ζ+z}{ζ−z} holomorph

ist. Es bleibt die Stetigkeit am Rand zu zeigen. Sei ζ_{0} ∈ ∂D_{R}, ζ = Re^{iϑ} und dζ = iζ dϑ. Für z ∈ D_{R} gilt

u(z) − h(ζ_{0}) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}P (ζ, z) (h(ζ) − h(ζ_{0})) dϑ .

Sei ε > 0. Da h stetig ist, gibt es δ_{0} > 0 mit |h(ζ) − h(ζ_{0})| < ε für |ζ − ζ_{0}| < δ_{0}. Da ∂D_{R} kompakt ist, ist |h(ζ)| < C für |ζ| = R. Wegen P (ζ, z) > 0 gilt

|u(z)−h(ζ_{0})| = \frac{1}{2π} | ∫_{0}^{2π}P (ζ, z) (h(ζ)−h(ζ_{0})) dϑ| ≤ \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}P (ζ, z) |h(ζ)−h(ζ_{0})| dϑ .

Sei I_{0} = {ϑ ∈ [0, 2π] : |ζ − ζ_{0}| < δ_{0}} und I_{1} = [0, 2π] \ I_{0}. Dann ist

|u(z) − h(ζ_{0})| ≤ \frac{ε}{2π} ∫_{I_{0}} P (ζ, z) dϑ + \frac{2C}{2π} ∫_{I_{1}} P (ζ, z) dϑ .

Für |z − ζ_{0}| =: δ ≤ δ_{0}/2 ist P (ζ, z) = \frac{R + |z|}{|ζ − z|} · \frac{R − |z|}{|ζ − z|} ≤ \frac{2R}{|ζ − z|} · \frac{δ}{|ζ − z|} , und

wenn zudem ϑ ∈ I_{1}, d.h. |ζ − ζ_{0}| ≥ δ_{0}, ist |ζ − z| ≥ |ζ − ζ_{0}| − |z − ζ_{0}| ≥ δ_{0}/2 . Zusammen ergibt dies

P (ζ, z) ≤ \frac{2R}{δ_{0}/2} · \frac{δ}{δ_{0}/2} = \frac{8R}{δ_{0}^{2}} δ in I_{1} .

Somit ist \frac{ε}{2π} ∫_{I_{0}} P (ζ, z) dϑ ≤ ε und

\frac{2C}{2π} ∫_{I_{1}} P (ζ, z) dϑ ≤ \frac{16CRδ}{2πδ_{0}^{2}} ∫_{I_{1}} dϑ ≤ \frac{16CRδ}{δ_{0}^{2}} .

Wählt man δ klein genug, folgt |u(z) − h(ζ_{0})| ≤ ε + \frac{16CR}{δ_{0}^{2}} δ < 2ε.

Das Dirichlet–Problem für Kreisscheiben hat für stetige Randwerte eine Lösung. Die durch das Poisson–Integral im Inneren produzierte harmonische Funktion ist stetig bis auf den Rand und stimmt dort mit den gegebenen Randwerten überein.

Für |ζ_{0}| = R ist z ↦ P (ζ_{0}, z) stetig in ℂ \ {ζ_{0}} und

P (ζ_{0}, z) \begin{cases}> 0 & , |z| < R \\ = 0 & , z ∈ ∂D_{R} \ \{ζ_{0}\} \\ < 0 & , |z| > R . \end{cases}

Der Mittelwert für |ζ| = 1 war \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} P (ζ, z) dϑ = 1. Für z ∈ D_{R} nahe ζ_{0} sind die Werte P (ζ_{0}, z) eher groß und für z am gegenüberliegenden Randstück klein.

Wegen |ζ| − |z| ≤ |ζ − z| ≤ |ζ| + |z| ist \frac{|ζ| − |z|}{|ζ| + |z|} ≤ \frac{|ζ| − |z|}{|ζ − z|} · \frac{|ζ| + |z|}{|ζ − z|} .

Ist |z| < |ζ|, also 0 < |ζ|−|z| ≤ |ζ −z|, gilt zudem \frac{|ζ| − |z|}{|ζ − z|} · \frac{|ζ| + |z|}{|ζ − z|} ≤ \frac{|ζ| + |z|}{|ζ| − |z|}.

Dies ergibt für nicht-negative harmonische Funktionen u : \overline{D}_{R} → [0, ∞) die Harnacksche Ungleichung:

\frac{R − |z|}{R + |z|} u(0) ≤ u(z) ≤ \frac{R + |z|}{R − |z|} u(0) für z ∈ D_{R}.

Stetige Funktionen mit MWE sind harmonisch (sogar reell–analytisch):

Satz 1.11. Eine stetige Funktion ist genau dann harmonisch, wenn sie die Mittelwerteigenschaft hat.

Beweis. Harmonische Funktionen haben die MWE. Sei umgekehrt u : U → ℝ stetig mit MWE und sei D ⊂⊂ U eine Kreisscheibe, Dann gibt es eine auf \overline{D} harmonische Funktion g mit g|_{∂D} = u|_{∂D}. Mit u hat auch g−u in D die MWE, und da (g−u)|_{∂D} ≡ 0, folgt aus dem Maximumprinzip für g − u und u − g, daß u|_{D} = g|_{D}. Also ist u harmonisch.

Satz 1.12 (Hebbarkeitssatz). Ist u harmonisch in D_{R}(z_{0})\{z_{0}} und beschränkt, so ist u harmonisch (fortsetzbar) in D_{R}(z_{0}).

Beweis. O.E. z_{0} = 0, D_{R} = D_{R}(0) = {|z| < R}. Für 0 < r < R gibt es eine harmonische Funktion v auf \overline{D}_{r} mit v|_{∂D_{r}} = u|_{∂D_{r}}. Für ε > 0 setze

h_{ε}(z) = u(z) − v(z) + ε log \frac{|z|}{r} .

h_{ε} ist harmonisch in D_{r} \ {0} und für |z| = r ist h_{ε}(z) = u(z) − v(z) = 0. Da h_{ε}(z) → −∞ für z → 0, gibt es 0 < ρ < r, so daß h_{ε}(z) < 0 für |z| ≤ ρ. Also ist h_{ε}(z) ≤ 0 für ρ ≤ |z| ≤ r (Maximumprinzip), d.h. h_{ε}(z) ≤ 0 in D_{r}. Mit ε → 0 folgt u − v ≤ 0 in D_{r}. Analog folgt v − u ≤ 0 und somit u = v in D_{r}.

§ Schwarzsches Spiegelungsprinzip

Sei G ein Gebiet und G^{⋆} = \{z ∈ ℂ : \overline{z} ∈ G\} die Spiegelung an der reellen Achse. Ist f : G → ℂ holomorph, so ist z ↦ \overline{f(\overline{z})} holomorph in G^{⋆}. Ist u : G → ℝ harmonisch, so ist z ↦ u(\overline{z}) harmonisch in G^{⋆}.

Ist G = G^{⋆}, d.h. G symmetrisch zur reellen Achse, so sei G^{+} = G ∩ {Im z > 0}, G^{−} = G ∩ {Im z < 0}, G^{0} = G ∩ {Im z = 0}, somit G = G^{+} ∪ G^{0} ∪ G^{−}. Ist f = u + iv holomorph in G = G^{⋆}, so auch \overline{f(\overline{z})}. Ist f(G^{0}) ⊂ ℝ, so gilt f(z) = \overline{f(\overline{z})} in G^{0} und somit in ganz G mit u(z) = u(\overline{z}) und v(z) = −v(\overline{z}).

Satz 1.13. Sei G = G^{⋆} und u : G^{+} → ℝ harmonisch, so daß für alle ζ ∈ G^{0} gilt lim_{z→ζ} u(z) = 0. (D.h. u stetig in G^{+} ∪ G^{0} mit u|_{G^{0}} = 0.) Dann ist

v(z) = \begin{cases}u(z) & , z ∈ G^{+} \\ 0 & , z ∈ G^{0} \\ −u(\overline{z}) & , z ∈ G^{−} \end{cases}

harmonisch in G.

Beweis. v ist harmonisch in G^{+} ∪ G^{−} und stetig in G mit v(z) = −v(\overline{z}). Sei z_{0} ∈ G^{0} und D = \{|z − z_{0}| < r\} eine Kreisscheibe mit \overline{D} ⊂ G. Dann ist v(z_{0} + re^{it}) = −v(z_{0} + re^{−it}), also v(z_{0}) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} v(z_{0} + re^{it}) = 0. Somit hat v auch in G^{0} die MWE und ist somit harmonisch in G.

Satz 1.14. Sei G = G^{⋆} und f : G^{+} → ℂ holomorph, so daß für alle ζ ∈ G^{0} gilt lim_{z→ζ} Im f(z) = 0. Dann gibt es eine holomorphe Funktion F : G → ℂ mit

F |_{G^{+}} = f. Insbesondere ist f stetig in G^{+} ∪ G^{0} mit f(G^{0}) ⊂ ℝ.

Beweis. Definiere

F (z) = \begin{cases}f(z) & , z ∈ G^{+} \\ \overline{f(\overline{z})} & , z ∈ G^{−} . \end{cases}

Dann ist F holomorph in G^{+} ∪ G^{−} mit F (z) = \overline{F (\overline{z})}. Es bleibt zu zeigen, daß F stetig in G^{0} fortgesetzt werden kann und somit holomorph in G ist. Sei z_{0} ∈ G^{0} und D = D_{r}(z_{0}) eine Kreisscheibe um z_{0} mit \overline{D} ⊂ G. Sei v(z) = Im f(z) für z ∈ D ∩ G^{+}. Dann kann v harmonisch fortgesetzt werden nach D und es gibt eine harmonische Funktion ũ : D → ℝ, so daß f̃ = ũ + iv holomorph in D ist. In D ∩ G^{+} gilt Im(f − f̃) = Im f − v = 0, d.h. f = (f̃ + c)|_{D∩G^{+}} mit c ∈ ℝ. Somit ist F_{0} = f̃ + c holomorph in D. Da F_{0}(x) = \overline{F_{0}(\overline{x})} ∈ ℝ für x ∈ D ∩ G^{0}, ist F_{0}(z) = \overline{F_{0}(\overline{z})} in D. So gilt also F (z) = F_{0}(z) für z ∈ D \ G^{0}. ⇝ F hat eine holomorphe Fortsetzung auf G \ (G_{0} \ D), und so auch auf G.

Wenn man schon weiß, daß f stetig ist in G^{+} ∪ G^{0}, so kann man auch zeigen, daß für jedes abgeschlossene Dreieck Δ ⊂ G gilt ∫_{∂Δ} F dz = 0. Entscheidend ist der Fall, daß Δ ⊂ G^{+} ∪ G^{0} und eine Seite des Dreiecks in G^{0} liegt. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von f auf Δ ist dann auch ∫_{∂Δ} f dz = 0.

§ Greensche Funktion

Sei G ⊂ ℂ ein Gebiet und z_{0} ∈ G. Sei h(ζ) = log |ζ − z_{0}| stetig auf ∂G. Falls es eine Lösung u für das Dirichlet–Problem für G mit Randwerten h gibt, definiere g(z) = u(z) − log |z − z_{0}|. g ist dann die Greensche Funktion von G bzgl. z_{0} (bzw. mit Pol in z_{0}). Es ist g(z) > 0. Man schreibt auch g(z) = g(z, z_{0}).

Definition. Die Greensche Funktion von G mit Pol in z_{0} ist eine harmonische Funktion g : G \ {z_{0}} → ℝ mit:

(i) lim_{z→ζ} g(z) = 0 ∀ ζ ∈ ∂ℂ̂G; (∂ℂ̂G sei der Rand in ℂ̂.)

(ii) g(z) + log |z − z_{0}| ist harmonisch in G, d.h. es gibt eine in einer Umgebung von z_{0} harmonische Funktion u : G → ℝ mit g(z) = u(z) − log |z − z_{0}|.

Lemma 1.15. Falls die Greensche Funktion existiert, ist sie eindeutig bestimmt.

Lemma 1.16. Sei φ : G → G̃ biholomorph (= konform) und φ(z_{0}) = w_{0}. Existiert in G̃ die Greensche Funktion g̃(w, w_{0}), so ist g(z, z_{0}) = g̃(φ(z), w_{0}) Greensche Funktion in G.

Beweis. g = g̃ ∘ φ : G \ {z_{0}} → ℝ ist harmonisch.

Folgerung. Sei G ⊂ G, G ≠ ℂ, ein einfach zusammenhängendes Gebiet und z_{0} ∈ G. Sei φ : G → 𝔻 konform mit φ(z_{0}) = 0. Dann ist

g(z, z_{0}) = − log |φ(z)|

Greensche Funktion in G bzgl. z_{0}.

Beweis. g̃(w, 0) = − log |w| ist Greensche Funktion in 𝔻 bzgl. 0.

Einfach zusammenhängende Gebiete ≠ ℂ haben also eine Greensche Funktion. Da einfach zusammenhängende Gebiete ≠ ℂ ein Kontinuum als Rand haben und keine isolierten Punkte, zeigt die Perron–Methode, daß das Dirichlet–Problem in solchen Gebieten eine Lösung hat. Insbesondere liefert es die Existenz der Greenschen Funktion. Damit kann man wiederum den Riemannschen Abbildungssatz beweisen: Sei g(z, z_{0}) die Greensche Funktion zum einfach zusammenhängenden Gebiet G ⊊ ℂ und z_{0} ∈ G. Dann ist u(z) = g(z) + log |z − z_{0}| harmonisch in G, und da G einfach zusammenhängend ist, gibt es eine harmonische Funktion v : G → ℝ, so daß f = u + iv holomorph in G ist. Setze φ(z) = (z − z_{0})e^{−f(z)} . φ : G → 𝔻 ist bijektiv: z → ∂G ⇒ |φ(z)| → 1, d.h. φ ist eigentlich; zudem ist z_{0} die einzige Nullstelle und φ′(z_{0}) = e^{−f(z_{0})} ≠ 0, d.h. φ : G ⟶^{1:1} 𝔻.

Satz (Riemannscher Abbildungssatz). Sei G ⊊ ℂ einfach zusammenhängendes Gebiet und z_{0} ∈ G. Dann gibt es genau eine konforme Abbildung φ : G → 𝔻 mit φ(z_{0}) = 0 und φ′(z_{0}) > 0.

2. Schlichte Funktionen

Eine Abbildung f : G → H ist injektiv, wenn z_{1} ≠ z_{2} ⇒ f(z_{1}) ≠ f(z_{2}), und surjektiv, wenn f(G) = H. Sie ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist.

Seien G, H Gebiete. Eine holomorphe Funktion f : G → H ist biholomorph, wenn sie bijektiv ist und f^{−1} : H → G holomorph. Biholomorphe Abbildungen heißen auch konform.

Lemma 2.1. Ist G ein Gebiet und f : G → H holomorph und bijektiv, so ist f^{−1} holomorph und f′(z) ≠ 0 für alle z ∈ G.

Beweis. Da f nicht konstant ist, ist f(U) offen, wenn U offen ist. Daher ist f^{−1} stetig, denn f ist die Inverse von f^{−1}. Ist f(z_{0}) = w_{0} und f′(z_{0}) ≠ 0, so folgt f^{−1}(w) = z → z_{0} = f^{−1}(w_{0}), wenn w → w_{0}, und

\frac{f^{−1}(w) − f^{−1}(w_{0})}{w − w_{0}} = \frac{z − z_{0}}{f(z) − f(z_{0})} ⟶ \frac{1}{f′(z_{0})} = (f^{−1})′(w_{0}) (w → w_{0}) .

Die Nullstellen N_{f′} von f′ sind diskret in G, und da f injektiv ist, ist auch f(N_{f′}) diskret in H. Nun ist f^{−1} holomorph in H \ f(N_{f′}) und stetig in H. Mit dem Riemannschen Hebbarkeitssatz folgt, daß f^{−1} holomorph in H ist. Weiter folgt, daß f′(z) ≠ 0 in G, da (f^{−1})′ und f′(z) = 1/(f^{−1})′(f(z)) stetig sind.

Eine Funktion f : G → ℂ heißt schlicht, wenn sie holomorph und injektiv ist. Somit ist f : G → f(G) konform und f′(z) ≠ 0 für alle z ∈ G. Eine Funktion f : G → ℂ heißt lokal schlicht, wenn jedes z ∈ G eine Umgebung U besitzt, so daß f|_{U} schlicht ist. Beispiel: Die Exponentialfunktion exp : ℂ → ℂ \ {0} ist lokal schlicht und exp′(z) ≠ 0 in ℂ. Allerdings ist sie nicht injektiv in ℂ.

Satz 2.2 (lokale Werteannahme). Sei G ein Gebiet und f : G → ℂ holomorph. f habe in z_{0} eine k–fache w_{0}–Stelle, 1 ≤ k < ∞. Dann gibt es Umgebungen U ⊂ G von z_{0} und V von w_{0}, so daß jedes w ∈ V \ {w_{0}} genau k verschiedene Urbilder z_{1}, …, z_{k} in U hat, und zwar mit ν_{f}(z_{j}) = 1 für j = 1, …, k.

Beweis. Es gibt eine Kreisscheibe D ⊂⊂ G um z_{0}, so daß in \overline{D}\\{z_{0}\} keine f(z_{0})– Stellen und keine Nullstellen von f′ liegen. Nach dem Argumentprinzip ist für w ∉ f(∂D)

N_{f}(w, D) = \frac{1}{2πi} ∫_{∂D} \frac{f′(ζ)}{f(ζ) − w} dζ

die Anzahl der w–Stellen von f in D. Sei W die Komponente von ℂ \ f(∂D), in der f(z_{0}) liegt. Dann ist N_{f}(w) = N_{f}(f(z_{0})) konstant für w ∈ W. Da f′(z) ≠ 0 für z ∈ D \ {z_{0}}, sind die w–Stellen in D für W ∋ w ≠ f(z_{0}) einfach. Bemerkung: Ausserhalb von U = D kann es weitere Urbilder geben.

Folgerung. Ist f holomorph, so gilt: f′(z) ≠ 0 ⟺ ∃ U : f|_{U} injektiv.

Ein weiterer Beweis, daß f′(z) ≠ 0 ⇒ f|_{U} injektiv:

Lemma 2.3. Sei G ein Gebiet und f : G → ℂ holomorph. Sei a ∈ G und r > 0 so, daß D := D_{r}(a) ⊂ G. Dann gilt

|\frac{f(z) − f(w)}{z − w} − f′(a)| ≤ |f′ − f′(a)|_{D} für alle z, w ∈ D, z ≠ w.

Sind z_{n} ≠ w_{n} zwei Folgen, die gegen a konvergieren, dann gilt

lim_{n→∞} \frac{f(z_{n}) − f(w_{n})}{z_{n} − w_{n}} = f′(a) .

Ist f′(a) ≠ 0, so gibt es eine Umgebung U von a, in der f injektiv ist.

Beweis. f′ ist stetig und f(z) − f′(a)z Stammfunktion von f′(z) − f′(a) in G,

f(z) − f(w) − f′(a)(z − w) = ∫_{w}^{z}(f′(ζ) − f′(a)) dζ .

Sind z, w ∈ D, dann auch die Strecke [z, w] ⊂ D, und es folgt

|∫_{w}^{z}(f′(ζ) − f′(a)) dζ| ≤ |z − w| · max_{ζ∈[z,w]} |f′(ζ) − f′(a)| für z, w ∈ D .

Somit

|\frac{f(z) − f(w)}{z − w} − f′(a)| ≤ sup_{D} |f′ − f′(a)| für alle z, w ∈ D, z ≠ w.

Wenn z_{n}, w_{n} → a, gibt es zu jedem 0 < ρ < r ein N, so daß z_{n}, w_{n} ∈ D_{ρ}(a) ⊂ G für alle n > N. Da f′ stetig ist, folgt |f′ − f′(a)|_{D_{ρ}(a)} → 0 für ρ → 0. Damit folgt

\frac{f(z_{n}) − f(w_{n})}{z_{n} − w_{n}} → f′(a) .

Ist f′(a) ≠ 0, so gibt es ein 0 < ρ < r, so daß |f′ − f′(a)|_{D_{ρ}(a)} < |f′(a)|, womit f(z) ≠ f(w) für alle z, w ∈ D_{ρ}(a), z ≠ w, folgt.

Inverse: Sei f : \overline{D_{r}}(a) → ℂ schlicht und z ∈ D_{r}(a) mit f(z) = w. Dann gilt

f^{−1}(w) = \frac{1}{2πi} ∫_{|ζ−a|=r} \frac{ζf′(ζ)}{f(ζ) − w} dζ .

Noch zwei weitere Beweise, daß der Differenzenquotient gegen die Ableitung konvergiert, wodurch f(z) ≠ f(w) für z ≠ w nahe a, falls f′(a) ≠ 0. Denn gäbe es in jeder Umgebung z_{n} ≠ w_{n} mit f(z_{n}) = f(w_{n}), so wäre der Grenzwert 0.

Beweis 2. Wegen \frac{1}{(z−a)(z−b)} = \frac{1}{a−b} [\frac{1}{z−a} − \frac{1}{z−b}] gilt für z, w ∈ D

∫_{∂D} \frac{f(ζ)}{(ζ − z)(ζ − w)} dζ = \frac{1}{z − w} ∫_{∂D} [\frac{f(ζ)}{ζ − z} − \frac{f(ζ)}{ζ − w}] dζ = 2πi \frac{f(z) − f(w)}{z − w} .

Weiter gilt für z_{n}, w_{n} → a

lim_{n→∞} ∫_{∂D} \frac{f(ζ)}{(ζ − z_{n})(ζ − w_{n})} dζ = ∫_{∂D} \frac{f(ζ)}{(ζ − a)^{2}} dζ = 2πi f′(a) .

Beweis 3. O.E. sei a = 0 und f(z) = a_{0} + a_{1}z + a_{2}z^{2} + … mit f′(0) = a_{1} ≠ 0.

f(z) − f(w) = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}(z^{n} − w^{n}) = (z − w) ∑_{n=1}^{∞} a_{n}(z^{n−1} + z^{n−2}w + … + w^{n−1})

\frac{f(z) − f(w)}{z − w} = a_{1} + ∑_{n=2}^{∞} a_{n}(z^{n−1} + z^{n−2}w + … + w^{n−1})

|\frac{f(z) − f(w)}{z − w} − a_{1}|_{D_{r}} ≤ ∑_{n=2}^{∞} |a_{n}|nr^{n−1} ⟶ 0 (r → 0)

Lokale Normalform: Ist z_{0} = 0 = f(z_{0}) mit ν_{f}(0) = k, so verhält sich f in der Nähe von 0 wie z ↦ z^{k}. Denn die Potenzreihenentwicklung liefert in einer Kreisscheibe D um Null f(z) = z^{k}g(z) mit g(0) ≠ 0. Man kann annehmen, daß g(z) ≠ 0 in D, und da D einfach zusammenhängend ist, gibt es eine Logarithmusfunktion und eine holomorphe Funktion h in D mit [h(z)]^{k} = g(z). Somit f(z) = [zh(z)]^{k}, wobei angenommen werden kann, daß H(z) = zh(z) injektiv ist, da H′(0) = h(0) ≠ 0.

Satz 2.4 (Hurwitz I). Sei G ein Gebiet und f_{n} : G → ℂ eine Folge holomorpher Funktionen, die in G lokal gleichmäßig gegen f : G → ℂ konvergiert. Sei D eine Kreisscheibe mit \overline{D} ⊂ G und f(z) ≠ 0 für z ∈ ∂D. Dann gibt es ein N ∈ ℕ, so daß f und f_{n} in D gleichviele Nullstellen haben für n ≥ N.

Beweis. Sei ε := min {|f(z)| | z ∈ ∂D}. Dann gibt es N, so daß |f_{n} − f|_{∂D} < ε für n ≥ N. Somit gilt |f_{n}(z) − f(z)| < |f(z)| für z ∈ ∂D. Nach Rouché haben f_{n} und f gleichviele Nullstellen in D.

Speziell folgt für injektive holomorphe Funktionen:

Satz 2.5 (Hurwitz II). Sei G ein Gebiet und f_{n} : G → ℂ eine Folge schlichter Funktionen, die in G lokal gleichmäßig gegen f : G → ℂ konvergiert. Dann ist f entweder schlicht oder konstant.

§ Möbiustransformationen

Die konformen Abbildungen der Sphäre ℂ̂ sind die Möbiustransformationen

T (z) = \frac{az + b}{cz + d} , ad − bc ≠ 0 , mit Inverse T^{−1}(z) = \frac{dz − b}{−cz + a} .

Die Möbiustransformationen bilden bzgl. Komposition die Gruppe Aut(ℂ̂) der Automorphismen von ℂ̂, die isomorph ist zu GL_{2}(ℂ)/{λE : λ ≠ 0}. Denn ist Φ : ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ↦ \frac{az+b}{cz+d}, so ist Ker Φ = \{λE : λ ≠ 0\}. Man findet also auch einen Repräsentanten A ∈ GL_{2}(ℂ) mit det A = 1.

Durch αz\overline{z}+cz+\overline{c}\overline{z}+δ = 0 mit α, δ ∈ ℝ und c\overline{c} > αδ werden Kreise (α ≠ 0) und Geraden (α = 0) beschrieben. Möbiustransformationen sind zusammengesetzt aus Translationen, Drehstreckungen und Inversion z ↦ 1/z. Dadurch werden Kreise und Geraden auf Kreise und Geraden abgebildet. Betrachtet man Geraden als Kreise durch ∞, so bilden Möbiustransformationen Kreise auf Kreise ab. Sind a, b, c ∈ ℂ̂ paarweise verschieden, bildet

T (z) = \frac{b − c}{b − a} · \frac{z − a}{z − c}

die Punkte a, b, c auf 0, 1, ∞ ab. T ist eindeutig bestimmt. Sei T : ℂ̂ → ℂ̂ eine Möbiustransformation, K ⊂ ℂ̂ ein Kreis und D_{1}, D_{2} die Zusammenhangskomponenten von ℂ̂ \ K. Da T (D_{j}) wieder Gebiete sind und T bijektiv ist, sind das die Zusammenhangskomponenten von ℂ̂ \ T (K), d.h. T (D_{1}) ˙∪ T (K) ˙∪ T (D_{2}) = ℂ̂.

Sei ℍ = {z ∈ ℂ | Im z > 0} die obere Halbebene. Dann ist

g : ℍ → 𝔻 , g(z) = \frac{z − i}{z + i} ,

konform mit g(i) = 0. Ist t ∈ ℝ, so ist |g(t)| = 1, d.h. g(ℝ) ⊂ ∂𝔻. Da Kreise auf Kreise abgebildet werden, ist g(ℝ ∪ {∞}) = ∂𝔻. g(ℍ) ist Gebiet und wegen der Bijektivität entweder 𝔻 oder ℂ̂ \ \overline{𝔻}. Wegen g(i) = 0 also g(ℍ) = 𝔻.

Sei

T (z) = \frac{1 + z}{1 − z} , T^{−1}(w) = \frac{w − 1}{w + 1} = −\frac{1}{T (w)} .

Dann gilt T (∂𝔻) = iℝ∪{∞}. Ist H = {z ∈ ℂ | Re z > 0} die rechte Halbebene, so wird 𝔻 konform auf H abgebildet, denn T (0) = 1.

Der Realteil ist der Poisson–Kern P (1, z) = Re \frac{1 + z}{1 − z} = \frac{1 − |z|^{2}}{|1 − z|^{2}} .

Ist c > 0, so bildet T^{−1} Geraden {c+it : t ∈ ℝ} parallel zur Im–Achse auf Kreise in 𝔻 ab, die den Randpunkt 1 berühren. Der Mittelpunkt ist \frac{c}{c+1} und der Radius \frac{1}{c+1}, und die Punkte auf der reellen Achse sind T^{−1}(c) = \frac{c−1}{c+1} und T^{−1}(∞) = 1. Auf einem solchen Kreis ist also P (1, z) ≡ c.

Dipol.

f(z) = \frac{1}{2} log T (z) = \frac{1}{2} log \frac{1 + z}{1 − z} = z + \frac{1}{3}z^{3} + \frac{1}{5}z^{5} + …

bildet 𝔻 konform auf den Streifen \{−\frac{π}{4} < Im w < \frac{π}{4}\} ab.

Koebe–Funktion. Die Koebe–Funktion f : 𝔻 → ℂ,

f(z) = \frac{z}{(1 − z)^{2}} = ∑_{n=1}^{∞} nz^{n} = \frac{1}{4}[(\frac{1 + z}{1 − z} )^{2} − 1] = \frac{1}{4}([T (z)]^{2} − 1) ,

ist schlicht mit f(0) = 0 und f′(0) = 1. Es gilt f(𝔻) = ℂ\(−∞, \frac{1}{4} ] . Da p(z) = z^{2} die rechte Halbebene H konform auf die geschlitzte Ebene ℂ_{−} = ℂ \ (−∞, 0] abbildet, und T (𝔻) = H, ist f : 𝔻 → ℂ \ (−∞, \frac{1}{4} ] konform.

Es gibt eine stetige Fortsetzung f : \overline{𝔻} → ℂ̂ mit f(∂𝔻) = \{x ≤ −\frac{1}{4}\} ∪ \{∞\}, die jedoch nicht injektiv ist.

Joukowski–Funktion. Sei U = ℂ̂ \ \overline{𝔻} und

f : ℂ̂ → ℂ̂ , f(z) = \frac{1}{2}(z + \frac{1}{z}) = \frac{z^{2} + 1}{2z} .

Dann gilt f(1/z) = f(z) und f|_{𝔻} : 𝔻 → ℂ̂ \ [−1, 1] und f|_{U} : U → ℂ̂ \ [−1, 1] sind konform. f bildet Kreise {|z| = r} auf Ellipsen ab mit den Brennpunkten −1 und 1 und Halbachsen \frac{1}{2}(r + 1/r) und \frac{1}{2}|r − 1/r|. Für r = 1 gilt f(∂𝔻) = [−1, 1]. Radiale Strahlen {re^{it} : r > 0} werden auf Hyperbeläste abgebildet.

2w = z + \frac{1}{z} ⟺ \frac{w + 1}{w − 1} = \frac{2w + 2}{2w − 2} = (\frac{z + 1}{z − 1})^{2}

Für die Möbiustransformation S(z) = \frac{z + 1}{z − 1} = −T (z) , S(U) = H, gilt also

S(w) = [S(z)]^{2} bzw. f(z) = S^{−1}([S(z)]^{2}) , d.h.

f ist konjugiert zu p(z) = z^{2}, p = S ∘ f ∘ S^{−1}, und S(1) = ∞, S(−1) = 0. Zudem ist S^{−1} = S. Da S([−∞, 0]) = \{\frac{t−1}{t+1} : 0 ≤ t ≤ ∞\} = [−1, 1], folgt

U ⟶^{S} H ⟶^{p} ℂ_{−} = ℂ̂ \ [−∞, 0] ⟶^{S} ℂ̂ \ [−1, 1] .

§ Hyperbolische Metrik

Sei a ∈ 𝔻 und φ_{a}(z) = \frac{z − a}{\overline{a}z − 1} . Es gilt φ_{a}(0) = a und φ_{a}(a) = 0 und

|\frac{z − a}{\overline{a}z − 1}| = 1 ⟺ |z − a|^{2} = |\overline{a}z − 1|^{2}
⟺ |z|^{2} + |a|^{2} = |a|^{2}|z|^{2} + 1
⟺ |z|^{2}(1 − |a|^{2}) = 1 − |a|^{2}
⟺ |z| = 1 , da |a| < 1 ,

also φ_{a}(∂𝔻) ⊂ ∂𝔻. Zudem gilt φ_{a}^{−1} = φ_{a}, somit φ_{a}(∂𝔻) = ∂𝔻. Dies folgt auch, weil φ_{a} Kreise auf Kreise abbildet. Weiter folgt φ_{a} ∈ Aut(𝔻) für a ∈ 𝔻. Sei nun umgekehrt f ∈ Aut(𝔻). Ist f^{−1}(0) = a, definiere g = f ∘ φ_{a} ∈ Aut(𝔻). Da g(0) = 0, folgt mit dem Schwarzschen Lemma |g(z)| ≤ |z|. Ebenso folgt |g^{−1}(w)| ≤ |w|, für w = g(z) also |z| ≤ |g(z)| ≤ |z|. Somit ist g(z) = λz für ein |λ| = 1, also f ∘ φ_{a}(z) = λz und f(z) = λφ_{a}^{−1}(z), wobei φ_{a}^{−1} = φ_{a}. Man erhält

Aut(𝔻) = \{ z ↦ λ \frac{z − a}{\overline{a}z − 1} : a ∈ 𝔻 , λ ∈ ∂𝔻\} .

Die Ableitung von φ_{a} ist φ′_{a}(z) = \frac{|a|^{2} − 1}{(\overline{a}z − 1)^{2}} mit φ′_{a}(0) = |a|^{2} − 1 < 0 und

φ′_{a}(a) = \frac{1}{|a|^{2} − 1} = \frac{1}{φ′_{a}(0)} < 0. Aus dem Lemma von Schwarz folgt:

Lemma 2.6 (Schwarz–Pick). Sei f : 𝔻 → 𝔻 holomorph. Dann gilt

\begin{matrix}(i) & |\frac{f(z) − f(w)}{\overline{f(w)}f(z) − 1}| ≤ |\frac{z − w}{\overline{w}z − 1}| , \\ (ii) & |f′(z)| ≤ \frac{1 − |f(z)|^{2}}{1 − |z|^{2}} . \end{matrix}

Beweis. Für h(z) = φ_{f(w)} ∘ f ∘ φ_{w}(z) gilt h : 𝔻 → 𝔻 mit h(0) = 0. Daher |h′(0)| ≤ 1 und |h(z)| ≤ |z|.

(i) Zeige |φ_{f(w)}(f(z))| ≤ |φ_{w}(z)|. Wegen |h(z)| ≤ |z| gilt |h ∘ φ_{w}(z)| ≤ |φ_{w}(z)|. Nun ist aber φ_{w} = φ_{w}^{−1}, also h ∘ φ_{w} = φ_{f(w)} ∘ f. (ii) Betrachte z → w in (i). Oder: Es gilt |h′(0)| ≤ 1 und

h′(0) = φ′_{f(w)}(f(w)) · f′(w) · φ′_{w}(0) = \frac{1 − |w|^{2}}{1 − |f(w)|^{2}} · f′(w) .

Bemerkung: Gleichheit in (ii) oder für z ≠ w in (i) gilt genau dann, wenn f ∈ Aut(𝔻).

Gilt Gleichheit für ein w ≠ z, so ist φ_{w}(z) ≠ 0, jedoch |h ∘ φ_{w}(z)| = |φ_{w}(z)|. Somit ist h(z) = λz für ein |λ| = 1 und f ∈ Aut(𝔻), ebenso für |h′(0)| = 1. Sei nun umgekehrt φ ∈ Aut(𝔻), φ(z) = λ\frac{z − a}{\overline{a}z − 1} . Es gilt φ′(z) = λ\frac{|a|^{2} − 1}{(\overline{a}z − 1)^{2}} . Nun ist |λ| = 1 und

1 − |φ(z)|^{2} = \frac{|\overline{a}z − 1|^{2} − |z − a|^{2}}{|\overline{a}z − 1|^{2}} = \frac{(|a|^{2} − 1)(|z|^{2} − 1)}{|\overline{a}z − 1|^{2}} .

also

\frac{1 − |φ(z)|^{2}}{1 − |z|^{2}} = \frac{1 − |a|^{2}}{|\overline{a}z − 1|^{2}} = |φ′(z)| für φ ∈ Aut(𝔻) .

Da auch φ^{−1} : 𝔻 → 𝔻, folgt für z = φ^{−1}φ(z) und w = φ^{−1}φ(w)

|\frac{φ(z) − φ(w)}{\overline{φ(w)}φ(z) − 1}| ≤ |\frac{z − w}{\overline{w}z − 1}| = |\frac{φ^{−1}φ(z) − φ^{−1}φ(w)}{\overline{φ^{−1}φ(w)} φ^{−1}φ(z) − 1}| ≤ |\frac{φ(z) − φ(w)}{\overline{φ(w)}φ(z) − 1}| .

Sei f : 𝔻 → 𝔻 holomorph und f(z) = w. Dann ist dw = f′(z) dz und

\frac{|dw|}{1 − |w|^{2}} ≤ \frac{|dz|}{1 − |z|^{2}} , und \frac{|dw|}{1 − |w|^{2}} = \frac{|dz|}{1 − |z|^{2}} ⟺ f ∈ Aut(𝔻) .

Sei γ : [0, 1] → 𝔻 ein Integrationsweg. Definiere die nichteuklidische Länge

L_{h}(γ) = ∫_{γ} \frac{|dz|}{1 − |z|^{2}} = ∫_{0}^{1} \frac{|γ′(t)|}{1 − |γ(t)|^{2}} dt .

L_{h}(γ) heißt auch hyperbolische Länge von γ. Es folgt Lemma 2.7.

(i) L_{h}(γ) > L(γ) = ∫_{γ} |dz|, falls γ nicht konstant. (ii) φ ∈ Aut(𝔻) ⇒ L_{h}(φ ∘ γ) = L_{h}(γ) .

Die Invarianz unter φ ∈ Aut(𝔻) folgt aus ∫_{φ∘γ}\frac{|dw|}{1−|w|^{2}} = ∫_{γ} \frac{|φ′(z)|·|dz|}{1−|φ(z)|^{2}} .

Ist 0 < s < 1, so hat das Intervall [0, s] die hyperbolische Länge

L_{h}([0, s]) = ∫_{0}^{s} \frac{dt}{1 − t^{2}} = \frac{1}{2} log \frac{1 + s}{1 − s} .

Definition. Seien z_{1}, z_{2} ∈ 𝔻. Dann definiert

δ(z_{1}, z_{2}) = inf{ L_{h}(γ) : γ Integrationsweg von z_{1} nach z_{2} in 𝔻 } die hyperbolische Metrik in 𝔻.

Lemma 2.8. δ ist Metrik in 𝔻, die invariant ist unter φ ∈ Aut(𝔻).

Beweis. Δ–Ungleichung: γ(z, w) sei Weg von z nach w. δ(z_{1}, z_{2}) ≤ inf L_{h}(γ(z_{1}, z_{3}) ∗ γ(z_{3}, z_{2})) = inf(L_{h}(γ(z_{1}, z_{3})) + L_{h}(γ(z_{3}, z_{2}))) = inf L_{h}(γ(z_{1}, z_{3})) + inf L_{h}(γ(z_{3}, z_{2})) = δ(z_{1}, z_{3}) + δ(z_{3}, z_{2}). Da δ(z_{1}, z_{2}) = inf_{γ} L_{h}(γ) und δ(φ(z_{1}), φ(z_{2})) ≤ L_{h}(φ∘γ) = L_{h}(γ) für φ ∈ Aut(𝔻) und beliebige γ von z_{1} nach z_{2}, folgt δ(φ(z_{1}), φ(z_{2})) ≤ δ(z_{1}, z_{2}). Somit δ(z_{1}, z_{2}) = δ(φ^{−1}φ(z_{1}), φ^{−1}φ(z_{2})) ≤ δ(φ(z_{1}), φ(z_{2})) ≤ δ(z_{1}, z_{2}).

Satz 2.9. Für z ∈ 𝔻 gilt δ(0, z) = \frac{1}{2} log \frac{1 + |z|}{1 − |z|} und für z_{1}, z_{2} ∈ 𝔻

δ(z_{1}, z_{2}) = arctanh |\frac{z_{2} − z_{1}}{\overline{z}_{1}z_{2} − 1}| , wobei arctanh s = \frac{1}{2} log \frac{1 + s}{1 − s} .

Beweis. Sei 0 < s < 1. Ist γ(t) = x(t) + iy(t) ein Integrationsweg in 𝔻 mit γ(0) = 0, γ(1) = s, so gilt |γ′(t)| ≥ x′(t) und 1 − |γ(t)|^{2} ≤ 1 − x(t)^{2}, somit

\begin{aligned}L_{h}(γ) & = ∫_{γ} \frac{|dz|}{1 − |z|^{2}} = ∫_{0}^{1} \frac{|γ′(t)|}{1 − |γ(t)|^{2}} dt \\ & ≥ ∫_{0}^{1} \frac{x′(t)}{1 − x(t)^{2}} dt = \frac{1}{2} log \frac{1 + s}{1 − s} = L_{h}([0, s]) . \end{aligned}

Daraus folgt δ(0, s) = L_{h}([0, s]). Das Infimum wird genau dann angenommen, wenn y(t) ≡ 0 und x′(t) ≥ 0, d.h. wenn γ = [0, s]. Dreht man z ∈ 𝔻, so daß z = |z| = s, ist δ(0, |z|) = δ(0, s). Allgemein, bringt man mit φ_{z_{1}}(z) = \frac{z−z_{1}}{\overline{z}_{1}z−1} den Punkt z_{1} nach 0 und dreht dann φ_{z_{1}}(z_{2}) = se^{it} auf die positive reelle Achse, so ist φ = e^{−it}φ_{z_{1}} ∈ Aut(𝔻) mit φ(z_{1}) = 0 und φ(z_{2}) = s = |φ_{z_{1}}(z_{2})| > 0. Damit folgt

δ(z_{1}, z_{2}) = δ(φ(z_{1}), φ(z_{2})) = δ(0, s) = \frac{1}{2} log \frac{1 + s}{1 − s}

= \frac{1}{2} log \frac{1 + |φ_{z_{1}}(z_{2})|}{1 − |φ_{z_{1}}(z_{2})|} = \frac{1}{2} log \frac{1 + |\frac{z_{2}−z_{1}}{\overline{z}_{1}z_{2}−1}|}{1 − |\frac{z_{2}−z_{1}}{\overline{z}_{1}z_{2}−1}|} .

Satz 2.10. f : 𝔻 → 𝔻 holomorph ⇒ δ(f(z_{1}), f(z_{2})) ≤ δ(z_{1}, z_{2}) .

Beweis. Die Behauptung folgt aus Schwarz–Pick, da arctanh streng monoton ist. Gilt δ(f(z_{1}), f(z_{2})) = δ(z_{1}, z_{2}) für ein z_{1} ≠ z_{2}, so ist f ∈ Aut(𝔻).

Zu z_{1} ≠ z_{2} sei φ ∈ Aut(𝔻) die Abbildung mit φ(z_{1}) = 0 und φ(z_{2}) = s > 0. Die kürzeste Verbindung in der hyperbolischen Metrik von 0 nach s ist [0, s], und γ = φ^{−1}([0, s]) ist die kürzeste zwischen z_{1} und z_{2}. Die Strecke (−1, 1) ist die Geodätische (lokal Kürzeste) durch 0 und s. Die Abbildung φ^{−1} dreht die Strecke (−1, 1) auf die Geodätische, die ein Kreisbogen durch z_{1} und z_{2} ist. Da konforme Abbildungen Winkel erhalten, ist der Kreisbogen orthogonal zu ∂𝔻.

Kreise in 𝔻, die orthogonal sind zu ∂𝔻, nennt man Orthokreise. Sie sind in der hyperbolischen Geometrie von 𝔻 die Geodätischen und entsprechen den Geraden in der euklidischen Geometrie. Zu zwei Punkten z_{1}, z_{2} ∈ 𝔻 gibt es genau einen Orthokreis, der durch diese Punkte läuft.

Sei D = {z ∈ 𝔻 : δ(z, z_{0}) < ρ} eine Kreisscheibe in der hyperbolischen Metrik. Für den Rand gilt δ(z, z_{0}) = arctanh |φ_{z_{0}}(z)| = ρ, somit

|φ_{z_{0}}(z)| = tanh ρ = \frac{e^{2ρ} − 1}{e^{2ρ} + 1} = r .

Als euklidische Kreislinie geschrieben erhält man für φ_{z_{0}}^{−1}({|w| = r})

|φ_{z_{0}}(z)| = r ⟺ |z − \frac{1 − r^{2}}{1 − r^{2}|z_{0}|^{2}} z_{0}| = r\frac{1 − |z_{0}|^{2}}{1 − r^{2}|z_{0}|^{2}} .

Ist ds = λ(z) |dz| mit λ(z) = \frac{1}{1 − |z|^{2}} die hyperbolische Metrik in 𝔻, so kann sie

durch T : ℍ → 𝔻, T (z) = \frac{z − i}{z + i} = w, auf die obere Halbebene ℍ = \{Im z > 0\}

zurückgeholt werden, ds_{ℍ} = T^{∗}ds_{𝔻} = λ ∘ T (z) |T′(z)| |dz|,

dw = T′(z) dz = \frac{2i dz}{(z + i)^{2}} , ds_{ℍ} = \frac{|dz|}{2 · Im z} .

Man erhält δ_{ℍ}(z_{1}, z_{2}) = δ_{𝔻}(T (z_{1}), T (z_{2})).

Die Gaußsche Krümmung ist definiert als K = −\frac{1}{λ(z)} Δ log(λ(z)) .

Für λ(z) = \frac{1}{1−|z|^{2}} erhält man K ≡ −4, für λ(z) = \frac{2}{1−|z|^{2}} ist K ≡ −1.

Auf ℂ̂ ist für die stereographische Projektion, wobei die Sphäre S^{2} Radius 1 und Mittelpunkt 0 hat, λ(z) = \frac{2}{1+|z|^{2}} mit K ≡ +1. Dies erhält man sowohl mit der

chordalen Metrik d̂_{1}(z, w) = \frac{2|z−w|}{\sqrt{1+|z|^{2}}·\sqrt{1+|w|^{2}}} , die die Entfernung der Punkte auf

S^{2} im ℝ^{3} mißt, als auch mit der sphärische Metrik, wenn man die Bogenlänge der Punkte auf einem Großkreis von S^{2} nimmt: d̂_{2}(z, w) = 2 arctan |\frac{z−w}{\overline{w}z+1}|. Wählt man die Sphäre mit Radius 1/2 und Südpol auf dem Nullpunkt, so fällt der Faktor 2 weg und man erhält K = +4 (Radius 1/2).

§ Koebescher Verzerrungssatz

Substitution bei Wegintegralen. Seien G, H Gebiete und γ : [0, 2π] → G Integrationsweg in G. Sei ψ : G → H holomorph und F : H → ℂ stetig. Dann ist Γ(t) = ψ ∘ γ(t) Integrationsweg in H, und mit ψ(z) = w gilt

∫_{Γ} F (w) dw = ∫_{ψ∘γ} F (w) dw = ∫_{γ} F (ψ(z))ψ′(z) dz .

Flächenintegral. Seien Ω ein Gebiet und φ : Ω → ℂ schlicht. Dann gilt

area φ(Ω) = ∫_{φ(Ω)} dx dy = ∫_{Ω} |φ′(z)|^{2} dx dy .

Denn ist φ = u + iv, so gilt^{1}

|φ′|^{2} = det (\begin{matrix}\frac{∂u}{∂x} & \frac{∂u}{∂y} \\ \frac{∂v}{∂x} & \frac{∂v}{∂y} \end{matrix}) = det Jac_{ℝ}(φ) .

Wegen dz = dx + i dy und d\overline{z} = dx − i dy gilt dx ∧ dy = \frac{i}{2} dz ∧ d\overline{z}. Sei Ω ein Gebiet mit positiv orientiertem glatten Rand ∂Ω. Ist ω eine 1–Form, so gilt nach dem Satz von Stokes

∫_{Ω} dω = ∫_{∂Ω} ω .

Sei D_{R} = {|z| < R} eine Kreisscheibe und f : D_{R} → ℂ schlicht. Ist 0 < r < R und γ_{r}(t) = re^{it}, t ∈ [0, 2π], so ist der glatte Weg f ∘ γ_{r} der positiv orientierte Rand von f(D_{r}). Es gilt

area f(D_{r}) = ∫_{D_{r}} |f′(z)|^{2} dx dy = \frac{i}{2} ∫_{D_{r}} f′(z)\overline{f′(z)} dz ∧ d\overline{z}

= \frac{1}{2i} ∫_{D_{r}} d(\overline{f(z)}f′(z) dz) = \frac{1}{2i} ∫_{∂D_{r}} \overline{f(z)}f′(z) dz

= \frac{1}{2i} ∫_{γ_{r}} \overline{f(z)}f′(z) dz = \frac{1}{2i} ∫_{f∘γ_{r}} \overline{w} dw .

1Allgemein gilt: Ist ϕ : U → V diffeomorph, so ist det Jac_{ℝ}(ϕ) = |ϕ_{z}|^{2} − |ϕ\overline{z}|^{2} .

Lemma. Ist f : 𝔻 → ℂ schlicht und f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n}, so ist

area f(𝔻) = ∫_{𝔻} |f′(z)|^{2} dx dy ≥ π ∑_{n=1}^{∞} n|a_{n}|^{2} .

Beweis. Für 0 < r < 1 und γ_{r} = ∂D_{r} gilt

A(r) = ∫_{f(D_{r})} dx dy = \frac{1}{2i} ∫_{γ_{r}} \overline{f(z)}f′(z) dz = \frac{1}{2} ∫_{0}^{2π}\overline{f(re^{it})}f′(re^{it})re^{it} dt ,

wobei

\overline{f(re^{it})} = ∑_{m=0}^{∞} \overline{a}_{m}r^{m}e^{−imt} , f′(re^{it})re^{it} = ∑_{n=1}^{∞} na_{n}r^{n}e^{int} .

Wegen ∫_{0}^{2π}e^{i(n−m)t} dt = 2π · δ_{n,m} folgt

∑_{m=0}^{∞} ∑_{n=1}^{∞} na_{n}\overline{a}_{m}r^{m+n} ∫_{0}^{2π}e^{i(n−m)t} dt = 2π ∑_{n=1}^{∞} n|a_{n}|^{2}r^{2n}

und somit

A(r) = \frac{1}{2} ∫_{0}^{2π}\overline{f(re^{it})}f′(re^{it})re^{it} dt = π ∑_{n=1}^{∞} n|a_{n}|^{2}r^{2n} .

Mit r → 1 folgt die Behauptung. Sei G_{r} = f(D_{r}). Dann gilt f(𝔻) = G = ⋃_{r} G_{r} und G_{r} ⊂ G_{s} für r < s. Es folgt area f(𝔻) = μ(G) = lim_{r→1} μ(G_{r}) = lim_{r→1} A(r).

Definition. S = {f : 𝔻 → ℂ schlicht : f(0) = 0 , f′(0) = 1}.

Die Potenzreihenentwicklung für f ∈ S ist

f(z) = z + ∑_{n=2}^{∞} a_{n}z^{n} .

Sei G ≠ ℂ ein einfach zusammenhängendes Gebiet und φ : 𝔻 → G konform. Ist f : G → ℂ schlicht, so ist g = f ∘ φ schlicht in 𝔻 und

g̃(z) = \frac{g(z) − g(0)}{g′(0)}

ist aus der Klasse S. Ist f ∈ S, so ist 1/f schlicht in 𝔻 \ {0} und meromorph in 𝔻 mit einer einfachen Polstelle in 0 und res_{0} f = 1.

Satz 2.11 (Flächensatz von Gronwall). Sei f ∈ S und

h(z) = \frac{1}{f(z)} = \frac{1}{z} + ∑_{n=0}^{∞} b_{n}z^{n} .

Dann gilt

area(ℂ \ h(𝔻)) ≤ π(1 − ∑_{n=1}^{∞} n|b_{n}|^{2}) , daher |b_{1}|^{2} ≤ ∑_{n=1}^{∞} n|b_{n}|^{2} ≤ 1 .

Beweis. Sei 0 < r < 1 und H(r) = ℂ \ h(\overline{D}_{r}). Da h(\overline{D}_{r}) eine Umgebung von ∞ enthält, ist H(r) beschränkt. Der Rand C(r) = h(re^{it}), t ∈ [0, 2π], ist eine einfach geschlossene Kurve, die negativ orientiert ist bzgl. H(r), da C(r) das unbeschränkte Gebiet h(D_{r}) positiv umrandet. Somit ∂H(r) = −C(r).

A(r) = \frac{1}{2i} ∫_{H(r)} dz ∧ d\overline{z} = \frac{1}{2i} ∫_{−C(r)} \overline{z} dz = −\frac{1}{2} ∫_{0}^{2π}\overline{h(re^{it})}h′(re^{it})re^{it} dt ,

\overline{h(re^{it})} = r^{−1}e^{it} + ∑_{m=0}^{∞} \overline{b}_{m}r^{m}e^{−imt} , h′(re^{it})re^{it} = −r^{−1}e^{−it} + ∑_{n=1}^{∞} nb_{n}r^{n}e^{int} .

Es gilt

\begin{aligned}\overline{h(re^{it})} · h′(re^{it})re^{it} = & − r^{−2} + ∑_{n=1}^{∞} nb_{n}r^{n−1}e^{i(n+1)t} − ∑_{m=0}^{∞} \overline{b}_{m}r^{m−1}e^{−i(m+1)t} \\ & + ∑_{m=0}^{∞} ∑_{n=1}^{∞} nb_{n}\overline{b}_{m}r^{m+n}e^{i(n−m)t} . \end{aligned}

Da ∫_{0}^{2π} e^{i(n−m)t} dt = 0, wenn n ≠ m, folgt 0 ≤ A(r) = \frac{π}{r^{2}} − π ∑_{n=1}^{∞} n|b_{n}|^{2}r^{2n}.

Mit r → 1 folgt 0 ≤ 1 − ∑_{n=1}^{∞} n|b_{n}|^{2} .

Satz 2.12. Ist f ∈ S, so gibt es g ∈ S mit g(z)^{2} = f(z^{2}) .

Beweis. Da f(0) = 0 und f′(0) = 1, gibt es eine holomorphe Funktion h : 𝔻 → ℂ mit f(z) = z · h(z), h(0) = 1 und h(z) ≠ 0 in 𝔻. Somit hat h einen Logarithmus in 𝔻 und es gibt eine holomorphe Funktion q : 𝔻 → ℂ mit q(z)^{2} = h(z) und q(0) = 1. Setze g(z) = z · q(z^{2}). Es gilt g(0) = 0 und g′(0) = 1. g ist injektiv, d.h. g(a) = g(b) ⇒ a = b: g(a) = g(b) ⇒ f(a^{2}) = g(a)^{2} = g(b)^{2} = f(b^{2}) ⇒ a^{2} = b^{2} , denn f ist injektiv. Also ist entweder a = b oder a = −b. Wenn a = −b und g(a) = g(b), folgt a = −b ⇒ g(a) = g(b) = g(−a) = −a · q(a^{2}) = −g(a) ⇒ g(a) = 0 ⇒ a = b = 0 , denn q(z) ≠ 0.

Satz 2.13 (Bieberbach). Für f ∈ S gilt |f′′(0)| ≤ 4.

Für f ∈ S ist f(z) = z + ∑_{n=2}^{∞} a_{n}z^{n}, d.h. es gilt |a_{2}| ≤ 2 für f ∈ S.

Dabei ist |a_{2}| = 2 genau dann, wenn f(z) = e^{−iα}f_{0}(e^{iα}z) = \frac{z}{(1 − e^{iα}z)^{2}} eine

Rotation der Koebe–Funktion f_{0}(z) = \frac{z}{(1 − z)^{2}} ist.

Beweis. Sei g ∈ S mit g(z)^{2} = f(z^{2}) und h(z) = 1/g(z) = \frac{1}{z} + ∑_{n=0}^{∞} b_{n}z^{n}. Mit

dem Flächensatz folgt |b_{1}| ≤ 1. Nun ist

\frac{1}{g(z)^{2}} = \frac{1}{z^{2}} + \frac{2b_{0}}{z} + (b_{0}^{2} + 2b_{1}) + …

und (zumindest nahe z = 0 und dann überall)

\begin{aligned}\frac{1}{f(z^{2})} & = \frac{1}{z^{2} + ∑_{n=2}^{∞} a_{n}z^{2n}} = \frac{1}{z^{2}} · \frac{1}{1 − ( − ∑_{n=2}^{∞} a_{n}z^{2(n−1)})} \\ & = \frac{1}{z^{2}} · ∑_{k=0}^{∞} ( − ∑_{n=2}^{∞} a_{n}z^{2(n−1)})^{k} = \frac{1}{z^{2}} − a_{2} + … \end{aligned}

Koeffizientenvergleich liefert b_{0} = 0 und dann 2b_{1} = −a_{2}. Ist a_{2} = 2e^{iα}, d.h. b_{1} = −e^{iα}, folgt b_{n} = 0 für n ≥ 2, denn |b_{1}|^{2}+∑_{n=2}^{∞} n|b_{n}|^{2} ≤ 1.

Somit g(z) = \frac{z}{1 + b_{1}z^{2}} = \frac{z}{1 − e^{iα}z^{2}} und f(z^{2}) = g(z)^{2} = \frac{z^{2}}{(1 − e^{iα}z^{2})^{2}} .

Satz (de Branges). Sei f ∈ S. Dann gilt |a_{n}| ≤ n für n ≥ 2.

Ist f ∈ S und b ∉ f(𝔻), so ist g(z) = \frac{bf(z)}{b − f(z)} ebenfalls in S.

Satz 2.14 (Koebe \frac{1}{4}–Satz). f ∈ S ⇒ D_{\frac{1}{4}} (0) ⊂ f(𝔻) , d.h. das Bild von f enthält eine Kreisscheibe um 0 mit Radius 1/4.

Beweis. Da das konforme Bild von 𝔻 nicht die gesamte Ebene sein kann, gibt es ein b ∉ f(𝔻). Nun ist

g(z) = \frac{f(z)}{1 − \frac{1}{b}f(z)} = z + (a_{2} + \frac{1}{b})z^{2} + …

auch in S, somit |a_{2} + \frac{1}{b}| ≤ 2. Mit |a_{2}| ≤ 2 folgt

2 ≥ |a_{2} + \frac{1}{b}| ≥ |\frac{1}{b}| − |a_{2}| ≥ |\frac{1}{b}| − 2 .

Demnach |b| ≥ \frac{1}{4} .

Für die Koebe-Funktion f_{0}(z) = \frac{z}{(1 − z^{2})} gilt gerade f_{0}(𝔻) = ℂ \ ( − ∞, −\frac{1}{4}]. Ist f : D_{r}(a) → ℂ schlicht und ψ(z) = rz + a, ψ(𝔻) = D_{r}(a), so ist

h(z) = \frac{f(rz + a) − f(a)}{rf′(a)} ∈ S

und f(D_{r}(a)) enthält eine Kreisscheibe um f(a) mit Radius \frac{1}{4}r|f′(a)|. Ist f : 𝔻 → ℂ schlicht und φ ∈ Aut(𝔻), so ist

g(z) = \frac{f(φ(z)) − f(φ(0))}{f′(φ(0)) · φ′(0)}

schlicht in 𝔻 mit g(0) = 0 und

g′(z) = \frac{f′(φ(z)) · φ′(z)}{f′(φ(0)) · φ′(0)} , g′(0) = 1 .

Weiter gilt

\begin{aligned}g′′(z) & = \frac{f′′(φ(z)) · [φ′(z)]^{2} + f′(φ(z)) · φ′′(z)}{f′(φ(0)) · φ′(0)} , \\ g′′(0) & = \frac{f′′(φ(0))}{f′(φ(0))} · φ′(0) + \frac{φ′′(0)}{φ′(0)} . \end{aligned}

Speziell nennt man für φ(z) = \frac{z + a}{\overline{a}z + 1} = −\frac{z − (−a)}{−\overline{a}z − 1} und f : 𝔻 → ℂ schlicht

g(z) = \frac{f(\frac{z+a}{\overline{a}z+1}) − f(a)}{(1 − |a|^{2})f′(a)} ∈ S

die Koebe–Transformierte von f. Es gilt φ′(0) = 1 − |a|^{2}, φ′′(0) = −2(1 − |a|^{2})\overline{a}. Satz 2.15. Sei f : 𝔻 → ℂ schlicht. Dann gilt

|\frac{f′′(z)}{f′(z)} − \frac{2\overline{z}}{1 − |z|^{2}} | ≤ \frac{4}{1 − |z|^{2}} für z ∈ 𝔻 .

Beweis. Sei g(z) = \frac{f( \frac{z+a}{\overline{a}z+1} )−f(a)}{(1−|a|^{2})f′(a)} die Koebe–Transformierte von f. Dann gilt g(0) = 0, g′(0) = 1 und

g′′(0) = \frac{f′′(a)}{f′(a)} · (1 − |a|^{2}) − 2\overline{a} .

Da g ∈ S, gilt |g′′(0)| ≤ 4 , also

|\frac{f′′(a)}{f′(a)} − \frac{2\overline{a}}{1 − |a|^{2}} | ≤ \frac{4}{1 − |a|^{2}} , |a \frac{f′′(a)}{f′(a)} − \frac{2|a|^{2}}{1 − |a|^{2}} | ≤ \frac{4|a|}{1 − |a|^{2}} .

Satz 2.16 (Koebescher Verzerrungssatz). Sei f ∈ S. Dann gilt für z ∈ 𝔻

(a) \frac{|z|}{(1 + |z|)^{2}} ≤ |f(z)| ≤ \frac{|z|}{(1 − |z|)^{2}} ,

(b) \frac{1 − |z|}{(1 + |z|)^{3}} ≤ |f′(z)| ≤ \frac{1 + |z|}{(1 − |z|)^{3}} .

Beweis.

(b) Für z = re^{it} und f holomorph gilt \frac{∂}{∂r}f(re^{it}) = f′(re^{it}) · e^{it}. Ist f ∈ S, so ist f′(z) ≠ 0 in 𝔻, somit ist log[(1 − |z|^{2})f′(z)] definiert mit log f′(0) = log 1 = 0. Aus

\frac{∂}{∂r} log[(1 − r^{2})f′(re^{it})] = \frac{f′(re^{it})}{f′′(re^{it})} · e^{it} − \frac{2r}{1 − r^{2}}

folgt

|\frac{∂}{∂r} log[(1 − r^{2})f′(re^{it})]| = |\frac{f′(re^{it})}{f′′(re^{it})} − \frac{2re^{−it}}{1 − r^{2}} | ≤ \frac{4}{1 − r^{2}} .

Integration liefert | log[(1 − r^{2})f′(z)]| = | ∫_{0}^{r} \frac{∂}{∂ρ} log[(1 − ρ^{2})f′(ρe^{it})] dρ|

≤ ∫_{0}^{r} |\frac{∂}{∂ρ} log[(1 − ρ^{2})f′(ρe^{it})]| dρ ≤ ∫_{0}^{r} \frac{4}{1 − ρ^{2}} dρ = 2 log \frac{1 + r}{1 − r} .

Für den Realteil gilt Re log[(1 − r^{2})f′(z)] = log(1 − r^{2}) + log |f′(z)| und

2 log \frac{1 − r}{1 + r} ≤ log(1 − r^{2}) + log |f′(z)| ≤ 2 log \frac{1 + r}{1 − r} , also

(\frac{1 − r}{1 + r})^{2} ≤ (1 − r)(1 + r)|f′(z)| ≤ (\frac{1 + r}{1 − r})^{2} .

(a) Da f(0) = 0, folgt f(re^{it}) = ∫_{0}^{r} f′(ρe^{it})e^{it} dρ und mit (b)

|f(re^{it})| ≤ ∫_{0}^{r} |f′(ρe^{it})| dρ ≤ ∫_{0}^{r} \frac{1 + ρ}{(1 − ρ)^{3}} dρ = \frac{r}{(1 − r)^{2}} .

Für die untere Abschätzung sei z = re^{it} so, daß |f(re^{it})| ≤ |f(re^{iτ})| minimal ist. Dann ist [0, f(z)] ⊂ f(𝔻) und C = f^{−1}([0, f(z)]) ⊂ {|ζ| ≤ r}, und es gilt

|f(z)| = L([0, f(z)]) = ∫_{f(C)} |dw| = ∫_{C} |f′(ζ)| |dζ| .

Mit ζ = ρe^{iϑ} ist |dζ| = |\frac{ζ}{|ζ|} dρ + iζ dϑ| = |ζ| |\frac{1}{|ζ|} dρ + i dϑ| ≥ dρ = d|ζ|. Zusammen mit (b) folgt

|f(re^{it})| ≥ ∫_{C} |f′(ζ)| |dζ| ≥ ∫_{C} \frac{1 − ρ}{(1 + ρ)^{3}} dρ = \frac{r}{(1 + r)^{2}} .

Für die letzte Abschätzung kann man auch die Fälle |f(z)| ≥ \frac{1}{4} und |f(z)| < \frac{1}{4} betrachten. Da \frac{r}{(1+r)^{2}} ≤ \frac{1}{4} für r < 1, bleibt noch der zweite Fall. Dort ist f(z) ∈ D_{\frac{1}{4}} (0) ⊂ f(𝔻) und somit [0, f(z)] ⊂ f(𝔻).

Sei f : 𝔻 → H eine konforme Abbildung und d_{f}(z) = dist(f(z), ∂H). Für f ∈ S gilt \frac{1}{4} ≤ d_{f}(0) ≤ 1: Mit Koebe folgt \frac{1}{4} ≤ d_{f}(0). Da f(0) = 0 die einzige Nullstelle ist, ist h(z) = f(z)/z ≠ 0 und holomorph in 𝔻. Mit dem Minimumprinzip folgt lim inf_{|z|→1} |h(z)| ≤ |h(0)| = |f′(0)| = 1 .

Satz 2.17. Sei f : 𝔻 → H konform. Dann gilt

\frac{1}{4}(1 − |z|^{2})|f′(z)| ≤ d_{f}(z) ≤ (1 − |z|^{2})|f′(z)| .

Beweis. Für w ∈ 𝔻 sei φ(z) = \frac{z + w}{\overline{w}z + 1} = −\frac{z − (−w)}{−\overline{w}z − 1} ∈ Aut(𝔻) und

g(z) = \frac{f(φ(z)) − f(φ(0))}{f′(φ(0)) · φ′(0)} = \frac{f(φ(z)) − f(w)}{f′(w) · (1 − |w|^{2})} ∈ S .

Es gilt d_{f}(w) = d_{f∘φ}(0) = d_{f∘φ−f(w)}(0) = (1 − |w|^{2})|f′(w)| · d_{g}(0) .

Kriterien für Injektivität. Lemma 2.18. Sei D = {|z − a| < r} und f : D → ℂ holomorph. Gilt

|f′(z) − f′(a)| < |f′(a)| für alle z ∈ D ,

so ist f injektiv in D. Beweis. Für z_{1} ≠ z_{2} gilt

\begin{aligned}|f(z_{2}) − f(z_{1})| & = | ∫_{[z_{1},z_{2}]} f′(ζ) dζ| ≥ | ∫_{[z_{1},z_{2}]} f′(a) dζ| − | ∫_{[z_{1},z_{2}]} [f′(ζ) − f′(a)] dζ| \\ & ≥ |z_{2} − z_{1}| · |f′(a)| − ∫_{[z_{1},z_{2}]} |f′(ζ) − f′(a)| |dζ| > 0 . \end{aligned}

Lemma 2.19. Sei D konvex und f : D → ℂ holomorph. Gilt

Re f′(z) > 0 für alle z ∈ D ,

so ist f injektiv in D. Satz 2.20. Sei f : 𝔻 → ℂ holomorph und f′(z) ≠ 0 in 𝔻 (d.h. f lokal schlicht). Gilt

(1 − |z|^{2}) |z \frac{f′′(z)}{f′(z)}| ≤ 1 für alle z ∈ 𝔻 ,

so ist f injektiv in 𝔻.

§ Randverhalten konformer Abbildungen

Satz 2.21. Seien G, H ⊂ ℂ Gebiete und sei f : G → H konform. Ist G beschränkt und f stetig auf \overline{G}, dann ist f(∂G) = ∂H.

Beweis. Es gilt f(\overline{G}) ⊂ \overline{H}. Zeige f(∂G) = ∂H. ∂H ⊂ f(∂G): Sei H ∋ w_{k} → w ∈ ∂H. Dann hat z_{k} = f^{−1}(w_{k}) einen Häufungspunkt z ∈ \overline{G}, da \overline{G} kompakt ist. Wegen f(z) = w ∈ ∂H gilt z ∉ G, also z ∈ ∂G. f(∂G) ⊂ ∂H: Sei z ∈ ∂G. Angenommen f(z) = w ∈ H. Sei V ⊂⊂ H Umgebung von w und U = f|_{G}^{−1}(V). Dann ist U ⊂⊂ G, da U ⊂ f|_{G}^{−1}(\overline{V}) und f|_{G}^{−1} stetig. Da f stetig, gibt es Umgebung B von z in \overline{G} mit B ∩ U = ∅ und f(B) ⊂ V � , denn f|_{G} ist injektiv.

Ein Weg (=Kurve) γ ist eine stetige Abbildung γ : [0, 1] → ℂ. Ist γ(0) = γ(1), so heißt γ geschlossen. Ist γ|_{[0,1)} injektiv, so heißt γ einfach. Ein einfach geschlossener Weg kann also als eine stetige injektive Abbildung γ : S^{1} → ℂ betrachtet werden, ein Homöomorphismus S^{1} ⟶^{≈} C = γ(S^{1}).

Ist γ : S^{1} → ℂ ein geschlossener Weg, so heißen

Int γ = {z ∈ ℂ \ γ : n(γ, z) ≠ 0} das Innere von γ und
Ext γ = {z ∈ ℂ \ γ : n(γ, z) = 0} das Äußere von γ .

Ext γ enthält die unbeschränkte Komponente von ℂ \ γ.

Ein Gebiet G wird von einer Kurve berandet, wenn es eine geschlossene Kurve γ gibt mit γ = ∂G, n(γ, z) = 1 für z ∈ G und n(γ, z) = 0 für z ∈ ℂ \ \overline{G}.

Ein einfach geschlossener Weg heißt auch Jordankurve. Ein einfach zusammenhängendes beschränktes Gebiet, das von einer Jordankurve berandet wird, heißt Jordangebiet.

Satz 2.22 (Jordanscher Kurvensatz). Ist γ : S^{1} → ℂ eine Jordankurve, dann gilt:

(i) γ zerlegt die Ebene ℂ in genau zwei Gebiete, ein beschränktes Gebiet G_{1} (Inneres) und ein unbeschränktes Gebiet G_{2} (Äußeres), und C ist gemeinsamer Rand: ∂G_{1} = ∂G_{2} = γ.

(ii) Für z ∈ ℂ \ γ gilt −1 ≤ n(γ, z) ≤ 1 , genauer: z ∈ G_{1} ⇒ n(γ, z) = ±1 (konstant in G_{1}); z ∈ G_{2} ⇒ n(γ, z) = 0.

Es gilt also: Ist γ : S^{1} → ℂ ein Weg und gibt es z ∈ ℂ \ γ mit n(γ, z) ≥ 2, dann gibt es t_{1}, t_{2} ∈ S^{1} mit t_{1} ≠ t_{2} und γ(t_{1}) = γ(t_{2}), d.h. γ ist nicht injektiv.

Beweis. siehe [P1].

Satz 2.23. Sei D eine Kreisscheibe und f holomorph in (Umgebung von) \overline{D}. Ist f|_{∂D} injektiv, dann ist f|\overline{D} injektiv. Insbesondere wird D konform auf das Innere der Jordankurve f(∂D) abgebildet.

Beweis. Ist γ = ∂D die (positiv orientierte) Randkurve, so ist f ∘ γ einfach geschlossen. Für w ∉ f(∂D) gilt also n(f ∘ γ, w) ≤ 1. (Jordanscher Kurvensatz) Angenommen es gibt z_{1}, z_{2} ∈ \overline{D} mit z_{1} ≠ z_{2} und f(z_{1}) = f(z_{2}) = w. w ∉ f(∂D) ⇒ z_{1}, z_{2} ∈ D. Allerdings gilt dann n(f ∘ γ, w) = N_{f}(w) ≥ 2. � Sei nun w ∈ f(∂D). Da f|_{∂D} injektiv ist, kann man z_{2} ∈ D annehmen. Dann gibt es eine Umgebung V von w und disjunkte Umgebungen U_{1} von z_{1} und U_{2} ⊂ D von z_{2}, auf denen f holomorph ist und f(U_{1}) = f(U_{2}) = V. Es gibt also Punkte z̃_{1} ∈ U_{1} ∩ D und z̃_{2} ∈ U_{2} mit f(z̃_{1}) = f(z̃_{2}) = w̃ ∉ f(∂D). Damit gilt wieder n(f ∘ γ, w̃) = N_{f}(w̃) ≥ 2. � Es gilt ∂f(D) ⊂ f(∂D). Hier gilt auch f(∂D) ⊂ ∂f(D).

Zur Injektivität von f|_{D}: Jeder Wert in H = Int(f ∘ γ) wird in D genau einmal angenommen und Werte in Ext(f ∘ γ) werden in D nicht angenommen. Somit H ⊂ f(D) und f(D) ⊂ \overline{H}. Angenommen es gibt z ∈ D mit f(z) = w ∈ f(∂D). Da f(D) offen ist, folgt f(D) ∩ Ext(f ∘ γ) ≠ ∅. � Somit auch f(D) ⊂ H.

Satz 2.24 (Carathéodory). Sei f : 𝔻 → H eine konforme Abbildung.

(i) Wird H von einer Kurve berandet, so hat f eine stetige Fortsetzung auf \overline{𝔻} und f(∂𝔻) = ∂H.

(ii) Wird H von einer Jordankurve berandet, so hat f eine stetige und injektive Fortsetzung auf \overline{𝔻}.

Beweis. siehe [P2]. Die Fortsetzung f : \overline{𝔻} → \overline{H} in (ii) ist ein Homöomorphismus.

Satz 2.25. Sei H ein Jordangebiet und w_{1}, w_{2}, w_{3} ∈ ∂H Sind z_{1}, z_{2}, z_{3} ∈ ∂𝔻 in gleicher zyklischer Reihenfolge wie w_{j}, so gibt es genau eine konforme Abbildung f : 𝔻 → H mit f(z_{j}) = w_{j}.

Beweis. Da H von einer Jordankurve berandet wird, gibt es eine konforme Abbildung g : 𝔻 → H, die stetig ist auf \overline{𝔻} und bijektiv zwischen ∂𝔻 → ∂H. Seien ζ_{j} = g^{−1}(w_{j}). Dann gibt es ein τ ∈ Aut(𝔻) mit τ(z_{j}) = ζ_{j} und f = g ∘ τ ist die gesuchte Funktion. Ist f̃ eine weitere solche Abbildung, so folgt für ι = f^{−1} ∘ f̃, daß ι ∈ Aut(𝔻) und ι(z_{j}) = z_{j}, somit ι = id.

Lemma. Sei h : 𝔻 → 𝔻 holomorph und stetig in \overline{𝔻} mit h(∂𝔻) ⊂ ∂𝔻. Dann ist

h(z) = λ ∏_{j=1}^{n} \frac{z − z_{j}}{1 − \overline{z}_{j}z} , wobei z_{j} ∈ 𝔻 .

Beweis. Da |h(ζ)| = 1 für ζ ∈ ∂𝔻, liegen die Nullstellen von h in 𝔻 und es kann nur endlich viele z_{1}, …, z_{n} ∈ 𝔻 geben. Somit ist

g(z) = h(z) ∏_{j=1}^{n} \frac{1 − \overline{z}_{j}z}{z − z_{j}}

holomorph und ≠ 0 in 𝔻. Weiter ist g stetig auf \overline{𝔻} und |g(ζ)| = 1 für ζ ∈ ∂𝔻. Mit dem Minimumprinzip folgt g(z) ≡ λ ∈ ∂𝔻, und h ist holomorph auf \overline{𝔻}.

Satz 2.26 (Prinzip vom Rand). Sei f holomorph in 𝔻 und stetig auf \overline{𝔻}. Wenn ∂𝔻 durch f bijektiv auf die Jordankurve C abgebildet wird, so wird 𝔻 konform auf das Innere H von C abgebildet.

Beweis. Wieder ist ∂f(𝔻) ⊂ f(∂𝔻) = C und f(𝔻) ⊂ H. Ist g : 𝔻 → H konform, so läßt sich g stetig und injektiv fortsetzen auf ∂𝔻 mit g(∂𝔻) = C. So ist h = g^{−1} ∘ f : 𝔻 → 𝔻 holomorph und stetig in \overline{𝔻} mit h(∂𝔻) = ∂𝔻, somit holomorph auf \overline{𝔻}. Zudem ist h injektiv auf ∂𝔻. Es folgt wieder, daß h injektiv in 𝔻 ist und somit h ∈ Aut(𝔻). Also ist f = g ∘ h konform.

Man kann das Schwarzsche Spiegelungsprinzip auch auf Abbildungen f : 𝔻 → H anwenden, wenn der Rand von H reell analytisch ist. Speziell folgt

Satz 2.27. Sei f stetig in \overline{𝔻} und holomorph in 𝔻. Ist f|_{B} ≡ 0 für ein offenes Bogenstück B ⊂ ∂𝔻, so ist f ≡ 0.

Beweis. Sei T : ℍ → 𝔻 konform und g = f ∘T : ℍ → ℂ. T^{−1}(B) ⊂ ℝ enthält ein offenes Intervall, über das g fortgesetzt werden kann. Es folgt, daß f holomorph ist in 𝔻 ∪ D, wobei D eine Kreisscheibe ist, die B ⊂ ∂𝔻 schneidet. Da nun B einen Häufungspunkt im Inneren von D ∪ 𝔻 hat, ist f ≡ 0.

Ist f|_{∂𝔻} ≡ 0, so folgt f ≡ 0 bereits aus der Cauchyformel. Ist f holomorph in einem relativ kompakten Gebiet G und verschwinden die Werte zum Rand hin, so folgt aus dem Maximumprinzip f ≡ 0.

§ Eigentliche Abbildungen

Definition. Eine stetige Abbildung f : G → H nennt man eigentlich, wenn f^{−1}(K) kompakt ist für jede kompakte Menge K ⊂ H.

Sei G ein Gebiet. Ist z_{n} ∈ G eine Folge ohne Häufungspunkt in G, so nennt man (z_{n}) Randfolge und schreibt z_{n} → ∂G. Eine holomorphe Abbildung f : G → H, die Randfolgen auf Randfolgen abbildet, nennt man endlich.

Sei f : G → ℂ holomorph mit f(z_{0}) = w_{0} und ν_{f}(z_{0}) = k. Lokale Werteannahme: Ist ε_{0} > 0 klein genug, dann gibt es zu jedem positiven ε < ε_{0} ein δ > 0, so daß f(D_{ε}(z_{0})) ⊃ D_{δ}(w_{0}) und jedes w ∈ D_{δ}(w_{0}) \ {w_{0}} in D_{ε}(z_{0}) genau k einfache Urbilder hat. N_{f}(w) = ∑_{z∈f^{−1}(w)}ν_{f}(z) ist die Anzahl der w–Stellen in G mit Vielfachheit.

Ist N_{f}(w) < ∞, so gibt es Umgebungen V von w und disjunkte U_{1}, …, U_{m} von z_{j} ∈ f^{−1}(w), so daß sich f|_{U_{j}} verhält wie z ↦ z^{k_{j}}, wobei k_{1} + … + k_{m} = N_{f}(w) und f(U_{j}) = V.

Eine Abbildung, die abgeschlossene Mengen auf abgeschlossene Mengen abbildet, nennt man abgeschlossen.

Lemma. Sei f : X → Y abgeschlossen, d.h. bildet abgeschlossene Menge in X auf abgeschlossene Mengen in Y ab. Sei y ∈ Y und U eine (offene) Umgebung von f^{−1}(y). Dann gibt es eine Umgebung V von y, so daß f^{−1}(V) ⊂ U.

Beweis. Sei U eine Umgebung von f^{−1}(y). X \ U ist abgeschlossen ⇒ f(X \ U) ist abgeschlossen. Sei V := Y \ f(X \ U). Dann ist V eine Umgebung von y und f^{−1}(V) = f^{−1}(Y \ f(X \ U)) = X \ f^{−1}f(X \ U) ⊂ X \ (X \ U) = U.

Satz 2.28. Seien G, H ⊂ ℂ Gebiete und f : G → H holomorph. Dann sind äquivalent:

(i) f ist eigentlich, d.h. K ⊂ H kompakt ⇒ f^{−1}(K) kompakt.

(ii) f bildet Randfolgen auf Randfolgen ab, d.h. z_{n} → ∂G ⇒ f(z_{n}) → ∂H.

(iii) Es gibt ein k ∈ ℕ, so daß N_{f}(w) ≡ k für alle w ∈ H. Dies bedeutet, jeder Wert w ∈ H wird in G genau k–mal angenommen, f : G ⟶^{k:1} H.

(iv) f ist nicht–konstant (sogar surjektiv) und abgeschlossen.

Ist f wie in (ii), so schreibt man auch f(∂G) = ∂H, auch wenn f auf ∂G nicht definiert ist. Ist f nicht konstant, dann kann die Faser f^{−1}(w) keinen Häufungspunkt in G haben. Ist zudem f eigentlich oder endlich, dann ist auch die Faser f^{−1}(w) endlich.

Beweis. (i) ⇒ (ii): Sei z_{n} ∈ G eine Teilfolge mit f(z_{n}) → w_{0} ∈ H. Dann ist K = {f(z_{n})} ∪ {w_{0}} kompakt. Mit (i) ist auch f^{−1}(K) kompakt. Somit hat (z_{n}) einen Häufungspunkt in f^{−1}(K) ⊂ G. (ii) ⇒ (i): Sei K kompakt und K ⊂ H. Sei z_{n} ∈ f^{−1}(K) eine Folge. Es ist zu zeigen, daß (z_{n}) einen Häufungspunkt in f^{−1}(K) hat. Nun kann H ⊃ K ∋ f(z_{n}) keine Randfolge sein. Wegen (ii) ist auch (z_{n}) keine Randfolge, d.h. (z_{n}) hat einen Häufungspunkt z_{0} ∈ G. Da f^{−1}(K) abgeschlossen ist, gilt z_{0} ∈ f^{−1}(K). (iii) ⇒ (ii): Sei (z_{n}) eine Folge in G mit f(z_{n}) → w_{0} ∈ H. Seien {z_{1}, …, z_{m}} = f^{−1}(w_{0}) die verschiedenen Urbilder von w_{0} mit Ordnungen ν_{f}(z_{j}) = k_{j}, k_{1} + … + k_{m} = k. Es gibt Umgebung V von w_{0} und disjunkte Umgebungen U_{j} ⊂ G von z_{j}, so daß jeder Wert w ∈ V in U_{j} k_{j}–mal angenommen wird (lokale Werteannahme). Angenommen (z_{n}) ist eine Randfolge (d.h. ohne Häufungspunkt) in G. Da man V und U_{j} klein genug (relativ kompakt in H bzw. G) wählen kann, gilt für große n, daß z_{n} ∉ ⋃ U_{j}, jedoch f(z_{n}) = w_{n} ∈ V. Daraus folgt N(w_{n}) ≥ k + 1 �. (ii) ⇒ (iii): f ist surjektiv, da H \ f(G) offen: Sei w_{0} ∈ H \ f(G). Ang. ∀ δ > 0 ∃ z ∈ G : f(z) ∈ D_{δ}(w_{0}). Dann gibt es f(z_{n}) → w_{0}, und z_{n} kann keine Randfolge sein, hat also Häufungspunkt z_{0} ∈ G und f(z_{0}) = w_{0} �. Da die Fasern endlich sind, ist ν_{f}(z) < ∞. Zu zeigen: N_{f} : H → ℕ ist stetig. Sei w_{0} ∈ H mit N_{f}(w_{0}) = k und f^{−1}(w_{0}) = {z_{1}, …, z_{m}} mit ν_{f}(z_{j}) = k_{j} und k_{1} + … + k_{m} = k. Nach dem Satz von der lokalen Werteannahme gibt es eine Umgebung V von w_{0} und disjunkte Umgebungen U_{j} ⊂ G von z_{j}, so daß jeder Wert w ∈ V in U_{j} k_{j}–mal angenommen wird. Es folgt N_{f}(w) ≥ k für w ∈ V. Angenommen es gibt w_{n} → w_{0} mit N(w_{n}) ≥ k + 1. Dann gibt es z_{n} ∈ G \ ⋃ U_{j} mit f(z_{n}) = w_{n} → w_{0}. Wegen (ii) kann z_{n} keine Randfolge sein, sondern hat einen Häufungspunkt z_{0} ∈ G. Es gilt f(z_{0}) = w_{0}. Nun ist G\⋃ U_{j} abgeschlossen in G, d.h. z_{0} ∉ ⋃ U_{j}. Da ν_{f}(z_{0}) ≥ 1, folgt N_{f}(w_{0}) ≥ k + 1 �.

(i) ⇒ (iii): Beh.: Ist f eigentlich und U Umgebung von f^{−1}(w), dann gibt es eine Umgebung V von w mit f^{−1}(V) ⊂ U. Bew.: Angenommen es gibt eine Folge w_{n} → w und z_{n} ∉ U mit f(z_{n}) = w_{n}. Da K = {w_{n}} ∪ {w} kompakt ist, ist f^{−1}(K) kompakt und z_{n} ∈ f^{−1}(K) hat eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert z ∈ f^{−1}(w), jedoch z_{n} ∉ U �. Sei w_{0} ∈ H mit N_{f}(w_{0}) = k und f^{−1}(w_{0}) = {z_{1}, …, z_{m}} mit ν_{f}(z_{j}) = k_{j} und k_{1} + … + k_{m} = k. Nach dem Satz von der lokalen Werteannahme gibt es eine Umgebung V von w_{0} und disjunkte Umgebungen U_{j} ⊂ G von z_{j}, so daß jeder Wert w ∈ V in U_{j} genau k_{j}–mal angenommen wird. Nun kann man V so wählen, daß f^{−1}(V) ⊂ ⋃ U_{j}. Es folgt N_{f}(w) = k für w ∈ V, d.h. N_{f} ist lokal konstant.

(i) ⇒ (iv): f kann nicht konstant gleich c sein, da sonst G = f^{−1}(c). Sei A abgeschlossen in G und f(z_{n}) eine Folge in f(A) mit f(z_{n}) → w_{0} ∈ H. Die Menge K = {f(z_{n})} ∪ {w_{0}} ist kompakt. Ist f eigentlich, dann ist auch f^{−1}(K) kompakt sowie f^{−1}(K)∩A. Somit hat z_{n} ∈ f^{−1}(K)∩A eine konvergente Teilfolge z_{n_{j}} → z_{0} ∈ A. Es folgt f(z_{0}) = w_{0} ∈ f(A), d.h. f(A) ist abgeschlossen. (iv) ⇒ (ii): Sei w ∈ H. Da f nicht konstant ist, ist f^{−1}(w) ohne Häufungspunkt in G (Id-Satz) und abgeschlossen in G (Stetigkeit). Angenommen z_{n} ∈ G ist eine Randfolge mit f(z_{n}) → w. Dann gibt es eine Randfolge ẑ_{n} ∈ G \ f^{−1}(w), die ebenfalls f(ẑ_{n}) → w erfüllt. Wähle dazu ẑ_{n} so, daß |ẑ_{n} − z_{n}| < 1/n und |f(ẑ_{n}) − f(z_{n})| < 1/n. Nun ist {ẑ_{n}} abgeschlossen in G. Da jedoch f(ẑ_{n}) ≠ w, ist {f(ẑ_{n})} nicht abgeschlossen �.

Ist f wie in (iv) offen und abgeschlossen, dann ist f(G) offen und abgeschlossen in H. Da H zusammenhängend ist, ist f(G) = H.

Satz 2.29. Sei G beschränktes Gebiet, f : G → H holomorph und stetig in \overline{G}. Dann gilt ∂f(G) ⊂ f(∂G), und f eigentlich ⟺ f(∂G) = ∂H.

Beweis. ∂f(G) ⊂ f(∂G): Sei w ∈ ∂f(G) und w_{k} ∈ f(G) mit w_{k} → w. Da \overline{G} kompakt ist, hat z_{k} ∈ f^{−1}(w_{k}) einen Häufungspunkt z ∈ \overline{G}. Ist f nicht konstant, ist f(G) offen und dann folgt aus f(z) = w ∈ ∂f(G), daß z ∉ G, also z ∈ ∂G. Beispiel: f : 𝔻 \ {1/2} → 𝔻, f(z) = z^{2} ⇝ ∂f(G) ⊊ f(∂G). Sei nun f eigentlich. Dann ist f surjektiv. f(∂G) ⊂ ∂H: Sei w ∈ f(∂G), w = f(z) für ein z ∈ ∂G. Dann gibt es z_{k} ∈ G mit z_{k} → z. Da z_{k} Randfolge ist, ist auch f(z_{k}) Randfolge, d.h. hat keinen Häufungspunkt in H. Jedoch gilt f(z_{k}) → w ∈ \overline{H}. somit w ∈ ∂H. Ist f : \overline{G} → \overline{H}, f(G) ⊂ H, stetig mit f(∂G) = ∂H, dann gilt: G ∋ z_{k} → z ∈ ∂G ⇒ H ∋ f(z_{k}) → f(z) ∈ ∂H, d.h. f bildet Randfolgen auf Randfolgen ab.

Ist G nicht beschränkt, so kann man G ⊂ ℂ̂ betrachten, wo der Abschluß wieder kompakt ist. Ist ∂ℂ̂G der Rand von G in ℂ̂, so gilt wieder f(∂ℂ̂G) = ∂ℂ̂H, wenn f : G → H eigentlich und stetig auf \overline{G} ⊂ ℂ̂.

Beispiel: Für φ : ℍ → 𝔻, φ(z) = \frac{z − i}{z + i}, gilt φ(ℝ) = ∂𝔻 \ \{1\} und φ(∞) = 1.

Lemma 2.30. Ist f : G → H eigentlich und V ⊂⊂ H Gebiet, so gilt für jede Zusammenhangskomponente U ⊂ f^{−1}(V), daß f(U) = V und f(∂U) = ∂V. Gibt es w_{0} ∈ V mit f^{−1}(w_{0}) = {z_{0}}, so ist f^{−1}(V) zusammenhängend.

3. Bloch–Funktionen

Lemma 3.1. Sei G ein beschränktes Gebiet und f : G → ℂ holomorph und stetig auf \overline{G}. Sei a ∈ G mit s = min\{|f(z) − f(a)| : z ∈ ∂G\} > 0. Dann enthält f(G) die Kreisscheibe D_{s}(f(a)) ⊂ f(G).

Beweis. Es gilt ∂f(G) ⊂ f(∂G), somit min{|w − f(a)| : w ∈ ∂f(G)} ≥ s. Alternativ: Sei f(a) = w_{0} und w ∈ D_{s}(w_{0}). Sei h(z) = f(z) − w_{0} und g(z) = f(z) − w. Dann gilt |h(z) − g(z)| = |w − w_{0}| < s und |h(z)| ≥ s für z ∈ ∂G, also |h(z) − g(z)| < |h(z)| für z ∈ ∂G. Nach Rouché haben g und h gleichviele Nullstellen in G, wobei h(a) = 0.

Lemma 3.2. Sei f : 𝔻 → ℂ holomorph und beschränkt mit f(0) = 0 und f′(0) = 1. Dann gilt 1 ≤ M := |f|_{𝔻} < ∞ und D_{s}(0) ⊂ f(𝔻), wobei s = (6M)^{−1}.

Beweis. Sei f(z) = z + a_{2}z^{2} + a_{3}z^{3} + … Für 0 < r < 1 gilt

|a_{n}| ≤ \frac{1}{r^{n}} · max_{|ζ|=r} |f(ζ)| ≤ M/r^{n} .

Für r → 1 folgt |a_{n}| ≤ M. Wegen f′(0) = a_{1} = 1 ist M ≥ 1. Sei h(z) = a_{2}z^{2} + a_{3}z^{3} + …, d.h. f(z) = z + h(z). Dann gilt |f(z)| ≥ |z| − |h(z)|. Für |z| = r < 1 gilt

|h(z)| = | ∑_{n=2}^{∞} a_{n}z^{n}| ≤ ∑_{n=2}^{∞} |a_{n}| · |z|^{n} ≤ ∑_{n=2}^{∞} M · r^{n} = M \frac{r^{2}}{1 − r} ,

somit

|f(z)| ≥ r − M \frac{r^{2}}{1 − r} .

Nun ist für |z| = r = (4M)^{−1}

|f(z)| ≥ \frac{1}{4M} − \frac{1}{4} · \frac{1}{4M − 1} ≥ \frac{1}{4M} − \frac{1}{4} · \frac{1}{4M − M} = \frac{1}{4M} − \frac{1}{12M} = \frac{1}{6M} .

Folgerung. f : D_{r} → ℂ holomorph, f(0) = 0, |f′(0)| = λ, |f|_{D_{r}} ≤ M ⇒ D_{R}(0) ⊂ f(D_{r}) , R = λ^{2}r^{2}/(6M) . Betrachte h(z) = \frac{1}{rf′(0)}f(rz).

Für die Funktionen f_{n}(z) = (e^{nz} − 1)/n gilt f(0) = 0 und f′(0) = 1, und sie nehmen den Wert −1/n nicht an. Die Kreisscheiben um 0 werden also sehr klein. Allerdings sagt der Satz von Bloch, daß holomorphe f : 𝔻 → ℂ mit f′(0) = 1 an anderen Stellen im Bild Kreisscheiben mit einem Mindestradius enthalten.

Sei O(Ω) die Menge der holomorphen Funktionen, die in jedem Punkt von Ω holomorph sind. Dann ist f ∈ O(Ω) holomorph in einer Umgebung von Ω.

Lemma 3.3. Sei D = D_{r}(a) = \{|z − a| < r\} eine Kreisscheibe und f ∈ O(\overline{D}). Ist f nicht konstant und |f′|_{D} ≤ 2|f′(a)|, dann gilt

D_{R}(f(a)) ⊂ f(D) , wobei R = (3 − 2\sqrt{2})r|f′(a)| .

Beweis. O.E. sei a = f(a) = 0. Für die Ableitung gilt

f′(z) − f′(0) = \frac{1}{2πi} ∫_{∂D} [\frac{f′(ζ)}{ζ − z} − \frac{f′(ζ)}{ζ}] dζ = \frac{z}{2πi} ∫_{∂D} \frac{f′(ζ)}{ζ(ζ − z)} dζ ,

|f′(z) − f′(0)| ≤ \frac{|z|}{r − |z|} |f′|_{D} .

Für ρ < r und |z| = ρ gilt

|f′(0)|ρ − |f(z)| ≤ |f(z) − f′(0)z| = | ∫_{[0,z]} [f′(ζ) − f′(0)] dζ|

≤ ∫_{[0,z]} |f′(ζ) − f′(0)| |dζ| ≤ |f′|_{D} ∫_{[0,z]} \frac{|ζ|}{r − |ζ|} |dζ|

≤ |f′|_{D} ∫_{[0,z]} \frac{|ζ|}{r − |z|} |dζ| = \frac{|f′|_{D}}{2} · \frac{|z|^{2}}{r − |z|} = \frac{|f′|_{D}}{2} · \frac{ρ^{2}}{r − ρ} .

Da |f′|_{D} ≤ 2|f′(0)|, folgt |f(z)| ≥ (ρ − \frac{ρ^{2}}{r − ρ})|f′(0)|.

In ρ_{0} = (1 − \sqrt{2}/2)r ∈ (0, r) nimmt ρ − ρ^{2}/(r − ρ) das Maximum (3 − 2\sqrt{2})r an. Mit R = (3 − 2\sqrt{2})r|f′(0)| folgt D_{R}(0) ⊂ f(D_{ρ_{0}}(0)).

Ist f ∈ O(𝔻) und f′(0) ≠ 0, so ist f nicht konstant und das Bild f(𝔻) offen, enthält also eine offene Kreisscheibe. Da f′(0) ≠ 0, ist f in einer Umgebung von 0 injektiv. Somit gibt es eine Umgebung in 𝔻, die von f schlicht auf eine Kreisscheibe im Bild abgebildet.

Definition. Sei f : G → ℂ holomorph. Eine schlichte Scheibe ist eine Kreisscheibe D ⊂ f(G), so daß es U ⊂ G gibt mit f(U) = D und f|_{U} injektiv.

Satz 3.4 (Bloch). Sei f ∈ O(\overline{𝔻}) mit f′(0) = 1. Dann gilt:

(i) f(𝔻) enthält eine Kreisscheibe vom Radius \frac{3}{2} − \sqrt{2} > \frac{1}{12};

(ii) f(𝔻) enthält eine schlichte Scheibe vom Radius \frac{1}{24}.

Ist f ∈ O(𝔻) mit f′(0) = 1, betrachte f_{n}(z) = f(r_{n}z)/r_{n} für r_{n} < 1 und r_{n} → 1.

Beweis. Sei ϕ(z) = (1 − |z|)|f′(z)|. ϕ : \overline{𝔻} → ℝ ist stetig mit ϕ(0) = 1 und ϕ(z) = 1 auf ∂𝔻. Das Maximum ϕ_{0} wird in z_{0} ∈ 𝔻 angenommen und es gilt ϕ_{0} ≥ |f′(0)| = 1. Sei r_{0} = |z_{0}| und ρ = (1 − r_{0})/2. Dann gilt ϕ_{0} = 2ρ|f′(z_{0})| und D_{ρ}(z_{0}) ⊂ 𝔻. Ist z ∈ D_{ρ}(z_{0}), so gilt |z| − |z_{0}| ≤ |z − z_{0}| < ρ, somit |z| + ρ < |z_{0}| + 2ρ = 1, also 1 − |z| > ρ. Aus ϕ(z) = (1 − |z|)|f′(z)| ≤ ϕ_{0} = 2ρ|f′(z_{0})| folgt

|f′(z)| ≤ \frac{ϕ_{0}}{1 − |z|} < \frac{ϕ_{0}}{ρ} = 2|f′(z_{0})| für |z − z_{0}| < ρ .

(i) Für R = (3 − 2\sqrt{2})ρ|f′(z_{0})| folgt D_{R}(f(z_{0})) ⊂ f(𝔻), wobei ρ|f′(z_{0})| ≥ 1/2. (ii) Für |z − z_{0}| < ρ gilt

|f′(z) − f′(z_{0})| ≤ |f′(z)| + |f′(z_{0})| < \frac{3ϕ_{0}}{2ρ} .

Für

h(w) = \frac{f′(z_{0} + ρw) − f′(z_{0})}{\frac{3ϕ_{0}}{2ρ}} , h : 𝔻 → 𝔻 , h(0) = 0 ,

folgt mit Schwarz |h(w)| ≤ |w|. (Für Schwarz reicht h(𝔻) ⊂ \overline{𝔻}; dennoch wenn h holomorph ist, ist h(𝔻) offen oder h ≡ h(0) = 0.) Somit

\frac{|f′(z) − f′(z_{0})|}{\frac{3ϕ_{0}}{2ρ}} ≤ \frac{|z − z_{0}|}{ρ} , |f′(z) − f′(z_{0})| ≤ \frac{3ϕ_{0}}{2ρ^{2}} |z − z_{0}| .

Ist |z − z_{0}| < ρ/3 , so folgt

|f′(z) − f′(z_{0})| < \frac{3ϕ_{0}}{2ρ^{2}} · \frac{ρ}{3} = \frac{ϕ_{0}}{2ρ} = |f′(z_{0})| ,

d.h. f ist injektiv in D_{ρ/3}(z_{0}) = {|z − z_{0}| < ρ/3}. Mit Koebe folgt, daß f(D_{ρ/3}(z_{0})) eine Kreisscheibe um f(z_{0}) enthält mit Radius

\frac{1}{4} · \frac{ρ}{3}|f′(z_{0})| = \frac{ϕ_{0}}{24} ≥ \frac{1}{24} .

Zu (i): In D_{ρ}(z_{0}) gilt |f′(z)| ≤ ϕ_{0}/ρ. Betrachte g(z) = f(z_{0} +z)−f(z_{0}) in D_{ρ}(0). Es gilt g(0) = 0, |g′(0)| = |f′(z_{0})| = \frac{ϕ_{0}}{2ρ} und für |z| < ρ

g(z) = ∫_{[0,z]} g′(ζ) dζ , |g(z)| ≤ |z| · |f′|_{D_{ρ}(z_{0})} ≤ |z|\frac{ϕ_{0}}{ρ} ≤ ϕ_{0} .

Mit Lemma 3.2 folgt D_{R}(f(z_{0})) ⊂ f(D_{ρ}(z_{0})), wobei R = \frac{ρ^{2} \frac{ϕ_{0}^{2}}{4ρ^{2}}}{6ϕ_{0}} = \frac{ϕ_{0}}{24} ≥ \frac{1}{24}.

Für |z| ≤ ρ/3 gilt |g(z)| ≤ ϕ_{0}/3 und D_{r}(f(z_{0})) ⊂ f(D_{ρ/3}(z_{0})) schlicht, wobei r = R/3 ≥ \frac{1}{72}.

Sei f : G → ℂ holomorph und

L_{f} = sup{ r : f(G) enthält Kreisscheibe vom Radius r } ,
B_{f} = sup{ r : f(G) enthält schlichte Scheibe vom Radius r } .

Sei f ∈ O(G) und δ_{f}(z) der Radius der größten schlichten Scheibe um f(z). δ_{f}(z) ist der Radius der größten unverzweigten Kreisscheibe in f(G), d.h. wo noch ein Zweig von f^{−1} definiert ist. Sie enthält keine kritischen Werte von f. Die Umgebung in G, die konform auf die Kreisscheibe abgebildet wird, muß nicht um z sein wie bei σ_{f}(z) ≤ δ_{f}(z). Jedoch gilt B_{f} = sup_{z∈G} δ_{f}(z) = sup_{z∈G} σ_{f}(z).

Beispiel: f(z) = z − z^{2} in einer Umgebung G von \overline{𝔻}. Für z_{0} = 1 ist δ_{f}(z_{0}) = \frac{1}{4}. Eine Umgebung von 0 wird auf D_{1/4}(0) schlicht abgebildet. Um z_{0} ist eventuell nicht genug Platz in G, wodurch σ_{f}(z_{0}) < δ_{f}(z_{0}) sein kann.

Man nennt

L = inf{ L_{f} : f ∈ O(𝔻) , f′(0) = 1 } Landau–Konstante,
B = inf{ B_{f} : f ∈ O(𝔻) , f′(0) = 1 } Bloch–Konstante.

Sei f ∈ O(𝔻) mit f′(0) = 1. f(𝔻) enthält Kreisscheiben vom Radius R < L und schlichte Scheiben vom Radius r < B. Es ist bekannt, daß

0.433 < \frac{\sqrt{3}}{4} < B < 0.472 , 0.5 < L < 0.544 .

L > \frac{1}{12} \sqrt{2} : Sei f ∈ O(\overline{𝔻}) und μ_{0} = max_{z∈\overline{𝔻}}(1 − |z|^{2})|f′(z)|. Das Maximum wird im Inneren

angenommen, d.h. μ_{0} = (1 − |q|^{2})|f′(q)| für ein q ∈ 𝔻.

Sei φ(z) = \frac{z + q}{\overline{q}z + 1} ∈ Aut(𝔻) und F = f ∘ φ ∈ O(\overline{𝔻}). Dann gilt

|F′(0)| = |f′(φ(0))| · |φ′(0)| = (1 − |q|^{2})|f′(q)| = μ_{0}

und

μ_{0} = max_{z∈𝔻}(1 − |z|^{2})|f′(z)| = max_{φ∈Aut(𝔻)}|(f ∘ φ)′(0)| .

Da |φ′(z)| = \frac{1 − |φ(z)|^{2}}{1 − |z|^{2}} , gilt

\begin{matrix}|F′(z)| = |f′(φ(z))| · \frac{1 − |φ(z)|^{2}}{1 − |z|^{2}} = \frac{μ(φ(z))}{1 − |z|^{2}} ≤ \frac{μ_{0}}{1 − |z|^{2}} , \\ max_{|z|≤r} |F′(z)| = max_{|z|=r} |F′(z)| ≤ \frac{μ_{0}}{1 − r^{2}} . \end{matrix}

Für D = \{|z| < \frac{\sqrt{2}}{2}\} folgt |F′|_{D} ≤ 2|F′(0)|. Somit enthält F (𝔻) = f(𝔻) eine Kreisscheibe um F (0) = f(q) mit Radius (\frac{3}{2} \sqrt{2} − 2)μ_{0}. Ist f′(0) = 1, so ist μ_{0} ≥ 1 und f(𝔻) enthält eine Kreisscheibe vom Radius \frac{3}{2} \sqrt{2} − 2 > \frac{1}{12} \sqrt{2}.

Definition. Für f ∈ O(𝔻) sei ∥f∥_{B} = sup_{z∈𝔻}(1 − |z|^{2})|f′(z)|. Dann ist B = {f ∈ O(𝔻) : ∥f∥_{B} < ∞} der Raum der Bloch–Funktionen. ∥ · ∥_{B} ist eine Halbnorm und B wird mit |f(0)| + ∥f∥_{B} zum Banachraum. Es gilt ∥f ∘ φ∥_{B} = ∥f∥_{B} für φ ∈ Aut(𝔻). Ist f ∈ O(𝔻) beschränkt, |f|_{𝔻} ≤ C, so ist f ∈ B mit |f(0)| + ∥f∥_{B} ≤ 2|f|_{𝔻}, denn

|f′(z)| ≤ \frac{C − \frac{1}{C} |f(z)|^{2}}{1 − |z|^{2}} ⇝ (1 − |z|^{2})|f′(z)| ≤ C .

Die Funktion f(z) = log \frac{1+z}{1−z} ist nicht beschränkt in 𝔻 und es gilt ∥f∥_{B} = 2. Satz 3.5.

(i) f ∈ O(𝔻) schlicht ⇒ ∥ log f′∥_{B} ≤ 6 .

(ii) g ∈ B, ∥g∥_{B} ≤ 1 ⇒ ∃ f ∈ O(𝔻) schlicht mit g = log f′.

Beweis. (i) (1 − |z|^{2})|\frac{d}{dz} log f′(z)| = (1 − |z|^{2})|\frac{f′′(z)}{f′(z)} | ≤ 4 + 2|z| ≤ 6 . (ii) Sei f′ = e^{g} und f(z) = ∫_{0}^{z} e^{g(ζ)} dζ in 𝔻. Dann gilt (1 − |z|^{2})|z \frac{f′′(z)}{f′(z)} | ≤ (1 − |z|^{2})|g′(z)| ≤ 1 ⇝ f injektiv.

Sei z_{0} ∈ 𝔻 mit f(z_{0}) = w_{0} und r = σ_{f}(z_{0}) > 0. Ist φ(z) = \frac{z+z_{0}}{\overline{z}_{0}z+1} und g = f ∘ φ, so gilt g(𝔻) = f(𝔻), g(0) = f(z_{0}) und g′(0) = (1 − |z_{0}|^{2})f′(z_{0}). In D_{r}(w_{0}) hat g Linksinverse h : D_{r}(w_{0}) → 𝔻 mit h′(w_{0}) = 1/g′(0). Mit Schwarz gilt zudem |h′(w_{0})| ≤ 1/r, somit |g′(0)| ≥ r, d.h. σ_{f}(z_{0}) ≤ (1 − |z_{0}|^{2})|f′(z_{0})|. Weiter gilt B_{f} = sup{σ_{f}(z) : z ∈ 𝔻} und man kann zeigen f ∈ B ⟺ B_{f} < ∞,

σ_{f}(z) ≤ (1 − |z|^{2})|f′(z)| ≤ \frac{4}{\sqrt{3}} · B_{f} .

Sei B_{1} := {f ∈ B : ∥f∥_{B} ≤ 1 , f′(0) = 1} ⊂ O_{1} := {f ∈ O(𝔻) , f′(0) = 1}. Dann gilt: inf{ B_{f} : f ∈ B_{1} } = B := inf{ B_{f} : f ∈ O_{1} }. Zu zeigen: inf{ B_{f} : f ∈ B_{1} } ≤ B. Sei ε > 0 und g ∈ O_{1}, mit B_{g} < B + ε. Sei ρ < 1 so, daß noch \frac{1}{ρ}B_{g} < B + ε. Setze f(z) = \frac{1}{ρ}g(ρz). Dann ist f ∈ O(\overline{𝔻}), f′(0) = 1, ∥f∥_{B} ≤ |f|_{𝔻} < ∞. Da ρf(𝔻) = g(ρ𝔻) ⊂ g(𝔻), gilt ρB_{f} = B_{ρf} ≤ B_{g}. Es folgt B_{f} ≤ \frac{1}{ρ}B_{g} < B + ε. Sei μ(z) = (1 − |z|^{2})|f′(z)| mit Maximum μ_{0} in q ∈ 𝔻. Sei φ(z) = \frac{z+q}{\overline{q}z+1}.

Setze h(z) = \frac{f(φ(z)) − f(q)}{f′(q) · φ′(0)} = \frac{f(φ(z)) − f(q)}{(1 − |q|^{2}) · f′(q)}. Es gilt h(0) = 0 und h′(0) = 1.

Wegen |φ′(z)| = \frac{1−|φ(z)|^{2}}{1−|z|^{2}} ist h ∈ B_{1}, denn

(1 − |z|^{2})|h′(z)| = \frac{1}{μ_{0}} (1 − |z|^{2})|φ′(z)| · |f′(φ(z))| = \frac{1}{μ_{0}} μ(φ(z)) ≤ 1 .

Da μ_{0} ≥ 1 und φ ∈ Aut(𝔻), folgt B_{h} = \frac{1}{μ_{0}} B_{f∘φ} = \frac{1}{μ_{0}} B_{f} ≤ B_{f} < B + ε.

Es gilt: B_{1} ist kompakt und es gibt ein f_{0} ∈ B_{1} mit B_{f_{0}} = min B_{f} = B.

§ Satz von Picard

Eine Folgerung aus dem Satz von Bloch ist, daß das Bild einer ganzen Funktion, die nicht konstant ist, Kreisscheiben von jedem Radius enthält.

Lemma. Ist f ∈ O(\overline{𝔻}) und f′(0) = 1, so enthält f(𝔻) eine Kreisscheibe vom Radius L.

Beweis. Zeige: f(𝔻) enthält eine Kreisscheibe vom Radius L_{f}. Sei w_{n} ∈ f(𝔻), so daß f(𝔻) die Kreisscheibe D_{n} um w_{n} mit Radius L_{f} − \frac{1}{n} enthält. Da f(\overline{𝔻}) kompakt ist, hat w_{n} einen Häufungspunkt w_{0} ∈ f(\overline{𝔻}). O.E. w_{n} → w_{0}. Ist |w − w_{0}| < L_{f}, so gibt es n_{0}, so daß |w − w_{0}| < L_{f} − \frac{1}{n_{0}} , und n_{1} > n_{0}, so daß |w_{n} − w_{0}| < L_{f} − \frac{1}{n_{0}} − |w − w_{0}| für n ≥ n_{1}. Es folgt

|w − w_{n}| ≤ |w − w_{0}| + |w_{n} − w_{0}| < L_{f} − \frac{1}{n_{0}} < L_{f} − \frac{1}{n} ,

d.h. w ∈ D_{n} ⊂ f(𝔻) für n ≥ n_{1}. Somit gilt D_{L_{f}} (w_{0}) ⊂ f(𝔻).

Lemma. Ist f ∈ O(\overline{D}_{r}(a)) und f′(a) ≠ 0, so enthält f(D_{r}(a)) eine Kreisscheibe vom Radius r|f′(a)|L. Ist f ∈ O(ℂ) nicht konstant, so ist r > 0 beliebig.

Beweis. Betrachte h(ζ) = \frac{f(a + rζ)}{rf′(a)} , dann h ∈ O(\overline{𝔻}) und h′(0) = 1.

Lemma 3.6. Sei G einfach zusammenhängendes Gebiet.

(a) Ist f : G → ℂ \ {−1, 1} holomorph, so gibt es F ∈ O(G) mit f = cos F.

(b) Ist f : G → ℂ \ {0, 1} holomorph, so gibt es g ∈ O(G) mit

f = \frac{1}{2}[1 + cos π(cos πg)] .

Beweis. (a) 1 − f^{2} ist nullstellenfrei und G einfach zusammenhängend, also gibt es g ∈ O(G) mit g^{2} = 1 − f^{2}. Da (f + ig)(1 − ig) = f^{2} + g^{2} = 1, haben auch f ± ig keine Nullstellen in G. Somit gilt f + ig = e^{iF} für ein F ∈ O(G) und f − ig = 1/(f + ig) = e^{−iF}. Es folgt 2f = f + ig + f − ig = e^{iF} + e^{−iF} = 2 cos F.

(b) Da 2f − 1 : G → ℂ \ {±1}, folgt 2f − 1 = cos πF und F : G → ℂ \ ℤ, da cos πF : G → ℂ \ {±1}. Somit F = cos πg.

Es folgt, daß g : G → ℂ \ A mit dem Gitter

A = \{m ± \frac{i}{π} log (n + \sqrt{n^{2} − 1}) : m ∈ ℤ, n ∈ ℕ\} .

Satz 3.7. Ist f : G → ℂ\\{0, 1\} mit f = \frac{1}{2}[1+cos π(cos πg)], so gilt g(G)∩A = ∅ und g(G) enthält keine Kreisscheibe vom Radius 1.

Beweis. Seien m, n ∈ ℤ, n > 0, und p = m ± \frac{i}{π} log(n + \sqrt{n^{2} − 1}) ∈ A. Dann gilt

cos πp = \frac{1}{2}(e^{iπp} + e^{−iπp}) = \frac{e^{−iπm}}{2} [\frac{1}{n + \sqrt{n^{2} − 1}} + n + \sqrt{n^{2} − 1}] = (−1)^{m}n .

Somit cos πA = ℤ, und da cos πℤ = {±1}, folgt 1 + cos π(cos πA) = {0, 2}. Die Länge eines Rechtecks in A ist 1 und die Höhe

\frac{1}{π} log(n+1 + \sqrt{(n+1)^{2} − 1}) − \frac{1}{π} log(n + \sqrt{n^{2} − 1}) = \frac{1}{π} log \frac{1 + \frac{1}{n} + \sqrt{1 + \frac{2}{n}}}{1 + \sqrt{1 − \frac{1}{n^{2}}}}

≤ \frac{1}{π} log ( 1 + \frac{1}{n} + \sqrt{1 + \frac{2}{n}} ) ≤ \frac{1}{π} log(2 + \sqrt{3}) < 1 .

Die Diagonale eines jeden Rechtecks ist also < \sqrt{2}.

Folgerung. |g′(z)| ≤ \frac{1}{L · d(z, ∂G)}, wobei L die Landau–Konstante ist.

Beweis. Ist r < d(z, ∂G), so ist \overline{D}_{r}(z) ⊂ G und g(D_{r}(z)) ⊂ g(G) enthält eine Kreisscheibe vom Radius rL|g′(z)| < 1 .

Damit folgt der kleine Satz von Picard, eine Verschärfung von Liouville.

Satz 3.8 (Picard I). Jede nicht–konstante ganze Funktion läßt höchstens einen Wert aus.

Beweis. Sind a ≠ b Werte in ℂ und h : ℂ → ℂ \ \{a, b\}, so läßt f(z) = \frac{h(z) − a}{b − a}

die Werte 0 und 1 aus. Somit gibt es g ∈ O(ℂ) mit f = \frac{1}{2}[1 + cos π(cos πg)], wobei g(ℂ) keine Kreisscheibe vom Radius 1 enthält. Wäre g nicht konstant, müßte das Bild jedoch beliebig große (schlichte) Kreisscheiben enthalten.

Für nicht–konstante Polynome ist das Bild wieder ℂ. Die Exponentialfunktion läßt den Wert 0 aus. Ist h ∈ M(ℂ) eine meromorphe Funktion in ℂ, die drei verschiedene Werte

a, b, c ∈ ℂ ausläßt, so ist h konstant. Denn f(z) = \frac{1}{h(z) − a} ∈ O(ℂ) ist eine

ganze Funktion, die die Werte \frac{1}{b − a} und \frac{1}{c − a} ausläßt.

Die meromorphe Funktion f(z) = \frac{1}{1 + e^{z}} hat die Polstellen \{iπ(2m+1) : m ∈ ℤ\}

(die Nullstellen von 1/f sind einfach) und f läßt die Werte 0 und 1 aus.

Satz 3.9. Sei β < L. Ist f : \overline{𝔻} → ℂ \ \{0, 1\} holomorph, so gibt es g ∈ O(\overline{𝔻}) mit

(i) f = \frac{1}{2}[1 + cos π(cos πg)] und |g(0)| ≤ 3 + 2|f(0)|;

(ii) |g(z)| ≤ |g(0)| + \frac{r}{β(1 − r)} für alle |z| ≤ r und r < 1.

Beweis. Da cos 2a − cos 2b = −2 sin(a + b) sin(a − b), folgt aus cos a = cos b, daß b = ±a + 2πm mit m ∈ ℤ. Ist z = x + iy und

w = cos πz = cos πx cosh πy − i sin πx sinh πy .

so gilt |w|^{2} = (cosh^{2} πy−sinh^{2} πy) cos^{2} πx+sinh^{2} πy = cos^{2} πx+sinh^{2} πy. Wegen π^{2}y^{2} ≤ sinh^{2} πy folgt π^{2}y^{2} ≤ |w|^{2}. Wenn |x| ≤ 1, dann gilt

|z| = \sqrt{x^{2} + y^{2}} ≤ \sqrt{1 + |w|^{2}/π^{2}} ≤ 1 + |w|/π ≤ 1 + |w| .

Nun kann man zu w ∈ ℂ immer z so wählen, daß |xπ| ≤ π und cos πz = w.

(i) Sei b ∈ ℂ so, daß cos πb = 2f(0)−1 und |b| ≤ 1+|2f(0)−1| ≤ 2+2|f(0)|, und sei a ∈ ℂ so, daß cos πa = b und |a| ≤ 1 + |b| ≤ 3 + 2|f(0)|. Wie in Lemma 3.6 gibt es F̃ ∈ O(\overline{𝔻}) mit cos πF̃ = 2f − 1. Wähle F = ±F̃ + 2m mit F (0) = b. Ebenso wähle g ∈ O(\overline{𝔻}) so, daß cos πg = F und g(0) = a.

(ii) Da d(z, ∂𝔻) ≥ 1 − r für |z| ≤ r, gilt dort |g′(z)| ≤ \frac{1}{β(1 − r)} und somit

|g(z) − g(0)| = | ∫_{[0,z]} g′(ζ) dζ| ≤ \frac{r}{β(1 − r)} für |z| ≤ r.

Satz 3.10 (Schottky). Zu jedem α > 0 und r < 1 gibt es eine Schranke M(α, r), so daß für jede holomorphe Funktion f : \overline{𝔻} → ℂ \ \{0, 1\} mit |f(0)| ≤ α gilt

|f(z)| ≤ M(α, r) für alle |z| ≤ r .

Beweis. Sei β < L und

M(α, r) = exp [π exp π(3 + 2α + \frac{r}{β(1 − r)})] .

Da |1 + cos w| ≤ 2e^{|w|} und | cos v| ≤ e^{|v|}, folgt für |z| ≤ r

|f(z)| = \frac{1}{2}|1 + cos π(cos πg(z))| ≤ exp(π|cos πg(z)|) ≤ exp(π exp π|g(z)|)

≤ exp[π exp π(3 + 2|f(0)| + \frac{r}{β(1 − r)})] ≤ M(α, r) .

§ Normale Familien

Sei G ⊂ ℂ ein Gebiet und Y ein vollständiger metrischer Raum. Eine Folge von Funktionen f_{n} : G → Y konvergiert lokal gleichmäßig gegen f : G → Y, wenn d_{Y} (f_{n}(z), f(z)) → 0 lokal gleichmäßig, d.h. wenn es zu jedem z ∈ G eine Umgebung U gibt, so daß sup_{z∈U} d_{Y} (f_{n}(z), f(z)) → 0. Dies ist äquivalent dazu, daß sup_{z∈K} d_{Y} (f_{n}(z), f(z)) → 0 für jede kompakte Teilmenge K ⊂ G. Sei K_{j} ⊂⊂ G, K_{j} ⊂ K̊_{j+1}, ⋃_{j=1}^{∞} K_{j} = G, eine Ausschöpfung mit kompakten Teilmengen. Auf R = {f : G → Y } definiere die Metrik

ρ(f, g) = ∑_{j=1}^{∞} 2^{−j} \frac{ρ_{j}(f, g)}{1 + ρ_{j}(f, g)} , ρ_{j}(f, g) = sup_{z∈K_{j}} d_{Y} (f(z), g(z)) .

Dann gilt ρ(f_{n}, f) → 0 ⟺ d_{Y} (f_{n}(z), f(z)) → 0 bzw. f_{n} → f lokal gleichmäßig. Es gilt: Wenn f_{n} ∈ C^{0}(G, Y) und ρ(f_{n}, f) → 0, dann f ∈ C^{0}(G, Y). ⇝ C^{0}(G, Y) ist bzgl. ρ ein vollständiger metrischer Raum (⇝ Frechét–Raum).

Definition. Eine Familie F ⊂ R heißt normal, wenn jede Folge f_{n} ∈ F eine Teilfolge besitzt, die lokal gleichmäßig konvergiert (in R).

Die Grenzfunktion muß nicht zu F gehören. Ein metrischer Raum ist kompakt genau dann, wenn er folgenkompakt ist. Somit ist F normal genau dann, wenn F relativ kompakt ist im metrischen Raum (R, ρ). F heißt lokal normal, wenn es zu jedem z ∈ G eine Umgebung U gibt, so daß F|_{U} = {f|_{U} : f ∈ F} normal ist in U.

Definition. Eine Familie F ⊂ R heißt gleichgradig stetig in z_{0} ∈ G, wenn ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : |z − z_{0}| < δ ⇒ d_{Y} (f(z), f(z_{0})) < ε für alle f ∈ F. F ist gleichgradig stetig in U, wenn ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : z, w ∈ U, |z − w| < δ ⇒ d_{Y} (f(z), f(w)) < ε für alle f ∈ F.

F ist lokal gleichgradig stetig, wenn es zu jedem z ∈ G eine Umgebung U gibt, so daß F gleichgradig stetig in U ist. Lokal gleichgradige Stetigkeit ist äquivalent zur gleichgradigen Stetigkeit auf kompakten Teilmengen. Es gilt: F gleichgradig stetig in jedem Punkt von G ⇒ F lokal gleichgradig stetig in G.

Satz (Ascoli). Eine Familie stetiger Funktionen F ⊂ C^{0}(G, Y) ist normal ⟺

(i) die Fasern F_{z} = {f(z) : f ∈ F} ⊂ Y sind relativ kompakt, und

(ii) F ist lokal gleichgradig stetig in G.

Damit ist F normal in G, wenn F lokal normal ist.

\underline{Y = ℂ}: Satz (Weierstraß I). f_{n} ∈ O(G) und f_{n} → f, f : G → ℂ, lokal gleichmäßig ⇒ f ∈ O(G) und f_{n}^{(k)} → f^{(k)} lokal gleichmäßig. O(G) ⊂ C^{0}(G, ℂ) ist ein vollständiger metrischer Raum. Normale Familien F ⊂ O(G) nennt man auch endlich–normal. Eine Familie F mit Werten in ℂ ist lokal beschränkt, wenn jedes z ∈ G eine Umgebung U besitzt und ein M < ∞, so daß |f|_{U} ≤ M für alle f ∈ F. Lemma 3.11. F ⊂ O(G) lokal beschränkt ⇒ F lokal gleichgradig stetig. Beweis. Sei D := D_{r}(a) ⊂⊂ G eine Kreisscheibe und |f|\overline{D} ≤ M für alle f ∈ F. Dann gilt für z ∈ D_{r/2}(a) und f ∈ F

|f′(z)| = |\frac{1}{2πi} ∫_{∂D} \frac{f(ζ)}{(ζ − z)^{2}} dζ| ≤ r\frac{M}{(r/2)^{2}} = \frac{4M}{r} .

Daher ist auch \{f′ : f ∈ F\} lokal beschränkt. Da für z, w ∈ K := \overline{D}_{r/2}(a)

|f(w) − f(z)| = | ∫_{[z,w]} f′(ζ) dζ| ≤ |w − z| · max_{ζ∈K} |f′(ζ)| ≤ \frac{4M}{r} |w − z|

gilt, ist F lokal gleichgradig (Lipschitz–)stetig. Satz 3.12 (Montel I). F ⊂ O(G) lokal beschränkt ⇒ F (endlich–)normal. Umgekehrt gilt: F ⊂ C^{0}(G, ℂ) normal ⇒ F lokal beschränkt. Beispiel. Die Familie S ist normal, da nach dem Koebeschen Verzerrungssatz

f ∈ S ⇒ |f(z)| ≤ \frac{|z|}{(1 − |z|)^{2}} in 𝔻 .

S ist sogar kompakt, da die Grenzfunktion wieder schlicht ist und die Normierung f(0) = 0, f′(0) = 1 hat. Satz 3.13 (Vitali). Sei G ein Gebiet und f_{n} ∈ O(G) eine Folge holomorpher Funktionen, die lokal beschränkt ist. Weiter habe die Menge

A = {w ∈ G : lim f_{n}(w) existiert in ℂ }

einen Häufungspunkt in G. Dann konvergiert die Folge (f_{n}) lokal gleichmäßig.

\underline{Y = ℂ̂}:

Ist f ∈ M(G) meromorph in G, so ist f ∈ C^{0}(G, ℂ̂) eine holomorphe Abbildung von G nach ℂ̂. Die Konvergenz in C^{0}(G, ℂ̂) ist dann die lokal gleichmäßige Konvergenz bzgl. der chordalen Metrik dℂ̂(z, w) = \frac{2|z−w|}{\sqrt{1+|z|^{2}}·\sqrt{1+|w|^{2}}} .

Satz (Weierstraß II). f_{n} ∈ M(G) und f_{n} → f, f : G → ℂ̂, lokal gleichmäßig ⇒ f ∈ M(G) oder f ≡ ∞. Zusatz: Sind f_{n} ∈ O(G) ⊂ C^{0}(G, ℂ̂), so ist f ∈ O(G) oder f ≡ ∞.

Die sphärische Ableitung einer meromorphen Funktion f : G → ℂ̂ ist

f^{♯}(z) = \frac{2|f′(z)|}{1 + |f(z)|^{2}} = lim_{w→z} \frac{dℂ̂(f(w), f(z))}{|w − z|} .

Für f ∈ M(G) ist f^{♯} ∈ C^{0}(G, ℝ).

Satz 3.14 (Marty). Sei F ⊂ M(G). F normal ⟺ {f^{♯}} lokal beschränkt.

Satz 3.15 (Montel II). Sei G ein Gebiet. Dann ist die Familie

F = { f ∈ M(G) | f : G → ℂ \ {0, 1} } ⊂ C^{0}(G, ℂ̂)

der holomorphen Funktionen, die die Werte 0 und 1 auslassen, normal.

Beweis. Sei D = D_{R}(z_{0}) ⊂⊂ G eine Kreisscheibe und f_{n} ∈ F|_{D}.

1. Fall: f_{n}(z_{0}) ist beschränkt, d.h. |f_{n}(z_{0})| ≤ α. Dann folgt mit Schottky: |f_{n}(z_{0} + Rζ)| ≤ M(α, r), |ζ| ≤ r < 1. Somit ist (f_{n}) lokal beschränkt in D (und da \overline{D} ⊂ G, ist (f_{n}) beschränkt in D). Also ist (f_{n}) endlich-normal und es gibt eine Teilfolge f_{n_{k}} → f ∈ O(D) lokal gleichmäßig.

2. Fall: f_{n}(z_{0}) unbeschränkt, o.E. f_{n}(z_{0}) → ∞. Nun ist g_{n} = 1/f_{n} ∈ F|_{D}, wobei die g_{n} nullstellenfrei sind und g_{n}(z_{0}) → 0. Mit dem 1. Fall folgt g_{n_{k}} → g lokal gleichmäßig. Nach Hurwitz ist g nullstellenfrei oder konstant 0. Wegen g(z_{0}) = 0 folgt g ≡ 0, d.h. f_{n_{k}} → ∞ lokal gleichmäßig. F ist also lokal normal. Mit Ascoli folgt, daß F lokal gleichgradig stetig in G ist, also auch normal in G bzw. C^{0}(G, ℂ̂).

Folgerung. F = { f : G → ℂ̂ \ {a, b, c} meromorph } ist normal.

Damit folgt der große Satz von Picard.

Satz 3.16 (Picard II). Eine holomorphe Funktion nimmt in jeder Umgebung einer isolierten wesentlichen Singularität jeden Wert in ℂ – mit höchstens einer Ausnahme – unendlich oft an.

Beweis. O.E. sei U = {0 < |z| < 2R}, und f ∈ O(U) habe in 0 eine isolierte Singularität. Es soll angenommen werden, daß f die Werte a = 0 und b = 1 nur endlich oft annimmt, und wenn R klein genug ist, daß f : U → ℂ \ {0, 1}. Betrachte f_{n}(z) = f(z/n), f_{n} : U → ℂ\{0, 1}. Dann ist {f_{n}} normal in C^{0}(U, ℂ̂), es gibt also eine Teilfolge f_{n_{k}} → g, so daß entweder g ∈ O(U) oder g ≡ ∞. Ist g holomorph, so ist (f_{n_{k}}) lokal beschränkt in U, somit |f_{n_{k}}(z)| ≤ M auf der kompakten Menge |z| = R. Dies bedeutet aber |f(z)| ≤ M auf |z| = R/n_{k}. Das Maximumprinzip ergibt |f(z)| ≤ M für R/n_{k} ≤ |z| ≤ R/n_{1}, somit also in 0 < |z| ≤ R/n_{1}, und z = 0 ist eine hebbare Singularität. Ist g = ∞ und 1/f_{n_{k}} → 0, so folgt, daß f (höchstens) eine Polstelle in 0 hat.

Zum Beispiel nimmt f(z) = c + e^{1/z} nur den Wert c nicht an. Der große Satz von Picard ist eine Verschärfung von Casorati–Weierstraß. Satz 3.17 (Casorati–Weierstraß). Sei f : U\{z_{0}} → ℂ holomorph. Eine isolierte Singularität z_{0} von f ist genau dann wesentlich, wenn es zu jedem Wert w_{0} ∈ ℂ eine Folge z_{n} → z_{0} gibt, so daß f(z_{n}) → w_{0}. D.h. das Bild jeder punktierten Umgebung von z_{0} liegt dicht in ℂ (und ist offen).

Universelle Überlagerungen. Sei X ⊂ ℂ̂ ein Gebiet oder allgemeiner eine Riemannsche Fläche. Die universelle Überlagerung von X ist eine einfach zusammenhängende Menge X̃ zusammen mit einer Abbildung p : X̃ → X, für die gilt: Jedes z ∈ X besitzt eine Umgebung U, so daß jede Komponente von p^{−1}(U) durch p konform auf U abgebildet wird. Die universelle Überlagerung von X existiert und ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Eine Riemannsche Fläche hat als universelle Überlagerung ℂ̂, ℂ oder 𝔻. Dies sind bis auf Isomorphie die einfach zusammenhängenden Riemannschen Flächen. Ist U einfach zusammenhängend und f : U → X holomorph, so existiert eine Liftung f̂: U → X̃, d.h. f̂ ist holomorph und p ∘ f̂ = f. Ist ℂ̂ die universelle Überlagerung, so ist X zu ℂ̂ isomorph (=biholomorph). ℂ \ {0} hat exp : ℂ → ℂ \ {0} als universelle Überlagerung. Ebenso haben ℂ und alle Tori ℂ/Γ die Ebene als universelle Überlagerung. Alle anderen Flächen haben 𝔻 als universelle Überlagerung (⇝ hyperbolisch). Die universelle Überlagerung von X = ℂ̂ \ {0, 1, ∞} = ℂ \ {0, 1} erhält man durch die Modulfunktion λ : ℍ → ℂ \ {0, 1}.

Kleiner Satz von Picard: Ist f : ℂ → ℂ \ {0, 1} holomorph, so ist die Liftung f̂: ℂ → 𝔻 nach Liouville konstant und somit auch f = p ∘ f̂.

Montel II: Sei F = {f : G → ℂ\{0, 1} holomorph }. Da Normalität eine lokale Eigenschaft ist, kann man annehmen, daß G = D eine Kreisscheibe ist. Da D einfach zusammenhängend ist, gibt es zu f ∈ F Liftungen f̂ : D → 𝔻. Die Familie {f̂: p ∘ f̂ ∈ F} ist normal. Daraus folgt, daß auch F normal ist.

4. Runge–Theorie Ist Ω ein beschränktes Gebiet mit C^{1}–Rand und ω = a dz ∈ C_{1,0}^{1}(\overline{Ω}) eine stetig differenzierbare (1, 0)–Form, dann ist dω = \frac{∂a}{∂\overline{z}} d\overline{z} ∧ dz = \overline{∂}ω und mit Stokes ∫_{∂Ω} ω = ∫_{Ω} \overline{∂}ω. Schreibweise: \frac{∂f}{∂\overline{z}} = f\overline{z}. Lemma 4.1 (Inhomogene Cauchy–Formel). Sei Ω ⊂⊂ ℂ ein beschränktes Gebiet mit C^{1}–Rand und f ∈ C^{1}(\overline{Ω}). Dann gilt

f(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{∂Ω} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ + \frac{1}{2πi} ∫_{Ω} \frac{f\overline{ζ}(ζ)}{ζ − z} dζ ∧ d\overline{ζ} .

Beweis. Sei z ∈ Ω und ε > 0 so, daß D_{ε}(z) ⊂⊂ Ω, und Ω_{ε} = Ω \ \overline{D}_{ε}(z). Dann ist ω = \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ ∈ C_{1,0}^{1}(\overline{Ω}_{ε}) und es gilt (mit Orientierung ∂Ω_{ε} = ∂Ω − ∂D_{ε}(z))

∫_{Ω_{ε}} \overline{∂}ω = ∫_{∂Ω_{ε}} ω = ∫_{∂Ω} ω − ∫_{∂D_{ε}(z)}ω = ∫_{∂Ω} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ − ∫_{0}^{2π} \frac{f(z + εe^{it})}{εe^{it}} iεe^{it} dt .

\overline{∂}ω ist integrierbar in D_{ε}(z) (Polarkoordinaten) und es gilt

∫_{Ω_{ε}} \overline{∂}ω ⟶^{ε→0} ∫_{Ω} \overline{∂}ω = ∫_{Ω} \frac{f\overline{ζ}(ζ)}{ζ − z} d\overline{ζ} ∧ dζ .

Zudem gilt für den Mittelwert

i ∫_{0}^{2π}f(z + εe^{it}) dt ⟶^{ε→0} 2πif(z) ,

denn f ist stetig und

\begin{aligned}| ∫_{0}^{2π}f(z + εe^{it}) dt − 2πf(z)| & = | ∫_{0}^{2π}(f(z + εe^{it}) − f(z)) dt| \\ & ≤ 2π · max_{t∈[0,2π]} |f(z + εe^{it}) − f(z)| ⟶ 0 (ε → 0) . \end{aligned}

Der Träger von f ist supp f = \overline{\{z : f(z) ≠ 0\}}, und

C_{c}^{r}(Ω) = {f ∈ C^{r}(Ω) : supp f ⊂⊂ Ω}

bezeichnet die C^{r}–Funktionen mit kompaktem Träger.

Lemma 4.2. Sei f ∈ C_{c}^{1}(ℂ) stetig differenzierbar mit kompaktem Träger. Dann

gibt es eine stetig differenzierbare Funktion u ∈ C^{1}(ℂ) mit \frac{∂u}{∂\overline{z}} = f .

Beweis. Mit ζ = z +re^{iφ} ist \frac{f(ζ)}{ζ−z} dζ ∧d\overline{ζ} = −2if(z +re^{iφ})e^{−iφ} dr∧dφ integrierbar in einer Umgebung der Singularität z und hat zudem kompakten Träger. Setze

u(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{ℂ} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ ∧ d\overline{ζ} = −\frac{1}{π} ∫_{ℝ_{0}^{+}×[0,2π)}f(z + re^{iφ})e^{−iφ} dr ∧ dφ .

Dann ist u stetig differenzierbar und es gilt

\frac{∂u}{∂\overline{z}} = \frac{1}{2πi} \frac{∂}{∂\overline{z}} ∫_{ℂ} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ ∧ d\overline{ζ} = −\frac{1}{π} \frac{∂}{∂\overline{z}} ∫_{ℝ_{0}^{+}×[0,2π)}f(z + re^{iφ})e^{−iφ} dr ∧ dφ

= −\frac{1}{π} ∫_{ℝ_{0}^{+}×[0,2π)}\frac{∂}{∂\overline{z}}f(z + re^{iφ})e^{−iφ} dr ∧ dφ = \frac{1}{2πi} ∫_{ℂ} \frac{\frac{∂}{∂\overline{ζ}} f(ζ)}{ζ − z} dζ ∧ d\overline{ζ}

= \frac{1}{2πi} ∫_{D_{R}} \frac{f\overline{ζ}(ζ)}{ζ − z} dζ ∧ d\overline{ζ} (kompakter Träger) .

Mit der inhomogenen Cauchy–Formel und f|_{∂D_{R}} = 0 folgt

\frac{∂u}{∂\overline{z}} = \frac{1}{2πi} ∫_{D_{R}} \frac{f\overline{ζ}(ζ)}{ζ − z} dζ ∧ d\overline{ζ} = f(z) − \overbrace{\frac{1}{2πi} ∫_{∂D_{R}} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ}^{=0} = f(z) .

Ist v eine weitere Lösung, so gilt

\frac{∂}{∂\overline{z}} (u − v) = f − f = 0 ,

d.h. v = u + h, wobei h holomorph ist. Somit ist auch v ∈ C^{1}. Durch Induktion folgt f ∈ C_{c}^{r} ⇒ u ∈ C^{r}. Man kann zeigen, daß u ∈ C^{r+1−ε} für jedes ε > 0.

Sei Ω ⊂ ℂ ein Gebiet. Ist u ∈ C^{∞}(Ω) und \overline{∂}u = g = f d\overline{z} ∈ C_{0,1}^{∞}(Ω) , also f ∈ C^{∞}(Ω), so ist f = \frac{∂u}{∂\overline{z}}. Allgemein gilt \overline{∂} ∘ \overline{∂} = 0. Damit also g = \overline{∂}u, muß \overline{∂}g = 0. Da d\overline{z} ∧ d\overline{z} = 0, gilt jedoch immer: Ist g ∈ C_{0,1}^{∞}(Ω), so ist \overline{∂}g = 0, also g ∈ Ker\{\overline{∂} : C_{0,1}^{∞}(Ω) → C_{0,2}^{∞}(Ω)\}. Definiere die Dolbeault–Kohomologiegruppen

H0 ; \overline{∂}(Ω) = Ker\{\overline{∂} : C^{∞}(Ω) → C_{0,1}^{∞}(Ω)\} = O(Ω) ,
H1 ; \overline{∂}(Ω) = \frac{Ker\{\overline{∂} : C_{0,1}^{∞}(Ω) → C_{0,2}^{∞}(Ω)\}}{\overline{∂}C^{∞}(Ω)} = \frac{C_{0,1}^{∞}(Ω)}{\overline{∂}C^{∞}(Ω)} .

Lemma 4.3 (Dolbeault–Lemma). Seien 0 < R ≤ ∞ und D = {|z| < R}.

Dann gibt es zu f ∈ C^{r}(D) auch u ∈ C^{r}(D) mit \frac{∂u}{∂\overline{z}} = f , d.h. H1 ; \overline{∂}(D) = 0.

Beweis. Seien R_{1} < R_{2} < … < R_{n} ⟶ R und D_{n} = {|z| < R_{n}}. Dann gibt es χ_{n} ∈ C_{c}^{∞}(D) mit supp χ_{n} ⊂ D_{n+1} und χ_{n}|_{D_{n}} ≡ 1. Somit existieren u_{n} ∈ C^{r}(ℂ)

mit \frac{∂u_{n}}{∂\overline{z}} = χ_{n}f. Konstruiere nun ũ_{n} so, daß

(i) \frac{∂ũ_{n}}{∂\overline{z}} = f in D_{n} , (ii) |ũ_{n+1} − ũ_{n}|_{D_{n−1}} ≤ 2^{−n} .

Setze ũ_{1} = u_{1}. Seien ũ_{1}, …, ũ_{n} konstruiert. Da \frac{∂}{∂\overline{z}}(u_{n+1} − ũ_{n}) = 0 in D_{n}, ist u_{n+1} − ũ_{n} holomorph in D_{n} und hat dort eine Taylorentwicklung, die in D_{n−1} gleichmäßig konvergiert. Sei P ∈ O(ℂ) das Taylorpolynom, so daß

|u_{n+1} − ũ_{n} − P |_{D_{n−1}} ≤ 2^{−n}

gilt, und setze ũ_{n+1} = u_{n+1} − P ∈ C^{r}(ℂ), ⇝ (ii). Weiter gilt in D_{n+1}:

\frac{∂ũ_{n+1}}{∂\overline{z}} = \frac{∂u_{n+1}}{∂\overline{z}} − \frac{∂P}{∂\overline{z}} = \frac{∂u_{n+1}}{∂\overline{z}} = χ_{n+1}f = f ⇝ (i) .

Setze

u(z) = lim_{n→∞} ũ_{n}(z) = ũ_{n}(z) + ∑_{k=n}^{∞} (ũ_{k+1}(z) − ũ_{k}(z)) .

Ist z ∈ D, so ist z ∈ D_{n} für ein n ∈ ℕ. In D_{n} ist ũ_{k+1} − ũ_{k} holomorph für k ≥ n, und wegen |ũ_{k+2} − ũ_{k+1}|_{D_{n}} ≤ 2^{−(k+1)} konvergiert die Reihe

F_{n} = ∑_{k=n}^{∞} (ũ_{k+1} − ũ_{k})

gleichmäßig in D_{n} gegen eine holomorphe Funktion F_{n} ∈ O(D_{n}). Somit ist u = ũ_{n} + F_{n} ∈ C^{r}(D_{n}) für alle n ∈ ℕ, also auch u ∈ C^{r}(D). Weiter gilt

\frac{∂u}{∂\overline{z}} = \frac{∂ũ_{n}}{∂\overline{z}} = f in D_{n} , somit \frac{∂u}{∂\overline{z}} = f in D .

Eine 1–Kette ist eine Linearkombination Γ = ∑_{j=1}^{N} n_{j}γ_{j} von Wegen und n_{j} ∈ ℤ. Der Rand eines Weges γ : [0, 1] → ℂ ist ∂γ = γ(1) − γ(0). Für geschlossene Wege gilt ∂γ = 0. Ein 1–Zyklus ist eine geschlossene 1–Kette, d.h. eine Kette Γ mit

∂Γ = ∑_{j=1}^{N} ∂γ_{j} = 0 .

Lemma 4.4. Sei U offen und K ⊂ U kompakt. Dann gibt es einen Zyklus Γ in U \ K mit

n(Γ, z) = \{ \begin{matrix}1 & , z ∈ K \\ 0 & , z ∈ ℂ \ U . \end{matrix}

Folgerung. Γ ist nullhomolog in U und für f ∈ O(U) gilt

f(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{Γ} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ ∀ z ∈ K .

Sei O(K) = {f holomorph in Umgebung von K}.

Satz 4.5. Sei K kompakt und f ∈ O(K). Dann gibt es zu ε > 0 eine rationale Funktion R ohne Pole in K, so daß |f − R|_{K} < ε.

Beweis. Sei U eine Umgebung von K, so daß f ∈ O(U), und Γ ⊂ U \ K ein Zyklus mit n(Γ, z) = 1 für z ∈ K, der nullhomolog in U ist. Dann gilt

f(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{Γ} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ = \frac{1}{2πi} ∑_{j=1}^{N} ∫_{γ_{j}} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ , z ∈ K .

Nun kann jedes

∫_{γ_{j}} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ = ∫_{0}^{1} \frac{f(γ_{j}(t))}{γ_{j}(t) − z} γ′_{j}(t) dt

durch Treppenfunktionen (⇝ rationale Funktionen)

h_{j}(z) = ∫_{0}^{1} \frac{ϕ(t)}{ψ(t) − z} η(t) dt = ∑_{μ=1}^{m}(t_{μ} − t_{μ−1})\frac{a_{μ}c_{μ}}{b_{μ} − z}

gleichmäßig auf K approximiert werden. (h_{j} hat nur einfache Pole.)

Alternativ: Unterteile Γ in endlich viele Wegstücke γ_{j}, so daß γ_{j} ⊂ D_{j} = D_{r_{j}}(c_{j}) mit d(c_{j}, K) > 2r_{j}. Dann sind

f_{j}(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{γ_{j}} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ holomorph in ℂ \ γ_{j}

und f_{j}(z) → 0 für z → ∞. Daher hat f_{j} in ℂ \ \overline{D}_{j} eine Laurententwicklung (Nebenteil hat Konvergenzradius ∞ und f_{j}(∞) = 0 ⇝ Nebenteil verschwindet)

f_{j}(z) = ∑_{ν=1}^{∞} \frac{a_{−ν}}{(z − c_{j})^{ν}} ,

die gleichmäßig auf K konvergiert.

Lemma 4.6 (Polverschiebung). Sei K kompakt und seien a, b ∈ ℂ̂ \ K = V, a ≠ ∞, Punkte, die in V durch einen Weg γ verbindbar sind. Dann gibt es zu ε > 0 eine rationale Funktion R mit einzigem Pol in b, so daß

|\frac{1}{z − a} − R(z)| < ε ∀ z ∈ K .

Beweis. Sei zunächst b ≠ ∞. Da d(γ, K) > 0, gibt es eine Kreiskette D_{1}, …, D_{n}, D_{j} = D_{r}(a_{j}), a_{j} ∈ γ, a_{0} = a, a_{n} = b, so daß a_{j−1} ∈ D_{j}, D_{2r}(a_{j}) ∩ K = ∅.

\frac{1}{z − a_{0}} hat in ℂ̂\\overline{D}_{1} eine Laurententwicklung, die auf K gleichmäßig konvergiert:

\frac{1}{z − a_{0}} = ∑_{ν=1}^{∞} \frac{b_{ν}^{(1)}}{(z − a_{1})^{ν}} , |\frac{1}{z − a_{0}} − ∑_{ν=1}^{m_{1}} \frac{b_{ν}^{(1)}}{(z − a_{1})^{ν}} | < ε/n ∀ z ∈ K .

h_{1}(z) = ∑_{ν=1}^{m_{1}} \frac{b_{ν}^{(1)}}{(z − a_{1})^{ν}} hat als einzigen Pol a_{1} und kann wiederum in ℂ̂\\overline{D}_{2} in eine

Laurentreihe mit Pol in a_{2} entwickelt werden. Man erhält wieder eine rationale Funktion

h_{2}(z) = ∑_{ν=1}^{m_{2}} \frac{b_{ν}^{(2)}}{(z − a_{2})^{ν}} mit |h_{1}(z) − h_{2}(z)| < ε/n ∀ z ∈ K .

Nach n Schritten erhält man eine rationale Funktion h_{n} mit einzigem Pol in a_{n} = b und

|\frac{1}{z − a} − h_{n}(z)| ≤ |\frac{1}{z − a} − h_{1}(z)| + … + |h_{n−1}(z) − h_{n}(z)| < ε ∀ z ∈ K .

Ist b = ∞, wähle b_{0} auf γ so, daß K ⊂ \{|z| < \frac{1}{2}|b_{0}|\}. Dann gibt es eine rationale Funktion h_{0} mit einzigem Pol in b_{0} und |\frac{1}{z−a} − h_{0}(z)| < ε/2 für alle z ∈ K. Nun hat h_{0} eine Taylorentwicklung in einer Kreisscheibe, die K enthält. Somit gibt es ein Taylorpolynom p mit |h_{0} − p|_{K} < ε/2. Bemerkung: Man kann auch 1/(z − a)^{ν} approximieren.

Lemma 4.7. Sei U offen, K ⊂ U kompakt und V eine Komponente von U \ K, für die \overline{V} ⊄ U gilt. Dann gibt es zu a ∈ V einen Weg γ von a zu einem Punkt b ∈ ∂U, der bis auf den Endpunkt in V verläuft.

Beweis. Sei b_{1} ∈ \overline{V} \ U. Da δ = d(K, ∂U) > 0, gilt D_{δ/2}(b_{1}) ∩ K = ∅, jedoch D_{δ/2}(b_{1})∩V ≠ ∅. Wähle b_{2} ∈ D_{δ/2}(b_{1})∩V. Sei δ_{1} = sup_{r} D_{r}(b_{2}) ⊂ V = d(b_{2}, ∂V). Dann ist δ_{1} ≤ δ/2 und es gibt b ∈ ∂D_{δ_{1}}(b_{2}) ∩ ∂V. Weiter folgt

|b − b_{1}| ≤ |b − b_{2}| + |b_{2} − b_{1}| < δ ⇒ b ∉ K ⇒ b ∈ ∂U .

Verbinde a mit b_{2} in V und b_{2} mit b durch [b_{2}, b) ⊂ D_{δ_{1}}(b_{2}) ⊂ V.

Satz 4.8 (Runge I). Sei U offen und K ⊂ U kompakt. Keine Komponente von U \ K liege relativ kompakt in U. Dann ist jedes f ∈ O(K) gleichmäßig auf K approximierbar durch rationale Funktionen mit Polen außerhalb U.

Beweis. Sei f ∈ O(K). Dann kann f durch rationale Funktionen mit einfachen Polen außerhalb K approximiert werden. Jede solche rationale Funktion ist Summe rationaler Funktionen c/(z − a). Es ist a ∉ K. Angenommen a ∈ U. Liegt a in einer unbeschränkten Komponente von U \K, so ist a dort mit Punkten beliebig großen Betrags verbindbar und 1/(z − a) kann auf K durch Polynome approximiert werden. Liegt a in einer beschränkten Komponente V von U \ K, so ist \overline{V} ⊄ U, da diese nicht relativ kompakt in U liegt. Somit ist a mit einem Punk b ∈ ∂U verbindbar und 1/(z − a) läßt sich durch rationale Funktionen, die nur einen Pol in b ∉ U haben, approximieren.

Definition. Sei U offen und K ⊂ U kompakt. Dann heißt

K̂_{U} = {z ∈ U : |f(z)| ≤ |f|_{K} ∀ f ∈ O(U)}

die holomorph konvexe Hülle von K in U. K heißt holomorph konvex in U oder U-konvex, wenn K = K̂_{U}. U heißt holomorph konvex, wenn gilt: K ⊂ U kompakt ⇒ K̂_{U} kompakt.

Satz 4.9. Sei U ⊂ ℂ offen und K ⊂ U kompakt. Dann gilt:

(i) K̂_{U} ist kompakt und d(K, ∂U) = d(K̂_{U}, ∂U) .

(ii) K̂_{U} = K ∪ ⋃_{j} C_{j}, wobei C_{j} die Komponenten von U \ K sind, die relativ kompakt in U liegen.

Aus (i) folgt: Offene Mengen in ℂ sind holomorph konvex.

Satz 4.10 (Runge II). Sei U offen und K ⊂ U kompakt. Dann sind äquivalent:

(i) K ist U-konvex, d.h. K = K̂_{U}.

(ii) Die Einschränkungsabbildung O(U) ⟶ O(K) hat dichtes Bild, d.h. jedes f ∈ O(K) kann gleichmäßig auf K durch f_{j} ∈ O(U) approximiert werden.

Lemma 4.11. Ist U offen, so gibt es eine Ausschöpfung mit kompakten Mengen K_{j} ⊂ U , K_{j} ⊂ K̊_{j+1} , ⋃_{j≥1} K_{j} = U , die U-konvex sind, K_{j} = K̂_{j}.

Proof. L_{j} = {|z| ≤ j} ∩ {d(z, ℂ \ U) ≥ 1/j} ⊂ U ist eine Ausschöpfung mit kompakten Teilmengen und L_{j} ⊂ L̊_{j+1}. Konstruiere K_{j} induktiv: Sei K_{1} := L̂_{1}. Sind K_{1}, …, K_{n} fertig, wähle L_{m} mit K_{n} ⊂ L̊_{m} und definiere K_{n+1} := L̂_{m}.

Satz 4.12 (Runge III). Ist U offen, so kann jedes f ∈ O(U) lokal gleichmäßig in U durch rationale Funktionen mit Polen außerhalb U approximiert werden.

Proof. Für K ⊂ U kompakt gilt K ⊂ K̂_{U} ⊂ U, somit |f_{n} − f|_{K} ≤ |f_{n} − f|K̂.

Satz 4.13. Ein Gebiet G ist einfach zusammenhängend genau dann, wenn jedes f ∈ O(G) lokal gleichmäßig in G durch Polynome approximiert werden kann.

Anstelle von einem Gebiet kann man auch allgemeiner eine offene Menge U nehmen, deren Zusammenhangskomponenten einfach zusammenhängend sind (d.h. ℂ̂ \ U ist zusammenhängend).

Proof. ⇒: Wegen K̂_{ℂ} ⊂ G folgt dies aus Satz 4.12 mit Polen in ℂ̂ \ ℂ = {∞}. ⇐: Sei z_{0} ∉ G, f(z) = 1/(z −z_{0}) und Γ ⊂ G ein Zyklus. Läßt sich f gleichmäßig auf Γ durch Polynome p_{n} approximieren, so gilt n(Γ, z_{0}) = \frac{1}{2πi} lim ∫_{Γ} p_{n} = 0 .

Satz 4.14 (Walsh). Sei G Jordangebiet. Dann kann jedes f ∈ O(G) ∩ C^{0}(\overline{G}) gleichmäßig in \overline{G} durch Polynome approximiert werden.

Der Rand ist also eine Jordankurve. Weiter folgt (siehe auch [Bu],[Ko])

Satz 4.15. Sei G Jordangebiet und f ∈ O(G) ∩ C^{0}(\overline{G}). Ist die Jordankurve ∂G ein Integrationsweg, so gilt die Cauchy–Formel

(i) ∫_{∂G} f(z) dz = 0 ; (ii) f(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{∂G} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ ∀ z ∈ G .

Satz 4.16 (Mergelyan [GK]). Sei U ⊂⊂ ℂ offen, so daß ℂ\U zusammenhängend ist. Dann kann jedes f ∈ O(U) ∩ C^{0}(\overline{U}) gleichmäßig auf \overline{U} durch Polynome approximiert werden.

Satz 4.17 (Inhomogene \overline{∂}–Gleichung). Sei G ein Gebiet und f ∈ C^{r}(G).

Dann gibt es u ∈ C^{r}(G) mit \frac{∂u}{∂\overline{z}} = f , d.h. H1 ; \overline{∂}(G) = 0.

Beweis. Sei K_{j} ⊂ K̊_{j+1} eine Ausschöpfung von G mit G-konvexen kompakten Mengen, K_{j} = K̂_{j}. Sei U_{n} ⊂⊂ K̊_{n+1} eine Umgebung von K_{n} und χ_{n} ∈ C_{c}^{∞}(G) mit supp χ_{n} ⊂ K̊_{n+1} und χ_{n}|_{U_{n}} ≡ 1. Dann gibt es u_{n} ∈ C^{r}(G) mit \frac{∂u_{n}}{∂\overline{z}} = χ_{n}f = f in U_{n}. Definiere wieder induktiv ũ_{n} ∈ C^{r}(G), so daß |ũ_{n+1} − ũ_{n}|_{K_{n}} ≤ 2^{−n} und \frac{∂ũ_{n}}{∂\overline{z}} = f in U_{n}: Da \frac{∂}{∂\overline{z}}(u_{n+1} − ũ_{n}) = 0 in U_{n}, also u_{n+1} − ũ_{n} ∈ O(K_{n}), gibt es h_{n} ∈ O(G), so daß |u_{n+1} − ũ_{n} − h_{n}|_{K_{n}} ≤ 2^{−n}. Setze ũ_{n+1} := u_{n+1} − h_{n}. Die Lösung liefert

u(z) = lim_{n→∞} ũ_{n}(z) = ũ_{n}(z) + ∑_{k=n}^{∞} (ũ_{k+1}(z) − ũ_{k}(z)) .

Čech–Kohomologie. Sei F = O, M, C, ℤ, ℂ. Sei X eine offene Menge und U = {U_{j}}_{j∈I} eine offene Überdeckung mit U_{j} ⊂ X. Definiere U_{ij} = U_{i} ∩ U_{j} und U_{ijk} = U_{i} ∩ U_{j} ∩ U_{k}. Weiter seien: C^{0}(U, F) die 0–Koketten: f ∈ C^{0}(U, F) ⇝ f = {f_{j}}_{j}, f_{j} ∈ F(U_{j}) ; C^{1}(U, F) die 1–Koketten: f ∈ C^{1}(U, F) ⇝ f = {f_{ij}}_{i,j}, f_{ij} ∈ F(U_{ij}) ; C^{2}(U, F) die 2–Koketten: f ∈ C^{2}(U, F) ⇝ f = {f_{ijk}}_{i,j,k}, f_{ijk} ∈ F(U_{ijk}) . D.h. C^{0}(U, F) = ∏_{j} F(U_{j}), C^{1}(U, F) = ∏_{i,j} F(U_{ij}), C^{2}(U, F) = ∏_{i,j,k} F(U_{ijk}).

Definiere die Korand-Operatoren

\begin{aligned}δ & : C^{0}(U, F) → C^{1}(U, F) , (δf)_{ij} = f_{j} − f_{i} ∈ F(U_{ij}) ; \\ δ & : C^{1}(U, F) → C^{2}(U, F) , (δf)_{ijk} = f_{jk} − f_{ik} + f_{ij} ∈ F(U_{ijk}) . \end{aligned}

Z^{0}(U, F) = Ker{δ : C^{0}(U, F) → C^{1}(U, F)} die 0–Kozykel; B^{0}(U, F) := 0. Ebenso definiere die 1–Kozykel Z^{1}(U, F) = Ker{δ : C^{1}(U, F) → C^{2}(U, F)} und 1–Koränder B^{1}(U, F) = Im{δ : C^{0}(U, F) → C^{1}(U, F)}. Ist {f_{ij}} ∈ Z^{1}(U, F), so folgt f_{jj} − f_{jj} + f_{jj} = f_{jj} = 0 für i = j = k in U_{j} und f_{ji} − f_{ii} + f_{ij} = f_{ji} + f_{ij} = 0 für k = i, d.h. f_{ij} = −f_{ji} in U_{ij}. Die Koketten, Kozykel und Koränder bilden jeweils Gruppen. Es gilt δ ∘ δ = 0. Damit sind die q-ten Kohomologiegruppen definiert

H^{q}(U, F) = \frac{Z^{q}(U, F)}{B^{q}(U, F)} , q = 0, 1 .

Somit ist H^{0}(U, F) = Z^{0}(U, F) unabhängig von der Überdeckung U und man schreibt F(X) = H^{0}(U, F) = H^{0}(X, F). Speziell sind H^{0}(U, O) = O(X) die (globalen) holomorphen Funktionen in X.

Cousin-I Problem. (Additives Cousin Problem) Sei G ein Gebiet mit offener Überdeckung U = {U_{j}} und m_{j} ∈ M(U_{j}) mit g_{ij} := m_{j} − m_{i} ∈ O(U_{i} ∩ U_{j}). Gibt es f ∈ M(G), so daß f − m_{j} ∈ O(U_{j})?

Allgemeiner formuliert: Sind g_{ij} : U_{i} ∩ U_{j} → ℂ holomorph, so daß g_{ij} = −g_{ji} und g_{ij} + g_{jk} + g_{ki} = 0 in U_{i} ∩ U_{j} ∩ U_{k}, finde holomorphe g_{j} : U_{j} → ℂ, so daß g_{ij} = g_{j} − g_{i} in U_{i} ∩ U_{j}. Oder: Wann ist {g_{ij}} ∈ Z^{1}(U, O) auch in B^{1}(U, O)?

Lemma 4.18. Sind m_{j} ∈ M(U_{j}), so daß m_{j} − m_{i} ∈ O(U_{i} ∩ U_{j}) , dann ∃ f ∈ M(G) : f|_{U_{j}} − m_{j} ∈ O(U_{j}) ⟺ ∃ h_{j} ∈ O(U_{j}) : m_{j} − m_{i} = h_{j} − h_{i}.

Beweis. Sei m_{j} ∈ M(U_{j}) und f ∈ M(G) mit h_{j} := f|_{U_{j}} − m_{j} ∈ O(U_{j}). Dann gilt m_{j} − m_{i} = h_{j} − h_{i} in U_{i} ∩ U_{j}, d.h. {m_{j} − m_{i}}_{ij} ∈ B^{1}(U, O). Umgekehrt ist m_{j} ∈ M(U_{j}) mit {m_{j}−m_{i}}_{ij} ∈ B^{1}(U, O), dann gibt es h_{j} ∈ O(U_{j}) mit m_{j} − m_{i} = h_{j} − h_{i} in U_{i} ∩ U_{j}. Dies bedeutet m_{j} − h_{j} = m_{i} − h_{i} in U_{i} ∩ U_{j} definiert eine globale meromorphe Funktion f ∈ M(G) mit f|_{U_{j}} − m_{j} ∈ O(U_{j}), d.h. f ist Lösung.

Satz 4.19. Sei G ein Gebiet und U = {U_{j}} eine lokal-endliche Überdeckung mit offenen Mengen U_{j} ⊂ G, G = ⋃_{j} U_{j}. Dann gilt H^{1}(U, O) = 0, denn H1 ; \overline{∂}(G) = 0. D.h. das Cousin-I Problem hat für Gebiete in ℂ immer eine Lösung.

Beweis. Eine Überdeckung U = {U_{j}} ist lokal-endlich, wenn jeder Punkt eine Umgebung besitzt, die nur endlich viele Mengen U_{j} der Überdeckung schneidet. Eine solche Überdeckung besitzt eine Zerlegung der Eins, d.h. C^{∞}–Funktionen χ_{j} : G → [0, ∞) mit supp χ_{j} ⊂ U_{j} und ∑_{j} χ_{j} = 1, wobei die Summe in jedem Punkt endlich ist. Aus χ_{j} ≥ 0 folgt χ_{j} ≤ 1. (Jede Überdeckung besitzt eine lokal-endliche Verfeinerung.) Sei nun {f_{ij}} ∈ Z^{1}(U, O) ein holomorpher Kozyklus, f_{ij} = f_{kj} − f_{ki}. Dann ist χ_{i}f_{ij} ∈ C^{∞}(U_{j}) und h_{j} = ∑_{i} χ_{i}f_{ij} ∈ C^{∞}(U_{j}) . In U_{i} ∩ U_{j} gilt

h_{j} − h_{i} = ∑_{k} χ_{k}(f_{kj} − f_{ki}) = ∑_{k} χ_{k}f_{ij} = f_{ij} , \frac{∂}{∂\overline{z}} (h_{j} − h_{i}) = \frac{∂}{∂\overline{z}} f_{ij} = 0 .

Somit definiert \frac{∂}{∂\overline{z}}h_{j} = v|_{U_{j}} eine globale Funktion v ∈ C^{∞}(G). Für diese gibt es u ∈ C^{∞}(G) mit \frac{∂u}{∂\overline{z}} = v. Setze g_{j} = h_{j} − u in U_{j}. Dann ist \frac{∂}{∂\overline{z}}g_{j} = 0, d.h. g_{j} ∈ O(U_{j}), und g_{j} − g_{i} = h_{j} − h_{i} = f_{ij} in U_{i} ∩ U_{j}.

Laurententwicklung. Ist f holomorph in {r < |z −c| < R} mit r ≥ 0, R ≤ ∞, dann ist f = h+g, wobei h ∈ O(ℂ\\overline{D}_{r}(c)) und g ∈ O(D_{R}(c)), mit der Aufteilung in

Hauptteil h(z) = ∑_{ν=1}^{∞} \frac{a_{−ν}}{(z − c)^{ν}} lokal gleichmäßig in ℂ \ \overline{D}_{r}(c) ,

Nebenteil g(z) = ∑_{μ=0}^{∞} a_{μ}(z − c)^{μ} lokal gleichmäßig in D_{R}(c) .

Hauptteilverteilung. Sei G ein Gebiet. Ist c ∈ G, so bezeichne h_{c}(z) =

∑_{ν=1}^{m} \frac{a_{−ν}}{(c − z)^{ν}} einen endlichen Hauptteil mit Entwicklungspunkt c, d.h. h_{c} ist

meromorph mit einer Polstelle in c, also ein Polynom in (c − z)^{−1}. Eine Hauptteilverteilung ist eine in G diskrete Menge P ⊂ G von Polstellen zusammen mit einer Menge von endlichen Hauptteilen H = {h_{c} : c ∈ P }. Eine Lösung zur Hauptteilverteilung ist eine meromorphe Funktion f ∈ M(G), so daß f ∈ O(G \ P) und in c ∈ P Polstellen mit Hauptteil h_{c} hat, d.h. f − h_{c} ist holomorph in c. Die Differenz zweier Lösungen ist eine holomorphe Funktion.

Sei U = {U_{j}} eine lokal-endliche offene Überdeckung von G durch abzählbar viele U_{j} ⊂⊂ G, so daß in jedem U_{j} höchstens ein c ∈ P liegt. (P ist abzählbar. Wähle U_{0} = G \ P und U_{j} Umgebung von c_{j} ∈ P mit U_{j} ∩ P = {c_{j}}.) Definiere m_{j} = h_{c}, falls c ∈ U_{j}, und m_{j} ≡ 0, falls U_{j} ∩ P = ∅.

Dann sind m_{j} ∈ M(U_{j}) meromorph, wobei m_{j} − m_{i} ∈ O(U_{i} ∩ U_{j}). Zudem ist g_{ij} := m_{j} − m_{i} ein holomorpher Kozyklus in Z^{1}(U, O), d.h. g_{jk} − g_{ik} + g_{ij} = 0 in U_{i}∩U_{j} ∩U_{k}. Dieser ist Korand einer meromorphen 0–Kokette, {g_{ij}} ∈ B^{1}(U, M). Eine Lösung der Hauptteilverteilung ist eine meromorphe Funktion f ∈ M(G), so daß f|_{U_{j}} − m_{j} ∈ O(U_{j}). Diese gibt es genau dann, wenn es eine holomorphe 0–Kokette h_{j} ∈ O(U_{j}) gibt, so daß g_{ij} = h_{j} − h_{i}, d.h. wenn {g_{ij}} ∈ B^{1}(U, O):

Satz 4.20 (Mittag–Leffler). Sei G ein Gebiet. Dann hat jede Hauptteilverteilung in G eine Lösung, denn H^{1}(U, O) = 0.

Beweis. Wegen B^{1}(U, O) = Z^{1}(U, O) gibt es immer eine Lösung.

Bemerkung. Eine Hauptteilverteilung entspricht also einer Überdeckung U = {U_{j}} zusammen mit meromorphen m_{j} ∈ M(U_{j}), so daß m_{j} − m_{i} ∈ O(U_{ij}). Eine Lösung f ∈ M(G), f − m_{j} ∈ O(U_{j}), gibt es genau dann, wenn der Kozyklus {m_{j} − m_{i}} ∈ Z^{1}(U, O) spaltet, d.h. Korand einer holomorphen Kokette ist. Ist die Hauptteilverteilung endlich, so kann man als Lösung die Hauptteile aufsummieren. Ist sie unendlich, benutzt man die Runge–Approximation, um die Reihe mit konvergenzerzeugenden holomorphen Summanden p_{c} zu modifizieren:

f = ∑_{c∈P}(h_{c} − p_{c}) .

Zum Cousin-I Problem gehört die exakte Sequenz

\xymatrix{0 \ar[r] & O \ar[r] & M \ar[r] & M/O \ar[r] & 0} .

Sei U eine offene Menge und ℂ^{∗} = ℂ \ {0}. Mit O^{∗}(U) bezeichnet man die holomorphen Funktionen f : U → ℂ^{∗}, die nirgends verschwinden (nullstellenfrei). Mit f ∈ O^{∗}(U) ist auch 1/f ∈ O^{∗}(U). M^{∗}(U) bezeichnet die meromorphen Funktionen, die in keiner Komponente von U identisch 0 sind. Wiederum ist mit f ∈ M^{∗}(U) auch 1/f ∈ M^{∗}(U).

Für O^{∗} und M^{∗} schreibt man die Gruppen der Koketten multiplikativ.

\begin{aligned}δ & : C^{0}(U, O^{∗}) → C^{1}(U, O^{∗}) , (δg)_{ij} = g_{j} · g_{i}^{−1} ∈ O^{∗}(U_{ij}) ; \\ δ & : C^{1}(U, O^{∗}) → C^{2}(U, O^{∗}) , (δg)_{ijk} = g_{jk} · g_{ik}^{−1} · g_{ij} ∈ O^{∗}(U_{ijk}) . \end{aligned}

Die 1–Kozykel sind

Z^{1}(U, O^{∗}) = Ker{δ : C^{1}(U, O^{∗}) → C^{2}(U, O^{∗})} = {g ∈ C^{1}(U, O^{∗}) : δg = 1} .

Der Kozyklus g_{ij} ist Korand, wenn es {c_{j}} ∈ C^{0}(U, O^{∗}) gibt mit g_{ij} = c_{j}/c_{i} in U_{i} ∩ U_{j}. Man definiert H^{1}(U, O^{∗}) = Z^{1}(U, O^{∗})/B^{1}(U, O^{∗}), d.h. zwei Kozykel g, h ∈ Z^{1}(U, O^{∗}) sind äquivalent, wenn es c ∈ C^{0}(U, O^{∗}) gibt mit g_{ij} = c_{i}^{−1}h_{ij}c_{j}. g ∈ Z^{1}(U, O^{∗}) definiert ein holomorphes Linienbündel. Zwei Linienbündel g, h sind isomorph genau dann, wenn [g] = [h] in H^{1}(U, O^{∗}). Die Kohomologiegruppe schreibt man wieder additiv, d.h. H^{1}(U, O^{∗}) = 0 ⟺ Z^{1}(U, O^{∗}) = B^{1}(U, O^{∗}).

Wie im additiven Fall kann man fragen, wann ein multiplikativer holomorpher 1–Kozyklus holomorpher 1–Korand ist:

Cousin-II Problem. (Multiplikatives Cousin Problem) Sei G ein Gebiet mit offener Überdeckung U = {U_{j}} und m_{j} ∈ M^{∗}(U_{j}) mit g_{ij} := m_{j}/m_{i} ∈ O^{∗}(U_{i} ∩ U_{j}). Gibt es f ∈ M^{∗}(G), so daß f/m_{j} ∈ O^{∗}(U_{j})?

Allgemeiner: Sind g_{ij} : U_{i} ∩ U_{j} → ℂ^{∗} nullstellenfreie holomorphe Funktionen mit g_{ij} = g_{ji}^{−1} und g_{ij} · g_{jk} · g_{ki} = 1 in U_{i} ∩ U_{j} ∩ U_{k}, finde nullstellenfreie holomorphe Funktionen g_{j} : U_{j} → ℂ^{∗}, so daß g_{ij} = g_{j}/g_{i} in U_{i} ∩ U_{j}.

Divisoren. Sei G ein Gebiet und S ⊂ G eine in G diskrete Menge. Ein Divisor ist eine Abbildung D : G → ℤ, so daß D(z) = 0 für alle z ∈ G \ S. Man schreibt

D = ∑_{z∈G} D(z) · z .

Die Summe zweier Divisoren ist D_{1} + D_{2} = ∑_{z∈G}(D_{1}(z) + D_{2}(z)) · z.

Die Divisoren bilden die additive Gruppe Div(G). Ist f ∈ M^{∗}(G) meromorph, so ist f ≢ 0, da G zusammenhängend ist. Definiere div : M^{∗}(G) → Div(G), div(f)(z) = ord_{z} f. Man schreibt auch (f) = div(f). Es gilt div(fg) = div(f) + div(g) und div(1/f) = − div(f). Zudem ist div(f) = 0 genau dann, wenn f ∈ O^{∗}(G). Ein Divisor, der Divisor einer meromorphen Funktion ist, heißt Hauptdivisor. Die Hauptdivisoren bilden die Untergruppe Div_{P} (G). Ein Divisor heißt positiv, D ≥ 0, falls D(z) ≥ 0 in G. Der Divisor einer holomorphen Funktion ist positiv.

Satz 4.21 (Weierstraß). Ist G ein Gebiet in ℂ, so ist jeder Divisor in G ein Hauptdivisor, d.h. zu D ∈ Div(G) gibt es f ∈ M^{∗}(G) mit div(f) = D.

Analog zum Satz von Mittag–Leffler folgt der Satz von Weierstraß aus der Lösung des multiplikativen Cousin Problems. Ein Divisor enspricht einer Überdeckung U = {U_{j}} zusammen mit meromorphen Funktionen m_{j} ∈ M^{∗}(U_{j}) (d.h. m_{j} ≢ 0), so daß m_{j}/m_{i} ∈ O^{∗}(U_{ij}) holomorph ist und ohne Nullstellen. Eine Lösung f ∈ M^{∗}(G), f/m_{j} ∈ O^{∗}(U_{j}), gibt es genau dann, wenn der Kozyklus {m_{j}/m_{i}} ∈ Z^{1}(U, O^{∗}) in B^{1}(U, O^{∗}) liegt. Wenn also H^{1}(U, O^{∗}) = 0, dann gibt es immer eine Lösung. Dies wird beschrieben durch die exakte Sequenz 1 → O^{∗} → M^{∗} → D → 0, wobei D = M^{∗}/O^{∗}. Es gilt D(G) = Div(G). Da H1 ; \overline{∂}(G) = 0, hat das Cousin-II Problem eine (holomorphe) Lösung, wenn es eine stetige Lösung gibt (Oka–Prinzip). Diese gibt es für Gebiete G ⊂ ℂ immer, denn H^{2}(G, ℤ) = 0.

Lokal ist eine meromorphe Funktion Quotient zweier holomorpher Funktionen. Mit Weierstraß gilt dies auch global.

Satz 4.22. Ist f ∈ M(G) eine meromorphe Funktion in einem Gebiet G ⊂ ℂ, so gibt es holomorphe Funktionen g, h ∈ O(G) mit f = g/h.

Beweis. Der Divisor div(f) läßt sich schreiben als Differenz zweier positiver Divisoren div(f) = δ_{+} − δ_{−}, wobei δ_{+} = div(g_{1}) und δ_{−} = div(h) Hauptdivisoren sind mit g_{1}, h ∈ O(G). f und g_{1}/h unterscheiden sich um g_{2} = fh/g_{1} ∈ O^{∗}(G), denn div(g_{2}) = div(f) + δ_{+} − δ_{−} = 0. Wähle also g = g_{1}g_{2}.

5. Riemannsche Flächen

Eine (reelle) m–dimensionale Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Hausdorff– Raum X, so daß jeder Punkt a ∈ X eine offene Umgebung U besitzt, die homöomorph ist zu einer offenen Menge V ⊂ ℝ^{m}. Den Homöomorphismus ϕ : U → V nennt man Karte, und die Überdeckung {(U_{α}, ϕ_{α})} von X mit Karten nennt man Atlas. Eine n–dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit ist eine Mannigfaltigkeit mit einem Atlas {(U_{α}, ϕ_{α})}, so daß die Karten ϕ_{α} : U_{α} → V_{α} auf offene Mengen in ℂ^{n} abbilden und die Kartenwechsel ϕ_{α} ∘ ϕ_{β}^{−1} : ϕ_{β}(U_{α} ∩ U_{β}) → ϕ_{α}(U_{α} ∩ U_{β}) holomorph sind. Eine Riemannsche Fläche ist eine zusammenhängende komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension 1. Sei X eine Riemannsche Fläche und U ⊂ X eine offene Menge. Eine Funktion f : U → ℂ heißt holomorph, wenn f ∘ ϕ_{α}^{−1} : ϕ_{α}(U ∩ U_{α}) → ℂ holomorph ist für jede Karte aus dem Atlas. Eine Abbildung f : X → Y zwischen Riemannschen Flächen heißt holomorph, wenn ψ_{β} ∘ f ∘ ϕ_{α}^{−1} holomorph ist bzgl. der Atlanten von X und Y. Meromorphe Funktionen sind holomorphe Abbildungen nach ℙ^{1}. Ist X kompakt, so ist jede holomorphe Funktion f : X → ℂ konstant. Nicht–kompakte Riemannsche Flächen nennt man offen. Kompakte Riemannsche Flächen nennt man auch geschlossen. Ist X eine offene Riemannsche Fläche, so gilt der Rungesche Approximationssatz und folglich H1 ; \overline{∂}(X) = 0.

Satz 5.1 (Runge IV). Sei X eine offene Riemannsche Fläche und Y ⊂ X eine offene Menge, so daß das Komplement X \ Y keine kompakte Zusammenhangskomponente enthält. Dann kann jede holomorphe Funktion in Y durch holomorphe Funktionen in X lokal gleichmäßig approximiert werden.

Ein Divisor ist eine Abbildung D : X → ℤ, so daß {D(z) ≠ 0} diskret in X ist. Es ist Div(X) = D(X). Wenn H^{1}(X, O^{∗}) = 0, dann D(X) = M^{∗}(X)/O^{∗}(X).

Sei π : E → X eine stetige Abbildung, so daß die Fasern E_{z} = π^{−1}(z) komplexe Vektorräume sind. Sei E_{U} = π^{−1}(U). Dann ist E ein komplexes Vektorbündel vom Rang r, wenn jedes z ∈ X eine Umgebung U besitzt und eine Trivialisierung Φ : E_{U} → U × ℂ^{r}, d.h. einen Homömorphismus mit pr_{1} ∘Φ = π, der für jeden Punkt z ∈ X ein Vektorraumisomorphismus E_{z} → {z} × ℂ^{r} ist. Ein Vektorbündel heißt trivial, wenn es eine Trivialisierung Φ : E → X × ℂ^{r} gibt. Ein Linienbündel ist ein Vektorbündel vom Rang 1. Ein Schnitt über U ⊂ X ist eine Abbildung s : U → E mit π ∘ s = id_{U}. Ist {(U_{j}, Φ_{j})} eine trivialisierende Überdeckung, so sind durch Φ_{i}Φ_{j}^{−1}(p, v) = (p, g_{ij} v) Übergangsmatrizen g_{ij} : U_{i} ∩ U_{j} → GL(r) definiert. Umgekehrt definiert ein Kozyklus von Übergangsmatrizen ein Vektorbündel. Ein Vektorbündel E über einer komplexen Mannigfaltigkeit X heißt holomorph, wenn die Übergangsmatrizen g_{ij} : U_{i} ∩ U_{j} → GL(r) holomorph sind. Dann ist auch E eine komplexe Mannigfaltigkeit und die Trivialisierungen sind holomorph.

Sind U = {U_{j}}_{j∈J} und V = {V_{i}}_{i∈I} zwei Überdeckungen einer Riemannschen Fläche X, dann ist V eine Verfeinerung von U, d.h. V < U, wenn es eine Abbildung τ : I → J gibt, so daß V_{i} ⊂ U_{τ(i)} für alle i ∈ I. Dies induziert einen injektiven Homomorphismus τ^{∗} : H^{1}(U, F) → H^{1}(V, F). Man kann den direkten Limes H^{1}(X, F) definieren. Ist H^{1}(X, F) = 0, so ist H^{1}(U, F) = 0 für jede Überdeckung U. Zu einer kurzen exakten Sequenz von Garben gehört eine lange Kohomologiesequenz, die für den direkten Limes ebenfalls exakt ist. Eine Leray–Überdeckung ist eine Überdeckung U = {U_{j}}, so daß H^{1}(U_{j}, F) = 0 für alle j. Für eine solche Überdeckung gilt dann H^{1}(U, F) = H^{1}(X, F).

Seien ℤ(U) die lokal konstanten Funktionen f : U → ℤ. Die Sequenz

\xymatrix{0 \ar[r] & ℤ \ar[r]^{ι} & O \ar[r]^{e} & O^{∗} \ar[r] & 1}

ist exakt, denn ist U offen und f ∈ O^{∗}(U) holomorph und nullstellenfrei, dann gibt es eine einfach zusammenhängende offene Menge V ⊂ U, so daß f|_{V} = e(h) := exp(2πih) für ein h ∈ O(V). Betrachte die lange exakte Kohomologiesequenz

\xymatrix{H^{1}(X, ℤ) \ar[r] & H^{1}(X, O) \ar[r]^{e} & H^{1}(X, O^{∗}) \ar[r]^{c} & H^{2}(X, ℤ) \ar[r] & H^{2}(X, O) .}

Wegen dim X = 1 ist H^{2}(X, O) = 0, somit c : H^{1}(X, O^{∗}) → H^{2}(X, ℤ) surjektiv. Ist X offene Riemannsche Fläche, so ist H^{1}(X, O) = 0 und die Chern–Abbildung c : H^{1}(X, O^{∗}) → H^{2}(X, ℤ) auch injektiv. Zudem ist dann H^{2}(X, ℤ) = 0.

Ein Kozyklus {g_{ij}} ∈ Z^{1}(U, O^{∗}) definiert ein holomorphes Linienbündel L → X. Isomorphe Linienbündel bilden dieselbe Äquivalenzklasse in H^{1}(X, O^{∗}). Ein holomorpher Schnitt s ∈ O(U, L) = O^{L}(U) sind Funktionen s_{j} ∈ O(U ∩ U_{j}) mit s_{i} = g_{ij}s_{j} in U_{i} ∩ U_{j} ∩ U. Mit H^{q}(X, L) = H^{q}(X, O^{L}) soll die Čech– Kohomologie der holomorphen Schnitte in L bezeichnet werden.

Ein Divisor D|_{U_{j}} = div(m_{j}) definierte einen Kozyklus {m_{j}/m_{i}} ∈ Z^{1}(U, O^{∗}). Das zum Divisor assoziierte Linienbündel [D] wird durch das duale Linienbündel g_{ij} = m_{i}/m_{j} definiert. Dann ist nämlich m_{D} = (m_{j})_{j} ∈ M(X, [D]) ein globaler meromorpher Schnitt in [D], denn m_{i} = g_{ij}m_{j}, und es gilt D = div(m_{D}). Für Riemannsche Flächen gilt H^{1}(X, M^{∗}) = 0. Deshalb ist jedes holomorphe Linienbündel assoziiertes Linienbündel eines Divisors, d.h. zu jedem holomorphen Linienbündel L gibt es einen Divisor D, so daß L = [D]. Man definiert deg L = deg D. Die Picard–Gruppe Pic(X) = Div(X)/Div_{P} (X) ist isomorph zu H^{1}(X, O^{∗}). Hauptdivisoren entsprechen den holomorph trivialen Linienbündeln. Wichtige holomorphe Linienbündel sind das holomorphe Tangentialbündel T_{X} und das holomorphe Kotangentialbündel K_{X} = T_{X}^{∗}. Die holomorphen Schnitte in K_{X} sind die holomorphen 1–Formen Ω(U) = O^{1,0}(U); lokal haben sie die Form f dz mit f ∈ O(U). Ferner seien M^{1,0}(U) die meromorphen 1–Formen.

Da H^{2}(X, O) = 0 für eine Riemannsche Fläche, ist c : H^{1}(X, O^{∗}) → H^{2}(X, ℤ) surjektiv. H^{1}(X, C^{∗}) ≅ H^{2}(X, ℤ) sind die topologischen Linienbündel über X. Für offene Riemannsche Flächen (d.h. nicht–kompakt) sind alle Linienbündel trivial, da H^{1}(X, O^{∗}) ≅ H^{1}(X, C^{∗}) = 0, denn H^{1}(X, O) = 0 und H^{2}(X, ℤ) = 0. Für kompakte Riemannsche Flächen ist g = dim H^{1}(X, O) das Geschlecht von X und es ist H^{2}(X, ℤ) ≅ ℤ. Ist L → X ein holomorphes Linienbündel, so gilt

dim H^{0}(X, L) − dim H^{1}(X, L) = 1 − g + deg L (Riemann–Roch) .

Ist D : X → ℤ ein Divisor und O_{D}(U) = {f ∈ M(U) | (f) ≥ −D}, so gilt

dim H^{0}(X, O_{D}) − dim H^{1}(X, O_{D}) = 1 − g + deg D .

Ist f ∈ O_{D}(X) ein globaler Schnitt, dann ist f ∈ M(X) eine globale meromorphe Funktion. Ist X kompakt und f ≢ 0, so ist deg(f) = 0, denn f : X → ℂ̂ ist eigentlich und somit N_{f}(0) = N_{f}(∞).

Sei E → X holomorphes Vektorbündel über einer kompakten Mannigfaltigkeit der Dimension n. Die duale Paarung ⟨· , ·⟩ : H^{n−p,n−q}(X, E^{∗}) × H^{p,q}(X, E) → ℂ, ⟨η, ω⟩ = ∫_{X} η ∧ ω, induziert einen Isomorphismus (Serre–Dualität)

H^{n−p,n−q}(X, E^{∗}) ∋ η ↦ ∫_{X} η ∧ (·) ∈ H^{p,q}(X, E)^{∗} .

Da X kompakt ist, sind dies endlich-dimensionale Vektorräume. Es gilt H^{p,q}(X, E) ≅ H^{q}(X, Ω^{p}(E)) (Dolbeault–Isomorphismus).

Sei X nun wieder eine kompakte Riemannsche Fläche. Ein kanonischer Divisor ist ein Divisor einer meromorphen 1–Form ≢ 0. Das assoziierte Linienbündel ist das kanonische Bündel K_{X}. Sei Ω_{D}(U) = {ω ∈ M^{1,0}(U) | (ω) ≥ −D}. Ist K ein kanonischer Divisor, so gilt O_{D+K} ≅ Ω_{D}. Serre–Dualität bedeutet nun

H^{1}(X, L)^{∗} ≅ H^{0}(X, KL^{−1}) bzw. H^{1}(X, O_{D})^{∗} ≅ H^{0}(X, Ω_{−D}) .

Mit Riemann–Roch folgt deg K = g − 1 + h^{1}(X, O) − h^{0}(X, O) = 2g − 2 , wobei h^{q}(X, O) = dim H^{q}(X, O) .

Die Riemannsche Sphäre ℙ^{1}. Auf ℙ^{1} ist H^{1}(ℙ^{1}, O) = 0 und H^{1}(ℙ^{1}, O^{∗}) ≅ H^{2}(ℙ^{1}, ℤ) ≅ ℤ. Ein Divisor D : ℙ^{1} → ℤ ist genau dann Hauptdivisor, wenn deg D = 0. D.h. wenn sich die Pol- und Nullstellenordnungen gerade aufheben, gibt es auch eine meromorphe Funktion f : ℙ^{1} → ℂ̂ mit D = (f). Dies ist genau dann der Fall, wenn das assoziierte Linienbündel (topologisch) trivial ist. Wähle die Überdeckung U = {U_{+}, U_{−}}, U_{+} = ℙ^{1}\∞ = ℂ, U_{−} = ℙ^{1}\0 = ℂ̂\{0} und U_{+} ∩ U_{−} = ℂ^{∗}. Sei L → ℙ^{1} ein holomorphes Linienbündel. Dann sind O(ℙ^{1}, L) = H^{0}(ℙ^{1}, L) = Z^{0}(U, L) die globalen Schnitte und

H^{1}(ℙ^{1}, L) = \frac{O(U_{+} ∩ U_{−}, L)}{O(U_{+}, L) − O(U_{−}, L)} .

Sei L = O(k) das Linienbündel mit Übergangsfunktion g_{+−}(z) = z^{k}. Für einen Schnitt s ∈ O(U, L), s = (s^{+}, s^{−}), gilt dann s^{+}(z) = g_{+−}(z)s^{−}(z) = z^{k}s^{−}(z) in U ∩ U_{+} ∩ U_{−}, wobei s^{+} ∈ O(U ∩ U_{+}, ℂ) und s^{−} ∈ O(U ∩ U_{−}, ℂ). Sei D : ℙ^{1} → ℤ der Divisor mit D(0) = k und D(z) = 0 für z ≠ 0. Der Divisor D entspricht meromorphen Funktionen (m_{+}, m_{−}), wobei m_{+} ∈ M^{∗}(U_{+}), m_{+}(z) = z^{k}, und m_{−} ∈ M^{∗}(U_{−}), m_{−}(z) = 1. Es gilt m_{+}/m_{−} ∈ O^{∗}(U_{+} ∩ U_{−}). Das zu D assoziierte Linienbündel L = [D] ist definiert durch g_{+−} = m_{+}/m_{−}, somit g_{+−}(z) = z^{k} und [D] = O(k). Also ist deg O(k) = ∑_{ℙ^{1}} D(z) = k. Die meromorphen Funktionen auf ℙ^{1} sind genau die rationalen Funktionen. Ist D = k ·P der Divisor von oben und f ∈ O_{D}(ℙ^{1}), so ist f außerhalb P holomorph und ord_{P} (f) ≥ −k. Wenn f ≢ 0, so ist deg(f) = 0. Nun kann deg(f) = 0 nur, wenn k ≥ 0, und dann ist dim O_{D}(ℙ^{1}) = k + 1 . Weiter gilt

(i) dim H^{0}(ℙ^{1}, O(k)) = \begin{cases}0 & , k ≤ −1 \\ k + 1 & , k ≥ −1 , \end{cases}

(ii) dim H^{1}(ℙ^{1}, O(k)) = \begin{cases}−(k + 1) & , k ≤ −1 \\ 0 & , k ≥ −1 . \end{cases}

(i) Zu s_{+} suche s = {s_{+}, s_{−}} ∈ Z^{0}(U, O(k)). Sei s_{+} ∈ O(U_{+}, O(k)), d.h. s_{+} = (s_{+}^{+}, s_{+}^{−}) mit s_{+}^{+} : U_{+} → ℂ, s_{+}^{−} : U_{+} ∩U_{−} → ℂ holomorph, s_{+}^{+} = g_{+−}s_{+}^{−} in U_{+} ∩U_{−}. Dann ist

s_{+}^{+}(z) = ∑_{j=0}^{∞} a_{j}z^{j} , s_{+}^{−}(z) = z^{−k} ∑_{j=0}^{∞} a_{j}z^{j} .

Angenommen es gibt einen Schnitt s_{−} ∈ O(U_{−}, O(k)) mit s_{+} = s_{−} auf U_{+} ∩ U_{−}. Für s_{−} = (s_{−}^{+}, s_{−}^{−}) gilt dann auf U_{+} ∩ U_{−}

s_{−}^{+}(z) = s_{+}^{+}(z) = ∑_{j=0}^{∞} a_{j}z^{j} ,

s_{−}^{−}(z) = z^{−k}s_{−}^{+}(z) = ∑_{j=0}^{∞} a_{j}z^{j−k} = ∑_{j=−k}^{∞} a_{j+k}z^{j} = ∑_{j=−k}^{0} a_{j+k}z^{j} + ∑_{j=1}^{∞} a_{j+k}z^{j} .

Damit s_{−}^{−} : U_{−} → ℂ, muß k ≥ 0, wobei dann s_{+}^{+}(z) = ∑_{j=0}^{k} a_{j}z^{j} sein muß. Somit

dim H^{0}(ℙ^{1}, O(k)) = k + 1. Für k < 0 ist H^{0}(ℙ^{1}, O(k)) = 0. (ii) Sei f = (f^{+}, f^{−}) ∈ O(U_{+} ∩ U_{−}, O(k)). Die Laurent-Reihe von f^{+} : ℂ^{∗} → ℂ,

f^{+}(z) = ∑_{j=−∞}^{∞} a_{j}z^{j} = ∑_{j=0}^{∞} a_{j}z^{j} − (− ∑_{j=−∞}^{−1} a_{j}z^{j}) = ϕ_{+}^{+}(z) − ϕ_{−}^{+}(z) ,

wird aufgeteilt in Nebenteil ϕ_{+}^{+} und Hauptteil −ϕ_{−}^{+} . Wechselt man zu f^{−}, erhält man f^{−}(z) = z^{−k}f^{+}(z) = z^{−k}ϕ_{+}^{+}(z) − z^{−k}ϕ_{−}^{+}(z). Definiert man ϕ_{+}^{−}(z) = z^{−k}ϕ_{+}^{+}(z), so ist ϕ_{+} = (ϕ_{+}^{+}, ϕ_{+}^{−}) ∈ O(U_{+}, O(k)). Sei ϕ_{−}^{−}(z) = z^{−k}ϕ_{−}^{+}(z), dann gilt

ϕ_{−}^{−}(z) = − z^{−k} ∑_{j=−∞}^{−1} a_{j}z^{j} = − ∑_{j=−∞}^{−k−1} a_{j+k}z^{j} .

Für k ≥ −1 definiert ϕ_{−} = (ϕ_{−}^{+}, ϕ_{−}^{−}) einen Schnitt in O(U_{−}, O(k)). Somit gehört f = ϕ_{+} − ϕ_{−} zu B^{1}(U, O(k)), und das bedeutet H^{1}(ℙ^{1}, O(k)) = 0 . Ist k < −1, so gibt es b_{1}, …, b_{−k−1} ∈ ℂ mit

f^{+}(z) = ϕ_{+}^{+}(z) − ϕ̃_{−}^{+}(z) + ∑_{j=1}^{−k−1} b_{j}z^{j+k} ,

so daß ϕ_{+} = (ϕ_{+}^{+}, ϕ_{+}^{−}) ∈ O(U_{+}, O(k)) und ϕ̃_{−} = (ϕ̃_{−}^{+}, ϕ̃_{−}^{−}) ∈ O(U_{−}, O(k)). So sieht man, daß dann dim H^{1}(ℙ^{1}, O(k)) = −k −1 .

Zusammen gilt: dim H^{0}(ℙ^{1}, O(k)) − dim H^{1}(ℙ^{1}, O(k)) = 1 + k.

Vektorbündel und hermitesche Metrik. Es werden nun holormophe Vektorbündel E → X mit hermitescher Metrik ⟨· , ·⟩_{E} betrachtet. Sei Φ : E_{U} → U × F eine Trivialisierung und s : U → E ein Schnitt. Dann gilt

\begin{aligned}⟨s, s⟩_{E} & = ⟨Φ^{−1}s̃, Φ^{−1}s̃⟩_{E} = ⟨(Φ^{−1})^{∗}Φ^{−1}s̃, s̃⟩_{F} \\ & = ⟨Hs̃, s̃⟩_{F} . \end{aligned}

H := (Φ^{−1})^{∗}Φ^{−1} = (ΦΦ^{∗})^{−1} : U → GL(F) ist in jedem Punkt selbstadjungiert und positiv definit. Sei U = {U_{j}} eine Überdeckung von X mit Trivialisierungen Φ_{j} : E_{U_{j}} → U_{j} × F bzw. Übergangsmatrizen g_{ij} : U_{i} ∩ U_{j} → GL(F), d.h. Φ_{i}Φ_{j}^{−1}(p, v) = (p, g_{ij}v) für (p, v) ∈ U_{i} ∩ U_{j} × F. Dann gilt für s_{j} = Φ_{j}s, s_{i} = g_{ij}s_{j} und H_{j} = (Φ_{j}Φ_{j}^{∗})^{−1}

⟨H_{i}s_{i}, s_{i}⟩_{F} = ⟨g_{ij}^{∗}H_{i}g_{ij} s_{j}, s_{j}⟩_{F} ⇝ H_{j} = g_{ij}^{∗}H_{i}g_{ij} .

Im Fall eines Linienbündels ist dim F = 1 und H_{j} : U_{j} → ℝ^{+} sind positive Funktionen mit H_{j} = |g_{ij}|^{2}H_{i}.

Lemma 5.2. Sei L → X ein Linienbündel mit trivialisierender Überdeckung {U_{j}}. Sind h_{j} : U_{j} → ℝ^{+} positive Funktionen mit h_{j} = h_{i} · |g_{ij}|^{2}, so definieren diese eine Metrik ⟨· , ·⟩_{L} durch

⟨s, s⟩_{L} := h_{j}⟨s_{j}, s_{j}⟩ = h_{j} · |s_{j}|^{2} in U_{j} .

Beweis. In U_{i} ∩ U_{j} gilt h_{i}⟨s_{i}, s_{i}⟩ = ⟨g_{ij}^{∗}h_{i}g_{ij} s_{j}, s_{j}⟩ = h_{j}⟨s_{j}, s_{j}⟩.

Solche Funktionen h_{j} : U_{j} → ℝ^{+} mit h_{j} = h_{i} · |g_{ij}|^{2} nennt man ebenfalls Metrik. Da h_{j} > 0, gilt h_{j} = e^{−φ_{j}} bzw. φ_{j} = − log h_{j} und h_{j}^{−1}∂h_{j} = ∂ log h_{j} = −∂φ_{j},

\overline{∂}(h_{j}^{−1}∂h_{j}) = \overline{∂}(e^{φ_{j}}∂e^{−φ_{j}}) = −\overline{∂}(e^{φ_{j}}e^{−φ_{j}}∂φ_{j}) = ∂\overline{∂}φ_{j} .

Satz 5.3. Sei L → X ein Linienbündel mit Metrik h_{j} : U_{j} → ℝ^{+} und φ_{j} = − log h_{j}. Dann definieren ∂\overline{∂}φ_{j} eine geschlossene 2-Form c_{1}(L, h) ∈ E^{2}(X) durch

c_{1}(L, h)|_{U_{j}} = \frac{i}{2π} ∂\overline{∂}φ_{j} .

Ist h̃ = {h̃_{j}} eine weitere Metrik, so gilt c_{1}(L, h) − c_{1}(L, h̃) = dη, d.h. die Kohomologieklasse c_{1}(L) = [c_{1}(L, h)] ∈ H2_{DR}(X) ist unabhängig von der Wahl der Metrik.

Satz 5.4. Ist L → X ein Linienbündel über einer kompakten Riemannschen Fläche, so gilt

deg L = ∫_{X} c_{1}(L) .

Für das holomorphe Tangentialbündel ist dies der Satz von Gauß–Bonnet, deg T_{X} = − deg K_{X} = 2 − 2g = χ(X) .

Oka–Grauert Prinzip. Für offene Riemannsche Flächen galt H^{1}(X, O^{∗}) ≅ H^{1}(X, C^{∗}) ≅ H^{2}(X, ℤ) = 0. Andererseits galt H^{2}(ℙ^{1}, ℤ) ≅ ℤ. Seien nun H^{1}(X, O^{GL(r)}) und H^{1}(X, C^{GL(r)}) die holomorphen und topologischen Vektorbündel vom Rang r. Satz 5.5 (Grauert). Ist X Steinsch, dann gilt H^{1}(X, O^{GL(r)}) ≅ H^{1}(X, C^{GL(r)}). Offene Riemannsche Flächen sind Steinsch. Satz 5.6 (Röhrl). Ist X offene Riemannsche Fläche, so gilt H^{1}(X, O^{GL(r)}) = 0. Satz 5.7 (Spaltungssatz von Grothendieck). Jedes holomorphe Vektorbündel E → ℙ^{1} vom Rang r ist holomorph äquivalent zu O(k_{1}) ⊕ ⋯ ⊕ O(k_{r}) mit eindeutig bestimmten ganzen Zahlen k_{1} ≥ … ≥ k_{r}. Zwei holomorphe Vektorbündel über ℙ^{1} vom Rang r sind topologisch äquivalent, wenn die Summen k_{1} + … + k_{r} ihrer holomorphen Zerlegungen gleich sind.

Literatur

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[Ru] W. Rudin: Real and Complex Analysis. McGraw-Hill, 1987.

6. Iterationstheorie

Sei G ⊂ ℂ̂ ein Gebiet. Eine Abbildung f : G → ℂ̂ ist holomorph (= analytisch), wenn sie stetig ist und entweder identisch ∞ oder f ist meromorph in G, d.h. bis auf isolierte Polstellen S = f^{−1}(∞) ist f : G \ S → ℂ eine holomorphe Funktion. Holomorphe Abbildungen f : ℂ̂ → ℂ̂ sind surjektiv oder konstant.

Definition. Eine Familie F von Abbildungen G → ℂ̂ heißt normal in G, wenn jede Folge (f_{n}), f_{n} ∈ F, eine Teilfolge besitzt, die lokal gleichmäßig konvergiert.

Satz 6.1 (Montel). Seien a, b, c ∈ ℂ̂ paarweise verschiedene Punkte der Sphäre. Eine Familie holomorpher Abbildungen G → ℂ̂ \ {a, b, c} ist normal.

Man kann a = 0, b = 1, c = ∞ annehmen. Wenn also eine Familie holomorpher Abbildungen die Punkte 0, 1, ∞ ausläßt, ist sie normal.

Eine surjektive Abbildung f : U → V heißt konform, wenn sie holomorph und injektiv ist.

Definition. Zwei Abbildungen f : U → U und g : V → V sind konjugiert, wenn es eine konforme Abbildung φ : U → V gibt mit g = φ ∘ f ∘ φ^{−1}.

Die holomorphen Abbildungen ℂ̂ → ℂ̂ sind genau die rationalen Abbildungen

f(z) = \frac{p(z)}{q(z)} mit teilerfremden Polynomen p und q. Ist f konstant, so ist der Grad

deg(f) = 0, ansonsten deg(f) = max{deg(p), deg(q)}. Eine nicht–konstante rationale Abbildungen f : ℂ̂ → ℂ̂ ist surjektiv, und mit Vielfachheit gezählt ist dann d = deg(f) gleich der Anzahl Urbilder unter f eines jeden Punktes. Die konformen Abbildungen ℂ̂ → ℂ̂ sind die Möbius-Transformationen, d.h. die rationalen Abbildungen vom Grad 1,

φ ∈ Aut(ℂ̂) : φ(z) = \frac{az + b}{cz + d} , ad − bc ≠ 0 .

Konjugation definiert Äquivalenzrelation f ∼ g. Dann gilt deg(f) = deg(g).

Ein kritischer Punkt von f ist ein Punkt, für den es keine Umgebung gibt, in der f injektiv ist. Dies ist dort der Fall, wo f′ eine Nullstelle oder f eine mehrfache Polstelle hat. Das Bild eines kritischen Punktes heißt kritischer Wert. Ist w kein kritischer Wert, dann hat f^{−1}(w) genau d disjunkte Urbilder, die disjunkte Umgebungen besitzen, in denen f jeweils injektiv ist. Sei ν_{f}(a) = ord_{a}(f − f(a)) die Vielfachheit, mit der a auf f(a) abgebildet wird. Ein kritischer Punkt c von f ist ein k–facher kritischer Punkt, wenn ν_{f}(c) = k+1. Ist f′(c) = 0, dann ist k = ord_{c} f′ (Vielfachheit der Nullstelle von f′). Eine rationale Abbildung f : ℂ̂ → ℂ̂ mit deg(f) = d > 0 hat mit Vielfachheit 2d − 2 kritische Punkte. Ein Polynom hat d − 1 endliche kritische Punkte, und ∞ ist ein (d − 1)–facher kritischer Punkt.

§ Juliamenge einer rationalen Abbildung

Die Iterierten einer Abbildung f werden bezeichnet mit f^{n} = \underbrace{f ∘ ⋯ ∘ f}_{n mal} .

Für zwei konjugierte Abbildungen f und g sind auch die Iterierten konjugiert:

g^{n} = (φ ∘ f ∘ φ^{−1})^{n} = φ ∘ f^{n} ∘ φ^{−1} .

Eine Familie F ist normal in z, falls es eine Umgebung von z gibt, in der F normal ist. Für G ⊂ ℂ̂ offen ist F genau dann normal in jedem Punkt z ∈ G, wenn F normal in G ist.

Definition. Sei f : ℂ̂ → ℂ̂ eine nicht–konstante rationale Abbildung. Die Fatoumenge F (f) ist die Menge der z ∈ ℂ̂, für die die Familie der Iterierten {f, f^{2}, f^{3}, …} normal in (einer Umgebung von) z ist. Das Komplement J(f) = ℂ̂ \ F (f) ist die Juliamenge.

Die Fatoumenge ist offen und die Juliamenge kompakt.

Folgerung. Sind f ∼ g konjugiert durch g = φ ∘ f ∘ φ^{−1}, dann J(g) = φ(J(f)).

Lemma 6.2. Es gilt F (f^{p}) = F (f) und J(f^{p}) = J(f) für p ≥ 1.

Ab jetzt sei f : ℂ̂ → ℂ̂ rational mit deg(f) ≥ 2 .

Satz 6.3. J(f) ≠ ∅.

Beweis. Angenommen J(f) = ∅, also F (f) = ℂ̂. Dann ist {f^{n}} in ganz ℂ̂ normal und eine Teilfolge (f^{n_{j}}) konvergiert gegen g : ℂ̂ → ℂ̂. Nun ist deg(f^{n_{j}}) ≥ 2^{n_{j}}. Jedoch deg(f^{n_{j}}) = deg(g) für n_{j} ≥ n_{0}. �

Eine Menge E ist vollständig invariant unter f, wenn f(E) = E = f^{−1}(E). Ist f surjektiv, dann folgt aus f^{−1}(E) = E auch E = f(f^{−1}(E)) = f(E).

Satz 6.4. Fatou- und Juliamenge sind vollständig invariant, d.h. f^{−1}(J) = J.

Satz 6.5. Eine endliche vollständig invariante Menge E hat höchstens zwei Elemente, ♯E ≤ 2, und E ⊂ F (f).

Beweis. Sei k = ♯E. Da f : E → E eine Permutation der endlichen Menge E ist, gibt es ein p, so daß für g := f^{p} gilt g|_{E} = id_{E}. Sei d = deg(g). Mit Vielfachheit hat jeder Punkt d Urbilder. Da g^{−1}(z) = {z} für z ∈ E, ist jedes Element in E ein (d − 1)–facher kritischer Punkt. g hat 2d − 2 kritische Punkte, also k(d − 1) ≤ 2(d − 1) ⇝ k ≤ 2 (denn d ≥ 2). Besteht E aus genau einem Punkt, so kann man E = {∞} annehmen und f ist (konjugiert zu einem) Polynom. Besteht E aus zwei Punkten, o.E. E(f) = {0, ∞}, so ist f (konjugiert zu) z^{d} (0 ↦ 0, ∞ ↦ ∞) oder z^{−d} (0 ↦ ∞ ↦ 0). Somit ist E ⊂ F (f).

Ist U offen mit U ∩J ≠ ∅, dann lassen die Iterierten f(U)∪f^{2}(U)∪… höchstens zwei Elemente aus (Montel).

Satz 6.6. Es gibt eine endliche vollständig invariante Menge E(f), so daß für jede offene Menge U mit U ∩ E(f) = ∅ gilt:

U ∩ J ≠ ∅ ⇒ ⋃_{n=0}^{∞} f^{n}(U) = ℂ̂ \ E(f) .

Beweis. Sei V = ⋃_{n≥0} f^{n}(U) und W = ℂ̂ \ V. Da f(V) = ⋃ f^{n+1}(U) ⊂ V, kann w ∈ W kein Urbild in V haben, also f^{−1}(W) ⊂ W. Da U ∩ J ≠ ∅, ist ♯W ≤ 2 endlich. Da f surjektiv ist, muß ♯W ≤ ♯f^{−1}(W). Somit f^{−1}(W) = W, d.h. W ist vollständig invariant. Für U offen mit U ∩ J ≠ ∅ sei W (U) wie oben. Dann ist E(f) = ⋃_{U∩J≠∅} W (U)

ebenfalls endlich und vollständig invariant, also ♯E(f) ≤ 2. Denn hätte E(f) mind. drei Elemente, gäbe es U_{1}, U_{2}, U_{3} mit ♯(W (U_{1}) ∪ W (U_{2}) ∪ W (U_{3})) ≥ 3. Allerdings wäre W (U_{1}) ∪ W (U_{2}) ∪ W (U_{3}) endlich und vollständig invariant und hätte somit höchstens zwei Elemente. Da W ⊂ E(f), ist ⋃ f^{n}(U) = V = ℂ̂ \ W ⊃ ℂ̂ \ E(f). Falls U ∩ E(f) = ∅, ist auch f^{n}(U) ∩ E(f) = ∅ und V ∩ E(f) = ∅, somit W = E(f).

Die Menge E(f) heißt Ausnahmemenge von f und liegt in der Fatoumenge. Es galt ♯E(f) ≤ 2. E(f) kann auch leer sein.

Satz 6.7.

(i) Ist E eine endliche vollständig invariante Menge, so gilt E ⊂ E(f) ⊂ F (f).

(ii) Ist E abgeschlossen und vollständig invariant mit ♯E ≥ 3, dann J(f) ⊂ E.

Beweis (ii). W = ℂ̂\E ist vollständig invariant, und da f^{n} : W → W die Menge E ausläßt, ist W ⊂ F (f) und J(f) ⊂ E.

Folgerung. (i) J(f) ist unendlich. (ii) J(f) ist die kleinste abgeschlossene vollständig invariante Menge mit mindestens drei Elementen.

Folgerung. Ist das Innere von J nichtleer, so ist J = ℂ̂.

Beweis. Ist U ≠ ∅ offen und U ⊂ J, so folgt J ⊃ ⋃ f^{n}(U) ⊃ ℂ̂ \ E(f). Da J abgeschlossen ist, muß J = ℂ̂.

Beispiel. Die Abbildungen \frac{(z^{2} + 1)^{2}}{4z(z^{2} − 1)} und \frac{(z − 2)^{2}}{z^{2}} haben leere Fatoumenge.

Ist U eine Umgebung von z ∈ J, so gilt ⋃_{n=0}^{∞} f^{n}(U ∩ J) = J. Da J kompakt ist, gibt es endlich viele mit f^{n_{1}}(U) ∪ … ∪ f^{n_{k}}(U) ⊃ J. Später wird folgen, daß es ein N gibt, so daß J ⊂ f^{N}(U) bzw. J = f^{N}(U ∩ J).

Für z ∈ ℂ̂ bezeichnet O^{−}(z) = ⋃_{n≥0}f^{−n}(z) den Rückwärtsorbit von z.

Satz 6.8. (i) Ist z ∉ E(f), so gilt J ⊂ \overline{O^{−}(z)}. (ii) Ist z ∈ J, so gilt J = \overline{O^{−}(z)}.

Beweis. Sei w ∈ J und U eine Umgebung von w, somit U ∩ J ≠ ∅. Da z ∉ E(f), gibt es ein n mit z ∈ f^{n}(U). Ist zudem z ∈ J, dann auch O^{−}(z) ⊂ J.

Lemma. Sei f : ℂ̂ → ℂ̂ holomorph und nicht konstant. Ist A vollständig invariant, so auch A^{c} = ℂ̂ \ A und A_{0} = {Häufungspunkte von A}.

Beweis. Da f surjektiv ist, ist A vollständig invariant ⟺ f^{−1}(A) = A. Nun ist f^{−1}(A^{c}) = ℂ̂ \ f^{−1}(A) = ℂ̂ \ A = A^{c}. Sei A ∋ a_{n} → a ∈ A_{0}. Da f stetig ist, gilt A ∋ f(a_{n}) → f(a). Wäre f(a_{n}) = f(a) für unendlich viele a_{n}, so wäre f konstant. Also ist f(a) ∈ A_{0}, d.h. f(A_{0}) ⊂ A_{0}. Damit folgt A_{0} ⊂ f^{−1}f(A_{0}) ⊂ f^{−1}(A_{0}). Angenommen es gibt z ∈ A \ A_{0} mit f(z) = w ∈ A_{0}. Dann gibt es eine Umgebung U von z mit U ∩ A = {z}. Somit ist U \ {z} ⊂ A^{c} wie auch f(U \ {z}) ⊂ A^{c}. Nun ist f(U) = V offen mit w ∈ V. Somit ist w ∈ A_{0} ∩ A umgeben von f(U \ {z}) ⊂ A^{c}. �

Satz 6.9. Die Juliamenge J(f) hat keine isolierten Punkte.

Beweis. Da J unendlich ist, hat es einen Häufungspunkt. Sei J_{0} ≠ ∅ die Menge der Häufungspunkte von J. Da J abgeschlossen ist, gilt J_{0} ⊂ J. Da J_{0} vollständig invariant ist, muß J_{0} unendlich sein. Somit ist J_{0} ⊃ J.

Beweis 2. Sei z_{0} ∈ J und U Umgebung von z_{0}. Suche z ∈ J ∩ U mit z ≠ z_{0}.

1. Fall: f^{m}(z_{0}) ≠ z_{0} ∀ m. Sei f(w) = z_{0}. Dann ist f^{m}(z_{0}) ≠ w ∀ m.

2. Fall: f^{p}(z_{0}) = z_{0} für ein p ≥ 1. Es gibt w ≠ z_{0} mit f^{p}(w) = z_{0}, denn sonst z_{0} ∈ E(f^{p}). Dann ist f^{m}(z_{0}) ≠ w ∀ m, denn wäre f^{q}(z_{0}) = w, folgte z_{0} = f^{p}(w) = f^{p}f^{q}(z_{0}) = f^{q}f^{p}(z_{0}) = f^{q}(z_{0}) = w, jedoch z_{0} ≠ w. In beiden Fällen folgt für z ∈ O^{−}(w) ∩ U ≠ ∅, d.h. f^{n}(z) = w für ein n, daß z ≠ z_{0}, denn f^{m}(z_{0}) ≠ w ∀ m.

Beweis 3. J ist unendlich und kompakt, deshalb gibt es einen Häfungspunkt w_{0} ∈ J. Der Rückwärstorbit O^{−}(w_{0}) ist dicht in J. Ist z ∈ f^{−1}(w_{0}), so gibt es nach dem Argumentprinzip beliebig kleine Umgebungen D von z, so daß jeder Wert in der Zusammenhangskomponente W von ℂ̂\f(∂D), die w_{0} enthält, mindestens ein Urbild in D hat, also auch Urbilder der Punkte aus J, die sich bei w_{0} häufen. Somit ist jedes z ∈ f^{−1}(w_{0}) wieder Häufungspunkt.

Lemma 6.10. z ∈ E(f) ⟺ O^{−}(z) ist endlich.

Beweis. Ist z ∈ E(f), so ist O^{−}(z) endlich. Sei nun O^{−}(z) endlich. Definiere B_{n} = ⋃_{k≥n} f^{−k}(z). Dann ist O^{−}(z) = B_{0} ⊃ B_{1} ⊃ B_{2} ⊃ . . .. Da B_{0} endlich ist, gibt es ein m, so daß B_{m} = B_{m+1}. So ist B_{m} = B_{m+1} = f^{−1}(B_{m}) vollständig invariant. Für w ∈ B_{m} gilt dann O^{−}(w) ⊂ B_{m}. Nun ist w ∈ O^{−}(z), also B_{m} ∋ f^{n}(w) = z.

Für eine vollständig invariante Menge A bilden O^{−}(z), z ∈ A, Äquivalenzklassen.

§ Periodische Punkte

Sei z_{0} ein Fixpunkt, d.h. f(z_{0}) = z_{0}. Ist |f′(z_{0})| < 1, so gibt es ρ < 1, so daß

|\frac{f(z) − f(z_{0})}{z − z_{0}} | ≤ ρ < 1

in einer Kreisscheibe D um z_{0}. Somit |f(z) − z_{0}| = |f(z) − f(z_{0})| ≤ ρ|z − z_{0}|, d.h. z ∈ D ⇒ f(z) ∈ D und |f^{n}(z) − z_{0}| ≤ ρ^{n}|z − z_{0}| → 0. Es folgt z_{0} ∈ F (f).

Ist |f′(z_{0})| > 1 für einen Fixpunkt z_{0}, so entfernen sich Punkte in der Nähe von z_{0} vom Fixpunkt. Wäre {f^{n}} normal in einer Umgebung von z_{0}, so würde dort eine Teilfolge gegen eine holomorphe Funktion g konvergieren mit |g′(z_{0})| < ∞, jedoch (f^{n})′(z_{0}) → ∞. Daher folgt z_{0} ∈ J(f).

Ein Fixpunkt heißt anziehend, falls |f′(z_{0})| < 1, und abstoßend, falls |f′(z_{0})| > 1. Im Fall |f′(z_{0})| = 1 nennt man ihn indifferent.

Eine holomorphe Funktion f : U → V ist linearisierbar in einer Umgebung eines Fixpunktes z_{0}, wenn es eine schlichte Funktion φ von U ∪ V auf eine Umgebung von 0 gibt, so daß φ ∘ f ∘ φ^{−1}(z) = λz in der Nähe von 0, wobei λ = f′(z_{0}).

Ist 0 < |f′(z_{0})| < 1 , so ist f in der Nähe von z_{0} linearisierbar. Da f(U) ⊂ U nahe z_{0}, ist f auch lokal konjugiert zu z ↦ λz. Die Konjugation existiert auf der gesamten Fatoukomponente F_{0}, die z_{0} enthält. Ist f′(z_{0}) = 0, so ist f lokal konjugiert zu z ↦ z^{k} für ein k ≥ 2. Ist |f′(z_{0})| > 1 , so ist f zwar linearisierbar um z_{0}, jedoch ist U ⊂ f(U) nahe z_{0} eine echte Teilmenge.

Definition. z_{0} heißt periodischer Punkt der Periode n, wenn f^{n}(z_{0}) = z_{0} und f^{k}(z_{0}) ≠ z_{0} für 0 < k < n. Die Menge Z = {z_{0}, z_{1} = f(z_{0}), …, z_{n−1} = f^{n−1}(z_{0})} heißt Zyklus der Länge n, und

λ = (f^{n})′(z_{0}) = ∏_{k=0}^{n−1} f′(f^{k}(z_{0})) = ∏_{k=0}^{n−1} f′(z_{k})

heißt Multiplikator.

Der Multiplikator ist an jeder Stelle eines Zyklus gleich. Ein Fixpunkt ist ein periodischer Punkt mit Periode 1. Sind f und g = φ ∘ f ∘ φ^{−1} konjugiert und f^{n}(z_{0}) = z_{0}, so ist φ(z_{0}) = w_{0} Fixpunkt von g^{n} mit gleichem Multiplikator: g^{n}(w_{0}) = (φ ∘ f ∘ φ^{−1})^{n}(φ(z_{0})) = φ(z_{0}) = w_{0} und (g^{n})′(w_{0}) = (f^{n})′(z_{0}). Ist ∞ periodischer Punkt, so betrachte die Konjugation φ(z) = 1/z.

Definition. Sei Z = {z_{0}, …, z_{n−1}} ein Zyklus mit Multiplikator λ = (f^{n})′(z_{0}). Der Zyklus bzw. periodische Punkt heißt

super-anziehend, wenn λ = 0
anziehend, wenn |λ| < 1
abstoßend, wenn |λ| > 1
rational indifferent, wenn |λ| = 1 , λ^{q} = 1
irrational indifferent, wenn |λ| = 1 , λ^{m} ≠ 1 ∀ m .

Ist ein periodischer Punkt/Zyklus indifferent, d.h. |λ| = 1, so ist λ = e^{2πit}, und er ist rational indifferent ⟺ t = p/q ∈ ℚ. Rational indifferente periodische Punkte heißen parabolisch, falls λ^{q} = 1, jedoch f^{q} ≠ id. Da hier deg(f) ≥ 2, sind rational indifferente Punkte auch parabolisch.

Für einen Zyklus Z gilt:

Z (super-)anziehend ⇒ Z ⊂ F (f)
Z abstoßend ⇒ Z ⊂ J(f)
Z parabolisch ⇒ Z ⊂ J(f)

Satz 6.11. Ist z_{0} ein indifferenter periodischer Punkt der Periode n, d.h. |(f^{n})′(z_{0})| = 1, so gilt: z_{0} ∈ F (f) ⟺ f^{n} ist linearisierbar nahe z_{0}. Für den indifferenten Zyklus Z = {z_{0}, …, z_{n−1}} gilt ebenso:

Z ⊂ F (f) ⟺ f^{n} ist linearisierbar nahe z_{0}.

Sei z_{0} ein indifferenter Punkt. Parabolische Punkte liegen in der Juliamenge. Ist z_{0} irrational indifferent und in der Juliamenge, so heißt er Cremer-Punkt. Ist z_{0} irrational indifferent und in der Fatoumenge, d.h. f^{n} linearisierbar um z_{0}, so wird die Fatoukomponente, die z_{0} enthält, durch die lokale Konjugation konform auf eine Kreisscheibe abgebildet und f^{n} entspricht einer irrationalen Drehung der Kreisscheibe. Diese Fatoukomponente wird Siegelscheibe genannt.

Anziehende Zyklen enthalten einen kritischen Punkt in ihrem unmittelbaren Anziehungsbereich. Das gleiche gilt für parabolische Zyklen. Hat f indifferente Zyklen, so kann man durch eine kleine Störung erreichen, daß die Hälfte der indifferenten Zyklen mit λ ≠ 1 anziehend wird. Es folgt, daß f nur endlich viele nicht–abstoßende Zyklen haben kann, höchstens 6d − 6. Die Anzahl der kritischen Punkte 2d − 2 ist eine scharfe Grenze für die Anzahl nicht–abstoßender Zyklen, die in Fällen auch angenommen wird.

Satz 6.12 (Shishikura).

♯ {nicht–abstoßende periodische Zyklen} ≤ 2d − 2 .

f hat d + 1 Fixpunkte in ℂ̂. Die n–te Iterierte hat d^{n} Lösungen der Gleichung f^{n}(z) − z = 0. Für die Anzahl der periodischen Punkte der Periode n muß man noch die periodischen Punkte mit Perioden m < n abziehen, die n teilen. Nun hat f nur endlich viele nicht–abstoßende Zyklen. Es folgt, daß abstoßende periodische Punkte dicht liegen in der Juliamenge. Dazu sei erinnert, daß J keine isolierten Punkte besitzt. Man kann also endlich viele Punkte aus der Betrachtung ausschließen.

Satz 6.13.

J = \overline{\{abstoßende periodische Punkte\}}

Beweis. Sei z_{0} ∈ J, der kein kritischer Wert von f ist, und U eine Umgebung von z_{0}. Angenommen U enthält keine periodischen Punkte von f, d.h. f^{n}(z) ≠ z ∀ n ≥ 1 ∀ z ∈ U. Weiter kann man annehmen, daß U keinen kritischen Wert enthält. Ist U klein genug, so gibt es d paarweise disjunkte Umgebungen U_{j} um die Urbilder {z_{1}, …, z_{d}} = f^{−1}(z_{0}), so daß f|_{U_{j}} : U_{j} → U bijektiv ist. Zudem sei U_{j} ∩ U = ∅, da f(z_{0}) ≠ z_{0}. Wegen d ≥ 2 gibt es mindestens zwei lokale Inverse s_{1} : U → U_{1} und s_{2} : U → U_{2}, s_{j} ∘ f|_{U_{j}} = id_{U_{j}}. Setze

g_{n}(z) = \frac{f^{n}(z) − s_{1}(z)}{f^{n}(z) − s_{2}(z)} · \frac{z − s_{2}(z)}{z − s_{1}(z)} .

Da U_{1} ∩ U = U_{2} ∩ U = U_{1} ∩ U_{2} = ∅, ist s_{2}(z) ≠ z und s_{1}(z) ≠ z in U. Ebenso ist s_{1}(z) ≠ s_{2}(z) und f^{n+1}(z) ≠ z. Daher g_{n}(z) ≠ 0, 1, ∞ in U und {g_{n}} normal in U. Damit wäre aber auch {f^{n}} normal in U, d.h. U ⊂ F (f). � Somit J ⊂ \overline{\{periodische Punkte\}}. Da es nur endlich viele nicht–abstoßende periodische Punkte gibt und abstoßende in J liegen, folgt die Behauptung.

Folgerung. Ist U eine offene Menge mit U ∩ J ≠ ∅, so gibt es ein N mit

f^{N}(U ∩ J) = J .

Beweis. Sei z_{0} ∈ U ∩ J ein abstoßender Fixpunkt von g = f^{n}. Dann gibt es eine Umgebung V ⊂ U mit V ⊂ g(V), somit V ⊂ g(V) ⊂ g^{2}(V) ⊂ … Da J kompakt ist und J ⊂ ⋃ g^{k}(V), gibt es ein m, so daß J ⊂ ⋃_{k=0}^{m} g^{k}(V) ⊂ g^{m}(V).

§ Fatoukomponenten

Sei b_{f}(z) = ν_{f}(z) − 1. Dann ist b_{f}(z) > 0 ⟺ z ist kritischer Punkt von f, und b_{f}(A) = ∑_{z∈A} b_{f}(z) ist die Anzahl der kritischen Punkte von f in A. Ist f : ℂ̂ → ℂ̂ rational vom Grad d > 0, so ist b_{f}(ℂ̂) = 2d − 2.

Trianguliert man eine kompakte Riemannsche Fläche X, so ist E − K + F, wobei E, K, F die Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen ist, unabhängig von der Triangulierung und eine topologische Invariante, die Euler–Charakteristik χ(X). Es gilt χ(X) = E − K + F = 2 − 2g, wobei das Geschlecht g gleich der Anzahl Henkel der geschlossenen Fläche X ist. Die Sphäre hat g = 0.

Sei G ein Gebiet in ℂ̂ und c(G) die Anzahl der Zusammenhangskomponenten von ℂ̂ \ G. Definiere die Euler–Charakteristik χ(G) = 2 − c(G).

Somit ist χ(ℂ̂) = 2 und für G ≠ ℂ̂ ist χ(G) die Zusammenhangszahl von G. G ≠ ℂ̂ einfach zusammenhängend ⟺ χ(G) = 1. G ≠ ℂ̂ ist m–fach zusammenhängend ⟺ ℂ̂ \ G besteht aus m Komponenten ⟺ ∂G besteht aus m Komponenten.

G Gebiet ⇒ \overline{G} zusammenhängend, und es gilt: \overline{G} ist zusammenhängend ⟺ jede Zusammenhangskomponente von ℂ̂ \ \overline{G} ist einfach zusammenhängend.

Sei f : G → H holomorph und N_{f}(w) = ∑{ν_{f}(z) : z ∈ f^{−1}(w)} die Anzahl der w–Stellen in G mit Vielfachheit. Ist N_{f} ≡ k < ∞ konstant in H, d.h. f ist surjektiv und jedes w ∈ H hat mit Vielfachheit gezählt genau k Urbilder in G, so schreibt man f : G ⟶^{k:1} H. Ist f : G → H holomorph und stetig auf \overline{G} ⊂ ℂ̂,

so gilt: f : G ⟶^{k:1} H ⟺ f(∂G) = ∂H in ℂ̂.

Satz 6.14 (Riemann–Hurwitz). Seien G, H Gebiete und f : G ⟶^{k:1} H, so gilt

χ(G) + b_{f}(G) = k · χ(H) .

Rationale Funktionen vom Grad d > 0 sind also Abbildungen ℂ̂ ⟶^{d:1} ℂ̂. Hier war immer d ≥ 2.

Zusammenhangskomponenten der Fatoumenge nennt man Fatoukomponenten.

Satz 6.15. Sind F_{0}, F_{1} Fatoukomponenten mit f(F_{0})∩F_{1} ≠ ∅, so gilt f(F_{0}) = F_{1}, und es gibt ein k ≤ d, so daß f : F_{0} ⟶^{k:1} F_{1} .

Beweis. f(F_{0}) ist zusammenhängend mit f(F_{0}) ⊂ F, somit f(F_{0}) ⊂ F_{1}. Weiter gilt ∂f(F_{0}) ⊂ f(∂F_{0}) ⊂ J. Nun ist f(F_{0}) offen, somit F_{1} \ f(F_{0}) relativ abgeschlossen in F_{1}. Gäbe es z ∈ F_{1} \f(F_{0}), so wäre ∂f(F_{0})∩F_{1} ≠ ∅. Allerdings ∂f(F_{0}) ⊂ J, also ∂f(F_{0}) ∩ F_{1} = ∅. Um f(∂F_{0}) = ∂f(F_{0}) = ∂F_{1} zu zeigen, bleibt noch f(∂F_{0}) ⊂ ∂f(F_{0}): Ist F_{0} ∋ z_{n} → z_{0} ∈ ∂F_{0}, so konvergiert f(z_{n}) ∈ f(F_{0}) gegen f(z_{0}) ∈ \overline{f(F_{0})}. Daher gilt f(∂F_{0}) ⊂ \overline{f(F_{0})}. Da f(F_{0}) offen ist, gilt ∂f(F_{0}) = \overline{f(F_{0})} \ f(F_{0}) und \overline{f(F_{0})} = ∂f(F_{0}) ˙∪f(F_{0}). Nun ist f(∂F_{0}) ⊂ J und f(F_{0}) ⊂ F, daher f(∂F_{0}) ⊂ \overline{f(F_{0})}\f(F_{0}) = ∂f(F_{0}).

Satz 6.16. Sei F_{0} eine vollständig invariante Fatoukomponente. Dann gilt ∂F_{0} = J, und jede andere Fatoukomponente ist einfach zusammenhängend.

Beweis. Es gilt ∂F_{0} ⊂ J. Nun ist \overline{F_{0}} vollständig invariant und abgeschlossen, also J ⊂ \overline{F_{0}}. Da J ∩ F_{0} = ∅, folgt J ⊂ F_{0}. Da \overline{F_{0}} zusammenhängend ist, ist jede Zusammenhangskomponente von ℂ̂ \ \overline{F_{0}} = F \ F_{0} einfach zusammenhängend.

Satz 6.17. Die Fatoumenge hat höchstens zwei vollständig invariante Zusammenhangskomponenten, und sind es zwei, so sind sie einfach zusammenhängend.

Beweis. Seien F_{1}, …, F_{m} vollständig invariante Fatoukomponenten, die paarweise disjunkt sind. Ist F_{j} vollständig invariant, d.h. f^{−1}(F_{j}) = F_{j}, so gilt

f : F_{j} ⟶^{d:1} F_{j} und b_{f}(F_{j}) = (d − 1)χ(F_{j}). Ist nun m ≥ 2, so sind F_{1}, …, F_{m−1}

einfach zusammenhängend wie auch F_{2}, …, F_{m}, also alle, und es gilt χ(F_{j}) = 1. Es folgt b_{f}(F_{j}) = d − 1 und

∑_{j=1}^{m} b_{f}(F_{j}) = m(d − 1) ≤ b_{f}(ℂ̂) = 2d − 2 ⇝ m ≤ 2 .

Satz 6.18. Die Fatoumenge hat 0, 1, 2 oder unendlich viele Komponenten.

Beweis. Besteht F aus endlich vielen Fatoukomponenten F_{j}, so gibt es ein n, so daß f^{n}(F_{j}) = F_{j} und somit auch (f^{n})^{−1}(F_{j}) = F_{j}. D.h. die F_{j} sind vollständig invariant unter f^{n}, daher gibt es dann höchstens zwei Fatoukomponenten von F (f) = F (f^{n}).

Definition. Eine Fatoukomponente U heißt periodisch, falls f^{n}(U) = U für ein n ≥ 1 und präperiodisch, falls f^{m}(U) periodisch wird für ein m ≥ 1. U heißt wanderndes Gebiet, falls U weder periodisch noch präperiodisch ist, d.h. falls f^{j}(U) ∩ f^{k}(U) = ∅ für alle j ≠ k.

Satz 6.19 (Sullivan). Eine rationale Funktion hat keine wandernden Gebiete.

Definition. Eine periodische Fatoukomponente U heißt

(i) (super-)anziehend, wenn U einen (super-)anziehenden periodischen Punkt enthält, der alle Punkte in U anzieht;

(ii) parabolisch, wenn es einen periodischen Punkt z ∈ ∂U gibt mit (f^{q})′(z) = 1 für ein q ≥ 1, der alle Punkte in U anzieht;

(iii) Rotationsgebiet, wenn f^{n} : U → U konjugiert ist zu einer irrationalen Drehung. Dabei ist U eine Siegelscheibe oder ein Hermanring, je nachdem, ob U zu einer Kreisscheibe oder zu einen Kreisring konform äquivalent ist.

Eine Siegelscheibe enthält einen irrational indifferenten periodischen Punkt. Bei Polynomen können Hermanringe nicht auftreten.

Ist C_{f} die Menge der kritischen Punkte von f, so ist P_{f} = \overline{∪_{n≥0}f^{n}(C_{f})} die postkritische Menge.

Satz 6.20. Ist U ein Rotationsgebiet, so gilt ∂U ⊂ P_{f}, und U ist entweder eine Siegelscheibe oder ein Hermanring.

Satz 6.21. Eine periodische Fatoukomponente ist entweder (super-)anziehend, parabolisch oder Rotationsgebiet. Es gilt ♯{periodische Komponenten} < ∞.

Super-anziehende, anziehende und parabolische Zyklen ziehen kritische Punkte an. Die Ränder von Rotationsgebieten liegen in der postkritischen Menge. Hat die Fatoumenge F zwei Komponenten, die vollständig invariant sind, dann enthält jede d − 1 kritische Punkte. Da jede Fatoukomponente periodisch wird, kann es keine weiteren Fatoukomponenten geben.

Sei λ = e^{2πiξ}, ξ ∈ (0, 1) \ ℚ, der Multiplikator eines irrational indifferenten Fixpunktes z. Dann liegt z in einer Siegelscheibe genau dann, wenn f linearisierbar ist in der Nähe von z. f ist linearisierbar nahe z, wenn sich ξ nur schlecht approximieren läßt durch rationale Zahlen: Es gibt c > 0 und μ < ∞, so daß

|ξ − \frac{p}{q}| ≥ \frac{c}{q^{μ}} für alle \frac{p}{q} ∈ ℚ .

Die Kettenbruchentwicklung ist

ξ = [a_{1}, a_{2}, a_{3}, …] = \frac{1}{a_{1} + \frac{1}{a_{2} + \frac{1}{a_{3} + ⋯}}}

mit natürlichen Zahlen a_{j}. Der goldene Schnitt (\sqrt{5} − 1)/2 = [1, 1, 1, …] ist am schlechtesten approximierbar.

Zu ξ = [a_{1}, a_{2}, a_{3}, …] seien \frac{p_{n}}{q_{n}} = [a_{1}, …, a_{n}].

Satz 6.22 (Brjuno). f ist linearisierbar in einer Umgebung eines irrational indifferenten Fixpunktes, wenn

∑_{n=1}^{∞} \frac{log q_{n+1}}{q_{n}} < ∞ .

Für quadratische Polynome gilt auch die Umkehrung (Yoccoz).

Ist f in keiner Umgebung des irrational indifferenten Fixpunktes z linearisierbar, so ist z ∈ J ein Cremerpunkt. Jeder Cremerpunkt ist nichtisoliert in P_{f}.

Satz 6.23. Ist jeder kritische Punkt von f präperiodisch, so ist J(f) = ℂ̂.

§ Quadratische Polynome und Mandelbrotmenge

Ein Polynom p : ℂ̂ → ℂ̂ vom Grad d ≥ 2 hat d − 1 kritische Punkte in ℂ, und der super-anziehende Fixpunkt ∞ ist ein (d − 1)–facher kritischer Punkt. A(∞) = {z ∈ ℂ̂ : f^{n}(z) → ∞} ist der Anziehungsbereich von ∞. A(∞) ist zusammenhängend, denn gäbe es eine beschränkte Komponente U ⊂ A(∞), dann folgte mit dem Maximumprinzip |p^{n}|_{U} = |p^{n}|_{∂U} ≤ |p^{n}|_{J}, doch die Iterierten eines Polynoms sind auf J beschränkt. Jede beschränkte Fatoukomponente ist einfach zusammenhängend, denn sonst gäbe es eine Umgebung V ⊂ ℂ̂ \ A(∞) mit V ∩ J ≠ ∅, auf der die Iterierten beschränkt wären. A(∞) ist vollständig invariant, somit J(p) = ∂A(∞). Die ausgefüllte Juliamenge K(p) = ℂ̂\A(∞) ist die Menge der Punkte, die unter Iteration beschränkt bleiben. Wiederum ist J(p) = ∂K(p).

Satz 6.24. Die Juliamenge J(p) ist zusammenhängend ⟺ A(∞) enthält keinen endlichen kritischen Punkt von p ⟺ jeder endliche kritische Punkt bleibt unter Iteration beschränkt ⟺ A(∞) ist einfach zusammenhängend.

Satz 6.25. Gilt p^{n}(z_{c}) → ∞ für jeden kritischen Punkt z_{c} ∈ C_{p}, so ist die Juliamenge J(p) total unzusammenhängend.

Sei p(z) = a_{d}z^{d} + … + a_{0} Polynom vom Grad d ≥ 2. R > 0 ist Fluchtradius, falls p^{n}(z) → ∞ für alle |z| > R. Zum Beispiel gilt dies für

R = \frac{1 + |a_{d}| + … + |a_{0}|}{|a_{d}|} .

Sei nun p(z) = αz^{2} + βz + γ ein quadratisches Polynom. Die kritischen Punkte von p sind ∞ und z_{c} = −\frac{β}{2α}. Die Juliamenge ist entweder zusammenhängend, wenn {p^{n}(z_{c})} beschränkt ist, oder total unzusammenhängend (Cantormenge).

Lemma 6.26. Die Juliamenge eines quadratischen Polynoms ist symmetrisch zum kritischen Punkt z_{c}.

Beweis. Sei p(z) = αz^{2} + βz + γ mit kritischen Punkt. z_{c} = −\frac{β}{2α}. Dann gilt

\begin{aligned}p(z_{c} + z) & = α (z^{2} − \frac{β}{α}z + \frac{β^{2}}{4α^{2}} ) + βz − \frac{β^{2}}{2α} + γ \\ & = αz^{2} − \frac{β^{2}}{4α} + γ = p(z_{c} − z) . \end{aligned}

Alternativ: w = αz^{2} + βz + γ hat zwei Lösungen

z_{1/2} = −\frac{β}{2α} ± \sqrt{\frac{β^{2}}{4α^{2}} + \frac{w − γ}{α}} = z_{c} ± \sqrt{z_{c}^{2} + \frac{w − γ}{α}} .

Daher hat jedes w ∈ J zwei Urbilder, die symmetrischen sind zum kritischen Punkt.

Jedes quadratische Polynom p(z) = αz^{2}+βz+γ ist konjugiert zu einem Polynom f_{c}(z) = z^{2} + c. Für φ(z) = αz + \frac{β}{2} ist φ ∘ p ∘ φ^{−1}(z) = z^{2} + c mit c = αγ + \frac{β}{2} − \frac{β^{2}}{4} . Der kritische Punkt von f_{c}(z) = z^{2} + c ist 0. Die Fixpunkte sind Lösungen μ, ν von f_{c}(z)−z = 0. Es gilt μ+ν = 1 und μν = c. Die Multiplikatoren sind λ_{μ} = f′_{c}(μ) und λ_{ν} = f′_{c}(ν) mit λ_{μ} + λ_{ν} = 2(μ + ν) = 2. Mindestens einer der Fixpunkte ist entweder abstoßend oder parabolisch und somit in beiden Fällen in J. (Der parabolische Fall ist c = 1/4 mit μ = ν = 1/2.)

Definition. Die Mandelbrotmenge M ist die Menge der Parameter c ∈ ℂ, für die die Juliamenge J(f_{c}) zusammenhängend ist.

Ein Fluchtradius für f_{c}(z) = z^{2} + c ist R_{c} = max{2, |c|}. Denn für |z| > R_{c} ist

\frac{|f_{c}(z)|}{|z|} = \frac{|z^{2} + c|}{|z|} ≥ |z| − \frac{|c|}{|z|} > |z| − 1 > 1 + δ ⇝ |f_{c}^{n}(z)| → ∞ .

Somit K(f_{c}) = {z ∈ ℂ : |f_{c}^{n}(z)| ≤ R_{c}}, und 0 ∈ K(f_{c}) ⟺ f_{c}^{n}(0) beschränkt;

c ∈ M ⟺ J(f_{c}) zusammenhängend ⟺ f_{c}^{n}(0) ↛ ∞ .

Für c ∉ M gilt f_{c}^{n}(0) → ∞ und J(f_{c}) = K(f_{c}).

Satz 6.27. M = \{c ∈ ℂ : |f_{c}^{n}(0)| ≤ 2 ∀ n\}, M ⊂ \overline{D}_{2} und −2 ∈ M.

Beweis. Zu zeigen ist, daß z_{n} = f_{c}^{n}(0) → ∞ , sobald |z_{n_{0}}| > 2 für ein n_{0}.

(i) Sei |c| > 2. Dann gilt |f_{c}(0)| = |c| und

|f_{c}^{2}(0)| = |c^{2} + c| ≥ |c|^{2} − |c| = |c|(|c| − 1) .

Zeige |f_{c}^{n}(0)| ≥ |c|(|c| − 1)^{2^{n−1}} > 2 durch Induktion:

|f_{c}^{n+1}(0)| = |[f_{c}^{n}(0)]^{2} + c| ≥ |f_{c}^{n}(0)|^{2} − |c|
≥ |c|^{2}(|c| − 1)^{2^{n}} − |c|
≥ |c|^{2}(|c| − 1)^{2^{n}} − |c|(|c| − 1)^{2^{n}}
= |c|(|c| − 1)^{2^{n}}(|c| − 1)
≥ |c|(|c| − 1)^{2^{n}} ,

somit |f_{c}^{n}(0)| → ∞ für |c| > 2 und c ∉ M. (ii) Sei nun |c| ≤ 2, jedoch |f_{c}^{n_{0}}(0)| = 2 + δ mit δ > 0 für ein n_{0} ≥ 2. Dann gilt

|f_{c}^{n_{0}+1}(0)| = |[f_{c}^{n_{0}}(0)]^{2} + c| ≥ |f_{c}^{n_{0}}(0)|^{2} − |c|
≥ |f_{c}^{n_{0}}(0)|^{2} − 2 = (2 + δ)^{2} − 2
= 2 + 4δ + δ^{2} ≥ 2 + 4δ .

Durch Induktion folgt |f_{c}^{n_{0}+k}(0)| ≥ 2 + 4^{k}δ ⟶ ∞ (k → ∞), d.h. c ∉ M. Für c = −2 gilt 0 ↦ −2 ↦ 2 ↦ 2, also −2 ∈ M.

Definiere q_{1}(c) = c, q_{n+1}(c) = [q_{n}(c)]^{2} + c, also q_{n}(c) = f_{c}^{n}(0). Wegen M = ⋂ q_{n}^{−1}(\overline{D}_{2}) ist M abgeschlossen und kompakt. M^{c} = ℂ̂ \ M = ⋃ q_{n}^{−1}(ℂ̂ \ \overline{D}_{2}) zeigt, daß M^{c} zusammenhängend ist, denn jede Komponente der offenen Menge q_{n}^{−1}(ℂ̂ \ \overline{D}_{2}) enthält den Punkt ∞, d.h. q_{n}^{−1}(ℂ̂ \ \overline{D}_{2}) ist zusammenhängend und alle Urbilder hängen über ∞ zusammen. M ist symmetrisch zur reellen Achse. Es gilt M ∩ ℝ = [−2, \frac{1}{4}].

Sei g_{c} : ℂ̂ \ K(f_{c}) → ℝ, g_{c}(z) = lim_{n→∞} \frac{log |f_{c}^{n}(z)|}{2^{n}} . So ist g_{c} Greensche Funktion

in ℂ̂ \ K(f_{c}) mit Pol in ∞, und es gilt g_{c}|_{J_{c}} = 0 und g_{c}(f_{c}(z)) = 2g_{c}(z).

Um ∞ gibt es eine Umgebung U, so daß f_{c} : U → U konjugiert ist zu ϕ_{c}∘f_{c}∘ϕ_{c}^{−1} : z ↦ z^{2}, wobei ϕ_{c} : U → V konform auf eine Umgebung von ∞ abbildet. Es gilt ϕ_{c}(f_{c}(z)) = [ϕ_{c}(z)]^{2} und g_{c}(z) = log |ϕ_{c}(z)| in U.

Es folgt weiter, daß es eine konforme Fortsetzung ϕ_{c} : Ω_{c} → ℂ̂ \ \overline{D}_{r_{c}} gibt, wobei r_{c} = e^{g_{c}(0)} und Ω_{c} = {z ∈ ℂ̂ : g_{c}(z) > g_{c}(0)}.

Ist f_{c}^{n}(0) ↛ ∞ beschränkt, d.h. J(f_{c}) zusammenhängend, so ist Ω_{c} = A(∞) und r_{c} = 1, und man hat die konforme Abbildung ϕ_{c} : ℂ̂ \ K(f_{c}) → ℂ̂ \ \overline{𝔻}.

Wenn f_{c}^{n}(0) → ∞, so ist g_{c}(0) > 0 und wegen g_{c}(c) = 2g_{c}(0) ist c ∈ Ω_{c}. Ist also c ∉ M, d.h. J(f_{c}) nicht zusammenhängend, so kann man Φ_{M}(c) := ϕ_{c}(c) definieren und zeigen, daß Φ_{M} : ℂ̂ \ M → ℂ̂ \ \overline{𝔻} konform ist.

Satz 6.28 (Douady/Hubbard). M ist kompakt und zusammenhängend, und es gibt eine konforme Abbildung Φ_{M} : ℂ̂ \ M → ℂ̂ \ \overline{𝔻}.

Für f_{c}(z) = z^{2} + c sind die Zyklen der Länge n Lösungen von f_{c}^{n}(z) − z = 0. Da auch Zyklen der Länge d dies erfüllen, falls d|n, muß man die periodischen Punkte mit Perioden d|n abziehen bzw. durch die Teiler f_{c}^{d}(z) − z dividieren. Damit kann man die Anzahl der Zyklen rekursiv bestimmen, wobei für gewisse c Zyklen zusammenfallen können, wenn (f_{c}^{n})′(z) = 1. f_{c} kann höchstens einen nicht–abstoßenden Zyklus haben.

Sei H = {c ∈ ℂ : f_{c} hat anziehenden Zyklus} ⊂ M^{∘}. H ist offen. Man nennt die Zusammenhangskomponenten hyperbolische Komponenten. Die Zyklenlänge in einer hyperbolischen Komponente W ist konstant. Für jedes c ∈ W hat f_{c} einen anziehenden Zyklus der Länge n. Sei λ(c) der zugehörige Multiplikator. Man kann zeigen, daß dadurch eine konforme Abbildung λ_{W} : W → 𝔻 definiert wird, die ein Homöomorphismus \overline{W} → \overline{𝔻} ist. Das Zentrum von W ist das c, für das λ_{W} (c) = 0 und f_{c} einen super-anziehenden Zyklus der Länge n hat.

Die Anzahl ν(n) der hyperbolischen Komponenten zur Periode n ermittelt man über die Anzahl der Zentren. Die Zentren zur Periode n sind Lösungen von q_{n}(c) = 0 modulo q_{d}(c) = 0 für d|n.

Lemma 6.29. Das Polynom q_{n} hat nur einfache Nullstellen.

Beweis. q_{n}(c) = [q_{n−1}(c)]^{2} + c, q_{1}(c) = c, ist ein normiertes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten. Die Nullstellen sind also ganzalgebraische Zahlen. Summen und Produkte sind wieder ganzalgebraisch. Zudem ist jede ganzalgebraische Zahl, die rational ist, eine ganze Zahl. Sei q_{n}(c) = 0, somit c ganzalgebraisch. Dann ist q′_{n−1}(c)q_{n−1}(c) ganzalgebraisch. Wenn jedoch auch q′_{n}(c) = 0, dann wäre q_{n−1}(c)q′_{n−1}(c) = −1/2 ∉ ℤ. Man kann auch die Diskriminante res(q_{n}, q′_{n}) = 1 + 2 · N ≠ 0 betrachten.

f_{c} kann höchstens einen anziehenden Fixpunkt (|λ| < 1) haben. Ein Fixpunkt μ von z ↦ z^{2} + c ist Lösung von z^{2} − z + c = 0, daher c = μ − μ^{2} = λ(2 − λ)/4, denn λ = 2μ. Ist μ anziehender Fixpunkt, so ist |λ| = 2|μ| < 1. Wegen

|\frac{f(z)−μ}{z−μ} | = |\frac{f(z)−f(μ)}{z−μ} | = |\frac{z^{2}−μ^{2}}{z−μ} | = |z + μ| = |z − μ + 2μ| ≤ |z − μ| + |λ|

wähle r = 1 − |λ| > 0. Für z ∈ D_{r}(μ) ist dann |z − μ| + |λ| < 1. Somit gibt es ϱ mit |z − μ| + |λ| < ϱ < 1. Es gilt nun |f^{n}(z) − μ| ≤ ϱ^{n}|z − μ| → 0. Der gesamte Anziehungsbereich A(μ) ist Jordangebiet, enthält z_{krit} = 0, und ∂A(μ) = J_{c}.

Die hyperbolische Komponente H_{0}, in der f_{c} einen anziehenden Fixpunkt hat, wird berandet von der Kurve

c_{0}(λ) = \frac{λ(2 − λ)}{4} , wobei λ = e^{2πit}, 0 ≤ t < 1 .

Die Juliamengen J(f_{c}) für c ∈ H_{0} sind Jordankurven. H_{0} = c_{0}(𝔻) enthält die Kreisscheibe D_{\frac{1}{2}} (−\frac{1}{4}) = \{|z + \frac{1}{4}| < \frac{1}{2}\}. c_{0}(1) = 1/4 ist die Wurzel der hyperbolischen Komponente H_{0}.

Sind p/q teilerfremd, so schließt sich bei c_{0}(e^{2πip/q}) eine Komponente H_{p/q} zur Länge q an. Den Übergang zur neuen Periode nennt man Bifurkation. Bei c_{0}(e^{2πi1/2}) = c_{0}(−1) = −3/4 schließt sich H_{1/2} an H_{0} an.

Ein anziehender periodischer Punkt z der Periode 2 erfüllt

f_{c}^{2}(z) − z = 0 & f_{c}(z) − z ≠ 0 und |(f_{c}^{2})′(z)| < 1 .
0 = f_{c}^{2}(z) − z = (z^{2} − z + c)(z^{2} + z + c + 1)
= (f_{c}(z) − z)(z − u)(z − v)
= (f_{c}(z) − z)(z^{2} − (u + v)z + uv)

Es folgt uv = c + 1, und {u, v} ist ein 2–Zyklus: f_{c}(u) = v, f_{c}(v) = u. Weiter gilt

(f_{c}^{2})′(u) = f′_{c}(f_{c}(u))f′_{c}(u) = f′_{c}(v)f′_{c}(u) = 4uv .

Daher |(f_{c}^{2})′(u)| < 1 ⟺ |4uv| < 1 ⟺ 4|c + 1| < 1 . Die hyperbolische Komponente H_{1/2} mit anziehenden 2–Zyklen ist \{c ∈ ℂ : |c + 1| < \frac{1}{4}\}.

Die Ränder der 3 hyperbolischen Komponenten zur Periode 3 werden beschrieben durch 0 = c^{3} + 2c^{2} + (1 − λ/8)c + (1 − λ/8)^{2} , λ = e^{2πit}. Der Wurzelpunkt auf der reellen Achse ist c = −\frac{7}{4}. Dort fallen zwei 3–Zyklen zusammen, (f_{c}^{3})′(z) = 1.

f_{c}(z) = z^{2} + c und g_{λ}(z) = λz(1 − z) sind konjugiert mit c = \frac{λ}{2} − \frac{λ^{2}}{4} . Für g_{λ} ist 0 ein Fixpunkt mit Multiplikator λ, und 1/2 ist der endliche kritische Punkt. Analog zur Mandelbrotmenge ist M_{λ} = {z ∈ ℂ : g_{λ}^{n}(1/2) ↛ ∞}. Das gleiche M_{λ} erhält man für h_{λ}(z) = z^{2} + λz, das den kritischen Punkt −λ/2 hat. Die Juliamengen J(g_{c}) und J(h_{c}) sind zusammenhängend genau dann, wenn J(f_{c}) zusammenhängend ist für c = \frac{λ}{2} − \frac{λ^{2}}{4} .

Satz 6.30. Sind für ein Polynom alle endlichen kritischen Punkte präperiodisch, so ist die Fatoumenge zusammenhängend und einfach zusammenhängend.

Die Juliamenge zu einem solchen Polynom nennt man Dendrit. Für quadratische Polynome z^{2} + c nennt man ein c, für das der kritische Punkt 0 präperiodisch ist, Misiurewiczpunkt. Diese Punkte gehören zur Mandelbrotmenge. Beispiele: J(z^{2} − 2) = [−2, 2]. Für z^{2} + i ist die Juliamenge ebenfalls ein Dendrit.

M ist lokal zusammenhängend ⟺ Ψ_{M} = Φ_{M}^{−1} : ℂ̂ \ \overline{𝔻} → ℂ̂ \ M hat stetige Fortsetzung auf ℂ̂ \ 𝔻, und es würde folgen M^{∘} = H.

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