(März 2013)

Verzerrungssatz für schlichte Funktionen

Sei G ein Gebiet. Eine Funktion f : G → ℂ heißt schlicht, wenn sie holomorph und injektiv ist. Eine Funktion f : G → H heißt konform, wenn sie schlicht und surjektiv ist. Für schlichte Funktionen f : G → ℂ gilt f′(z) ≠ 0. Eine Funktion f : G → ℂ heißt lokal schlicht, wenn jedes z ∈ G eine Umgebung U besitzt, so daß f|_{U} schlicht ist. Die Exponentialfunktion exp : ℂ → ℂ \ {0} z.B. ist lokal schlicht und exp′(z) ≠ 0 in ℂ. Allerdings ist sie nicht injektiv in ℂ. Ist f holomorph, so gilt: f′(z) ≠ 0 ⟺ ∃ Umgebung U von z: f|_{U} injektiv.

Allgemeiner kann man für schlichte Funktionen auch injektive meromorphe Funktionen zulassen. Ist also G ⊂ ℂ̂ ein Gebiet und f in G meromorph bzw. f : G → ℂ̂ eine holormophe Abbildung, dann ist f schlicht, wenn es injektiv ist. Daher hat f höchstens eine Polstelle und diese ist dann einfach.

Ist G einfach zusammenhängend, so sagt der Riemannsche Abbildungssatz, daß G konform äquivalent ist entweder zur Einheitskreisscheibe 𝔻 oder zur Ebene ℂ oder zur Sphäre ℂ̂. In den letzten beiden Fällen ist entweder G = ℂ̂ \ {p} für ein p ∈ ℂ̂ oder G = ℂ̂. In allen anderen Fällen gibt es also eine konforme Abbildung f : G → 𝔻. Zudem kann zu gegebenem z_{0} ∈ G noch f(z_{0}) = 0 und f′(z_{0}) > 0 gewählt werden. Die Inversen 𝔻 → G kann man auf folgende Weise normieren.

Sei

S = {f : 𝔻 → ℂ schlicht | f(0) = 0 , f′(0) = 1} .

Diese haben die Potenzreihenentwicklung f(z) = z + a_{2}z^{2} + a_{3}z^{3} + …

Der Verzerrungssatz von Koebe sagt aus, daß das Bild von |z| = r ebenso wie die Ableitung zwischen gewissen Schranken bleibt, die unabhängig von f in S gelten, d.h. für r < 1 gibt es C_{r} > 0, so daß für alle f ∈ S gilt

\frac{1}{C_{r}} ≤ |f′(z)| ≤ C_{r} , |z| ≤ r .

Damit gibt es eine Kreisscheibe um 0, die von allen f ∈ S überdeckt wird. Der größte Radius einer solchen Kreisscheibe wird auch Koebe–Konstante genannt. Koebe formulierte den Verzerrungssatz um das Jahr 1909 herum, z.B. in [Ko1], siehe auch [Ko2]. Genaue Abschätzungen folgten von Pick [Pi1] und Plemelj als auch Bieberbach [Bie] und Faber [Fa] für die Koebe–Konstante.

Sei Δ = {z ∈ ℂ̂ : |z| > 1} und

Σ = {g : Δ → ℂ̂ schlicht | g(∞) = ∞ , g′(∞) = 1} .

Dabei ist g′(∞) = res_{∞} g = lim_{z→∞} g(z)/z. Die Funktionen g ∈ Σ sind genau die schlichten Funktionen in Δ mit Laurentreihenentwicklung

g(z) = z + ∑_{j=0}^{∞} b_{j}z^{−j} .

Ist f ∈ S, so ist

\frac{1}{f(1/z)} = \frac{z}{1 + a_{2}z^{−1} + a_{3}z^{−2} + …}
= z(1 − a_{2}z^{−1} − a_{3}z^{−2} − … + (−a_{2}z^{−1} − a_{3}z^{−2} − …)^{2} + …)
= z − a_{2} + (a_{2}^{2} − a_{3})z^{−1} + …

in Σ und nullstellenfrei. Die nullstellenfreien Funktionen in Σ werden mit Σ′ bezeichnet. Ist g ∈ Σ′, so ist 1/g(1/z) = z − b_{0}z^{2} + (b_{0}^{2} − b_{1})z^{3} + … in S. Ist g ∈ Σ mit Nullstelle w_{0}, so ist 1/g(1/z) meromorph in 𝔻 mit einfacher Polstelle 1/w_{0}.

Beispiele.

Geometrische Reihe. Die Funktion f(z) = \frac{1}{1 − z} = ∑_{n=0}^{∞} z^{n} ist in S.

Koebe–Funktion. Die Koebe–Funktion k : 𝔻 → ℂ,

k(z) = \frac{z}{(1 − z)^{2}} = ∑_{n=1}^{∞} nz^{n} = \frac{1}{4}[(\frac{z + 1}{z − 1})^{2} − 1] = \frac{1}{4}([S(z)]^{2} − 1) ,

ist schlicht mit k(0) = 0 und k′(0) = 1. Es gilt k(𝔻) = ℂ\(−∞, −\frac{1}{4} ] . Da p(z) = z^{2} die linke Halbebene iℍ konform auf die geschlitzte Ebene ℂ_{−} = ℂ \ (−∞, 0] abbildet, und S(𝔻) = iℍ für S(z) = \frac{z+1}{z−1}, ist k : 𝔻 → ℂ \ (−∞, −\frac{1}{4} ] konform.

Es gibt eine stetige Fortsetzung k : \overline{𝔻} → ℂ̂ mit k(∂𝔻) = \{x ≤ −\frac{1}{4}\} ∪ \{∞\}, die jedoch nicht injektiv ist.

Weiter gilt k(1/z) = k(z) und 1/k(1/z) = z − 2 + z^{−1}.

Joukowski–Funktion. Sei Δ = ℂ̂ \ \overline{𝔻} und

g : ℂ̂ → ℂ̂ , g(z) = z + \frac{1}{z} = \frac{z^{2} + 1}{z} .

Dann gilt g(1/z) = g(z), und g|_{𝔻} : 𝔻 → ℂ̂ \ [−2, 2] und g|_{Δ} : Δ → ℂ̂ \ [−2, 2] sind konform. g bildet Kreise {|z| = r} auf Ellipsen ab mit den Brennpunkten −2 und 2 und Halbachsen r + 1/r und |r − 1/r|. Für r = 1 gilt g(∂𝔻) = [−2, 2].

Radiale Strahlen {re^{it} : r > 0} werden auf Hyperbeläste abgebildet.

w = z + \frac{1}{z} ⟺ \frac{w + 2}{w − 2} = (\frac{z + 1}{z − 1})^{2}

Für die Möbiustransformation S(z) = \frac{z + 1}{z − 1} , S(Δ) = \frac{1}{i}ℍ, gilt S^{−1} = S und g(z) = 2S([S(z)]^{2}). Weiter gilt S([−∞, 0]) = \{\frac{t−1}{t+1} : 0 ≤ t ≤ ∞\}. Für t > 0 ist t = e^{2s} und \frac{t−1}{t+1} = \frac{e^{s}−e^{−s}}{e^{s}+e^{−s}} = tanh s = 1 − \frac{2}{e^{2s}+1}. Damit folgt S([−∞, 0]) = [−1, 1] und

Δ ⟶^{S} \frac{1}{i}ℍ ⟶^{p} ℂ_{−} = ℂ̂ \ [−∞, 0] ⟶^{2S} ℂ̂ \ [−2, 2] .

Allgemein gilt: Ist g(z) = z + b_{0} + b_{1}z^{−1} mit |b_{1}| = 1, so ist ℂ̂ \ g(Δ) = [−2λ + b_{0}, 2λ + b_{0}], wobei λ^{2} = b_{1}. Ist g(z) = z + z^{−1}, so gilt 1/g(1/z) = z/(z^{2} + 1) und

\frac{z}{z^{2} + 1} = \frac{z}{1 − (−z^{2})} = z ∑_{n=0}^{∞}(−z^{2})^{n} = z − z^{3} + z^{5} − …

Satz (de Branges). Sei f ∈ S. Dann gilt |a_{n}| ≤ n für n ≥ 2. Für die Koebe–Funktion gilt a_{n} = n. Lemma 1. (a) Ist f ∈ S, so gibt es f̃ ∈ S mit f̃(z)^{2} = f(z^{2}) .

(b) Ist g ∈ Σ′, so gibt es g̃ ∈ Σ′ mit g̃(z)^{2} = g(z^{2}) . Ist g ∈ Σ und w ∉ g(Δ), so ist \sqrt{g(z^{2}) − w} = z+ \frac{1}{2}(b_{0}−w)z^{−1}+… eine ungerade Funktion in Σ′. Ebenso ist f̃(z) = \sqrt{f(z^{2})} = z + \frac{1}{2}a_{2}z^{3} + … ungerade. Satz 2 (Gronwall–Flächensatz). Für g ∈ Σ, g(z) = z + b_{0} + b_{1}z^{−1} + … gilt

area ℂ \ g(Δ) = π(1 − ∑_{n=1}^{∞} n|b_{n}|^{2}) und somit |b_{1}| ≤ 1 .

Lemma 3. Ist g ∈ Σ, g(z) = z+b_{0}+b_{1}z^{−1}+…, so gilt ℂ̂\g(Δ) ⊂ {|z−b_{0}| ≤ 2}. Satz 4 (Bieberbach [Bie]). Für f ∈ S gilt |a_{2}| ≤ 2 bzw. |f′′(0)| ≤ 4. Für f ∈ S und b ∉ f(𝔻) ist h(z) = \frac{bf(z)}{b−f(z)} = z + (a_{2} + \frac{1}{b})z^{2} + … ebenfalls in S. Da sowohl |a_{2}| ≤ 2 als auch |a_{2} + \frac{1}{b} | ≤ 2, folgt |\frac{1}{b} | ≤ 4 bzw. Satz 5 (Koebe \frac{1}{4}–Satz). f ∈ S ⇒ D_{\frac{1}{4}} (0) ⊂ f(𝔻) , d.h. das Bild von f enthält eine Kreisscheibe um 0 mit Radius 1/4.

Das Bild der Koebe–Funktion enthält keine größere Kreisscheibe um 0.

Da g(z) ∈ Σ′ ⇔ 1/g(1/z) ∈ S, folgt analog:

Lemma 6. Ist g ∈ Σ′, g(z) = z + b_{0} + b_{1}z^{−1} + …, so gilt |b_{0}| ≤ 2 und Δ_{4} = {z ∈ ℂ̂ : |z| > 4} ⊂ g(Δ).

Allgemein ist für g ∈ Σ und w ∉ g(Δ) die Quadrattransformierte \sqrt{g(z^{2}) − w} = z + \frac{1}{2}(b_{0} − w)z^{−1} + … in Σ′ und nach dem Flächensatz |b_{0} − w| ≤ 2.

Ist a ∈ 𝔻 und ϕ_{a}(z) = \frac{z−a}{\overline{a}z−1}, so ist ϕ_{a} ∈ Aut(𝔻) mit ϕ_{a}(0) = a, ϕ_{a}(a) = 0 und ϕ′_{a}(0) = |a|^{2} − 1 < 0. Für φ_{a}(z) = −ϕ_{−a}(z) = \frac{z+a}{1+\overline{a}z} gilt φ_{a}(0) = a, φ_{a}(−a) = 0 und φ′_{a}(0) = 1 − |a|^{2} > 0. Ist f : 𝔻 → ℂ schlicht und φ ∈ Aut(𝔻), so ist h(z) = \frac{f(φ(z))−f(ϕ(0))}{f′(φ(0))·φ′(0)} in S und

h′′(0) = \frac{f′′(φ(0))}{f′(φ(0))} · φ′(0) + \frac{φ′′(0)}{φ′(0)} .

Speziell für φ = φ_{a} gilt φ_{a}(0) = a, φ′_{a}(0) = 1 − |a|^{2} und φ′′_{a}(0) = −2\overline{a}(1 − |a|^{2}), daher

h′′(0) = \frac{f′′(a)}{f′(a)} · (1 − |a|^{2}) − 2\overline{a} für h(z) = \frac{f(\frac{z+a}{\overline{a}z+1}) − f(a)}{(1 − |a|^{2})f′(a)} .

Daraus folgt

|\frac{f′′(z)}{f′(z)} − \frac{2\overline{z}}{1 − |z|^{2}} | ≤ \frac{4}{1 − |z|^{2}} für z ∈ 𝔻 .

Satz 7 (Koebescher Verzerrungssatz). Sei f ∈ S. Dann gilt für z ∈ 𝔻

(a) \frac{1 − |z|}{(1 + |z|)^{3}} ≤ |f′(z)| ≤ \frac{1 + |z|}{(1 − |z|)^{3}} ,

(b) \frac{|z|}{(1 + |z|)^{2}} ≤ |f(z)| ≤ \frac{|z|}{(1 − |z|)^{2}} .

Dies kann auch mit der Koebe–Funktion ausgedrückt werden:

−k(−|z|) ≤ |f(z)| ≤ k(|z|) für f ∈ S .  (1)

Die meisten Beweise in den Lehrbüchern gehen zurück auf Nevanlinna [N]. Gilt umgekehrt Gleichheit, so ist f = k_{α} eine Rotation der Koebe–Funktion, wobei k_{α}(z) = e^{−iα}k(e^{iα}z). Die Koebe–Funktion k ist extremal.

Satz 8. Sei f : 𝔻 → ℂ schlicht und d_{f}(z) = d(f(z), ∂f(𝔻)). Dann gilt

\frac{1}{4}(1 − |z|^{2})|f′(z)| ≤ d_{f}(z) ≤ (1 − |z|^{2})|f′(z)| .

Beschränkte schlichte Funktionen

Sei S_{M} = {f ∈ S : |f(z)| < M} und f ∈ S_{M} mit f(z) = z + a_{2}z^{2} + … Es gilt M ≥ 1. Sei w_{0} = \frac{2}{M} e^{iα} und w = 1/z. Definiere

g(w) = \frac{1}{f(1/w)} + \frac{w_{0}^{2}}{4} f(1/w) = w − a_{2} + (a_{2}^{2} − a_{3})w^{−1} + … + \frac{w_{0}^{2}}{4} w^{−1} + …

Wäre g(w) = w_{0}, folgte f(z)^{2} − \frac{4}{w_{0}} f(z) + \frac{4}{w_{0}^{2}} = 0, d.h. f(z) = 2/w_{0}, jedoch |f(z)| < M. � Daher gilt g(w) ≠ w_{0} für w ∈ Δ. Weiter ist b_{0} = −a_{2}, wenn g(w) = w + b_{0} + b_{1}w^{−1} + …

g̃(w) = \sqrt{g(w^{2}) − w_{0}} = \sqrt{\frac{1}{f(z^{2})} − w_{0} + \frac{w_{0}^{2}}{4} f(z^{2})}

= \sqrt{(\frac{1}{\sqrt{f(z^{2})}} − \frac{w_{0}}{2} \sqrt{f(z^{2})})^{2}} = \frac{1}{\sqrt{f(z^{2})}} − \frac{w_{0}}{2} \sqrt{f(z^{2})}

= \frac{1}{f̃(z)} − \frac{w_{0}}{2} f̃(z) , wobei f̃(z) = \sqrt{f(z^{2})}

⇝ g̃(w) = w + \frac{b_{0} − w_{0}}{2} w^{−1} + … = w − \frac{a_{2} + w_{0}}{2} w^{−1} + ….

Da g̃ ∈ Σ′, folgt \frac{|a_{2} + w_{0}|}{2} ≤ 1. Wählt man nun α so, daß |a_{2} + w_{0}| = |a_{2}| + |w_{0}|, so folgt |a_{2}| ≤ 2 − |w_{0}|, d.h.

|a_{2}| ≤ 2(1 − \frac{1}{M} ) für f ∈ S_{M} .  (2)

Sei wieder S(z) = \frac{z+1}{z−1} und T (z) = \frac{1+z}{1−z} = −S(z). Dann gilt S^{−1} = S und T^{−1}(z) = 1/S(z). Da S(z)^{2} = T (z)^{2}, gilt k(z) = \frac{1}{4}(S(z)^{2} − 1) = \frac{1}{4}(T (z)^{2} − 1). Nun galt k(z) = k(1/z). Daher gibt es Inverse

\begin{aligned}k_{𝔻}^{−1} & : ℂ \ ( − ∞, −\frac{1}{4}] → 𝔻 , k_{𝔻}^{−1}(w) = T^{−1}(\sqrt{4w + 1} ) \\ k_{Δ}^{−1} & : ℂ \ ( − ∞, −\frac{1}{4}] → Δ , k_{Δ}^{−1}(w) = S(\sqrt{4w + 1} ) . \end{aligned}

Insbesondere ist k_{𝔻}^{−1}(w) = \frac{\sqrt{4w + 1} − 1}{\sqrt{4w + 1} + 1} = \frac{2w+1−\sqrt{4w+1}}{2w}. Sei nun 0 < r ≤ 1. Da

rk(𝔻) = ℂ \ ( − ∞, −\frac{r}{4}], ist k_{𝔻}^{−1}(rk(𝔻)) = 𝔻 \ k_{𝔻}^{−1}( − \frac{1}{4}, −\frac{r}{4}]. Für r ≤ ϱ < 1 erhält man

k_{𝔻}^{−1}(−ϱ/4) = \frac{\sqrt{1 − ϱ} − 1}{\sqrt{1 − ϱ} + 1} = \frac{ϱ − 2 + 2\sqrt{1 − ϱ}}{ϱ} , k_{𝔻}^{−1}(−1/4) = −1 .

Sei nun p_{\frac{1}{M}} (z) = k_{𝔻}^{−1}(\frac{1}{M} k(z)) und q_{M} = M · p_{\frac{1}{M}}. Dann ist

p_{\frac{1}{M}} : 𝔻 → 𝔻 \ (−1, −m) , wobei m = \frac{1 − \sqrt{1 − \frac{1}{M}}}{1 + \sqrt{1 − \frac{1}{M}}} = \frac{\sqrt{M} − \sqrt{M − 1}}{\sqrt{M} + \sqrt{M − 1}} ,

konform mit p_{\frac{1}{M}} (0) = 0 und p′_{\frac{1}{M}} (0) = 1/M. Bezeichnet D_{M} = \{|z| < M\}, so ist demnach q_{M} : 𝔻 → D_{M} \ (−M, −mM) konform und in S_{M}. Die Funktionen p_{\frac{1}{M}} bzw. q_{M} heißen auch Pick–Funktionen. Es gilt p_{\frac{1}{M}} (1) = 1 und

−p_{\frac{1}{M}} (−1) = m = M(1 − \sqrt{1 − \frac{1}{M}} )^{2} = \frac{1}{M(1 + \sqrt{1 − \frac{1}{M}} )^{2}} .

Weiter gilt p′′_{r}(0) = 4r(1 − r) und q′′_{M}(0) = 4(1 − \frac{1}{M} ).

Da f : 𝔻 → D_{M}, betrachte nun die schlichte Funktion f̂ = M · k_{α}(\frac{1}{M} f(z)),

f̂: 𝔻 → ℂ \ ( − ∞, −\frac{M}{4} ] .

Da f̂(0) = 0 und f̂′(0) = 1, ist f̂ ∈ S. Es gilt

f̂(z) = M · k_{α}(\frac{1}{M} f(z)) = \frac{f(z)}{(1 − e^{iα} \frac{f(z)}{M})^{2}} = \frac{M^{2}f(z)}{(M − e^{iα}f(z))^{2}}

und nach Satz 7 gilt für alle α ∈ ℝ

\frac{|z|}{(1 + |z|)^{2}} ≤ |f̂(z)| = \frac{M^{2}|f(z)|}{|M − e^{iα}f(z)|^{2}} ≤ \frac{|z|}{(1 − |z|)^{2}} .

Nun kann man α = α_{1} so wählen, daß |M − e^{iα_{1}}f(z)| = M + |f(z)| ≥ M − |f(z)| oder α = α_{2} mit |M − e^{iα_{2}}f(z)| = M − |f(z)| ≤ M + |f(z)|. Es folgt

\frac{|z|(M + |f(z)|)^{2}}{M^{2}(1 + |z|)^{2}} ≤ |f(z)| ≤ \frac{|z|(M − |f(z)|)^{2}}{M^{2}(1 − |z|)^{2}} .

Setze r = |z|,

(\frac{M + |f(z)|}{M(1 + r)})^{2} ≤ \frac{|f(z)|}{r} ≤ (\frac{M − |f(z)|}{M(1 − r)})^{2} .

Für a = \sqrt{|f(z)|/M} und s_{1} = \frac{\sqrt{M}}{2\sqrt{r}} (1 + r) , s_{2} = \frac{\sqrt{M}}{2\sqrt{r}} (1 − r) folgt aus

\frac{1}{a} + a ≤ \sqrt{\frac{M}{r}} + \sqrt{rM} und \sqrt{\frac{M}{r}} − \sqrt{rM} ≤ \frac{1}{a} − a

⇝ s_{1} − \sqrt{s_{1}^{2} − 1} ≤ a ≤ −s_{2} + \sqrt{s_{2}^{2} + 1}
2s_{1}^{2} − 1 − 2s_{1}\sqrt{s_{1}^{2} − 1} ≤ a^{2} ≤ 2s_{2}^{2} + 1 + 2s_{2}\sqrt{s_{2}^{2} + 1} .

Einsetzen ergibt die Ungleichung

\frac{(1 + r) − \sqrt{(1 + r)^{2} − 4\frac{r}{M}}}{(1 + r) + \sqrt{(1 + r)^{2} − 4\frac{r}{M}}} ≤ \frac{|f(z)|}{M} ≤ \frac{\sqrt{(1 − r)^{2} + 4\frac{r}{M}} − (1 − r)}{\sqrt{(1 − r)^{2} + 4\frac{r}{M}} + (1 − r)}

oder mit der Pick–Funktion ausgedrückt

−q_{M}(−|z|) ≤ |f(z)| ≤ q_{M}(|z|) für f ∈ S_{M} .  (3)

Dies wurde auch in [N] behandelt. Weiter gilt d(0, ∂f(𝔻)) ≥ (1 + \sqrt{1 − \frac{1}{M}} )^{−2} .

Der Verzerrungssatz (3) und die Abschätzung (2) gehen zurück auf Pick [Pi2]. Dort wird mit der hyperbolischen Metrik in Kreisscheiben gearbeitet:

Statt S_{M} kann man auch die schlichten Funktionen f : 𝔻 → 𝔻 betrachten mit f(0) = 0 und f′(0) = b, wobei 0 < b ≤ 1. Diese werden mit S_{b} bezeichnet.

Ist F ∈ S_{M}, so gilt für f = \frac{1}{M} F : 𝔻 → 𝔻, f(0) = 0 und f′(0) = 1/M. Mit folgendem Lemma folgt M ≥ 1.

Lemma 9. Ist f : 𝔻 → 𝔻 holomorph, so gilt |f′(0)| ≤ 1 und

|f′(z)| ≤ \frac{1 − |f(z)|^{2}}{1 − |z|^{2}} .

Beweis. Für 0 < r < 1 gilt

f′(0) = \frac{1}{2πi} ∫_{|ζ|=r} \frac{f(ζ)}{ζ^{2}} dζ , |f′(0)| ≤ \frac{2πr}{2π} max_{|ζ|=r} \frac{|f(ζ)|}{|ζ|^{2}} < \frac{1}{r} → 1 (r → 1) ,

somit |f′(0)| ≤ 1 . Für a ∈ 𝔻 sei ϕ_{a}(z) = \frac{z − a}{\overline{a}z − 1}. Definiere h = ϕ_{f(a)} ∘ f ∘ ϕ_{a}.

Wegen h : 𝔻 → 𝔻 gilt |h′(0)| ≤ 1. Zudem ist

h′(0) = ϕ′_{f(a)}(f(a)) · f′(a) · ϕ′_{a}(0) = \frac{1 − |a|^{2}}{1 − |f(a)|^{2}} · f′(a) .

Sei nun f : 𝔻 → 𝔻 holomorph und dσ = \frac{δ_{0} |dz|}{1 − |z|^{2}} die hyperbolische Metrik in

𝔻, wobei δ_{0} = 1. (Manchmal wird auch δ_{0} = 2 gesetzt.) Ist f(z) = w und

dη = \frac{δ_{0} |dw|}{1 − |w|^{2}} = \frac{δ_{0}|f′(z)| |dz|}{1 − |f(z)|^{2}}, so definiere

\frac{dη}{dσ} = \frac{1 − |z|^{2}}{1 − |f(z)|^{2}} |f′(z)| =: τ_{f}(z) .

Es gilt 0 ≤ τ_{f}(z) ≤ 1.

Sei γ : [0, 1] → 𝔻 ein Weg. Dann gilt für die hyperbolische Länge L_{h}

L_{h}(f(γ)) = ∫_{f∘γ} dη = ∫_{γ} \frac{dη}{dσ} dσ = ∫_{γ} τ_{f} dσ ≤ ∫_{γ} dσ = L_{h}(γ)

Die Geodätischen sind Verbindungen entlang Orthokreisbögen, d.h. Kreisbögen, die ∂𝔻 orthogonal schneiden. Die Geodätische von 0 zu einem Punkt z ∈ 𝔻 ist demnach die Strecke [0, z]. Da L_{h} invariant bzgl. Aut(𝔻) ist, ist L_{h}([0, z]) = L_{h}([0, |z|]) und |dζ| = d|ζ| in [0, |z|],

δ(0, z) = ∫_{[0,z]} dσ = ∫_{[0,|z|]} \frac{δ_{0} dr}{1 − r^{2}} = \frac{δ_{0}}{2} log \frac{1 + |z|}{1 − |z|} .

Sei nun f ∈ S_{b}, somit f : 𝔻 → 𝔻 schlicht und f(0) = 0. Dann gilt

\frac{d}{dz} |f(z)|^{2} = f′(z)\overline{f(z)} , \frac{d}{dz} |f′(z)| = \frac{f′′(z)\overline{f′(z)}}{2|f′(z)|}

und

τ′_{f}(z) = \frac{d}{dz}τ_{f}(z) = ( − \frac{\overline{z}}{1 − |z|^{2}} + \frac{f′(z)\overline{f(z)}}{1 − |f(z)|^{2}} + \frac{f′′(z)}{2f′(z)})τ_{f}(z) ,

insbesondere

τ′_{f}(0) = \frac{f′′(0)}{2f′(0)}τ_{f}(0) = \frac{f′′(0)}{2} \frac{|f′(0)|}{f′(0)} , |τ′_{f}(0)| = \frac{|f′′(0)|}{2} .

Wegen τ_{f} = \overline{τ_{f}} gilt \frac{dτ_{f}}{d\overline{z}} = \overline{τ′_{f}} und

\frac{dτ_{f}}{|dz|} = \frac{dτ_{f}}{dz} \frac{dz}{|dz|} + \frac{dτ_{f}}{d\overline{z}} \frac{d\overline{z}}{|dz|} = τ′_{f} \frac{dz}{|dz|} + \overline{τ′_{f}} \frac{d\overline{z}}{|dz|} .

Weiter ist

\frac{dτ_{f}}{dσ} (z) = \frac{1 − |z|^{2}}{δ_{0}} \frac{dτ_{f}}{|dz|}(z) .

Speziell für z = 0 ergibt sich

\frac{dτ_{f}}{|dz|}(0) = \frac{τ_{f}(0)}{2} (\frac{f′′(0)}{f′(0)} \frac{dz}{|dz|} + \frac{\overline{f′′(0)}}{\overline{f′(0)}} \frac{d\overline{z}}{|dz|}) = τ_{f}(0) · Re (\frac{f′′(0)}{f′(0)} \frac{dz}{|dz|}) ,

|\frac{dτ_{f}}{|dz|}(0)| ≤ τ_{f}(0) |\frac{f′′(0)}{f′(0)}| = |f′′(0)| .

Da f(z) = a_{1}z + a_{2}z^{2} + … ∈ S_{b} , ist f/a_{1} ∈ S_{M} mit M ≥ |a_{1}|. Daraus folgt |a_{2}| ≤ 2|a_{1}|(1 − |a_{1}|). Nun ist τ_{f}(0) = |f′(0)| = |a_{1}| und |f′′(0)| = 2|a_{2}|. Daher

|τ′_{f}(0)| = |a_{2}| ≤ 2τ_{f}(0)(1 − τ_{f}(0)) , |\frac{dτ_{f}}{|dz|}(0)| ≤ 4τ_{f}(0)(1 − τ_{f}(0)) .

Sei φ_{z_{0}}(z) = \frac{z + z_{0}}{1 + \overline{z_{0}}z} und ψ_{w_{0}}(z) = \frac{z − w_{0}}{1 − \overline{w_{0}}z} = φ_{−w_{0}}(z).

Zu f(z_{0}) = w_{0} definiere h = ψ_{w_{0}} ∘ f ∘ φ_{z_{0}}. Dann gilt h(0) = 0 und

h′(0) = \frac{1 − |z_{0}|^{2}}{1 − |f(z_{0})|^{2}} f′(z_{0}) .

Es gilt τ_{h}(0) = τ_{f}(z_{0}) und τ′_{h}(0) = (1 − |z_{0}|^{2}) τ′_{f}(z_{0}) . Damit folgt

\begin{aligned}|\frac{dτ_{h}}{|dz|}(0)| & ≤ 4τ_{h}(0)(1 − τ_{h}(0)) , \\ (1 − |z_{0}|^{2}) |\frac{dτ_{f}}{|dz|}(z_{0})| & ≤ 4τ_{f}(z_{0})(1 − τ_{f}(z_{0})) . \end{aligned}

Daher

|\frac{dτ_{f}}{dσ} | ≤ \frac{4}{δ_{0}} τ_{f}(1 − τ_{f}) .  (4)

Umstellen ergibt

|\frac{\frac{dτ_{f}}{dσ}}{τ_{f}(1 − τ_{f})}| ≤ \frac{4}{δ_{0}} , \frac{\frac{dτ_{f}}{dσ}}{τ_{f}(1 − τ_{f})} = \frac{d}{dσ} log \frac{τ_{f}}{1 − τ_{f}} ,

also

−\frac{4}{δ_{0}} ≤ \frac{d}{dσ} log \frac{τ_{f}}{1 − τ_{f}} ≤ \frac{4}{δ_{0}} .  (5)

Sei γ : [0, 1] → 𝔻 der Weg von z_{0} nach z_{1} und γ_{z} = γ|_{[0,t]} das Teilstück bis γ(t) = z. Setze τ_{f} = τ und τ_{f}(z_{0}) = τ_{0}. Definiere

σ_{γ}(z) = ∫_{γ_{z}} dσ = L_{h}(γ_{z}) .

Es gilt

∫_{γ_{z}} \frac{d}{dσ} log \frac{τ}{1 − τ} dσ = ∫_{γ_{z}} d log \frac{τ}{1 − τ} = log \frac{τ(z)}{1 − τ(z)} − log \frac{τ_{0}}{1 − τ_{0}} .

Integrieren von (5) liefert also

−\frac{4}{δ_{0}} σ(z) ≤ log \frac{τ(z)}{1 − τ(z)} − log \frac{τ_{0}}{1 − τ_{0}} ≤ \frac{4}{δ_{0}} σ(z)

bzw. (0 ≤ τ ≤ 1)

\frac{τ_{0}e^{− \frac{4σ(z)}{δ_{0}}}}{1 − τ_{0}} ≤ \frac{τ(z)}{1 − τ(z)} ≤ \frac{τ_{0}e^{\frac{4σ(z)}{δ_{0}}}}{1 − τ_{0}} .

Nach τ(z) aufgelöst

\frac{τ_{0}e^{− \frac{4σ(z)}{δ_{0}}}}{1 − τ_{0} + τ_{0}e^{− \frac{4σ(z)}{δ_{0}}}} ≤ τ(z) ≤ \frac{τ_{0}e^{\frac{4σ(z)}{δ_{0}}}}{1 − τ_{0} + τ_{0}e^{\frac{4σ(z)}{δ_{0}}}} .  (6)

Die linke Seite ist

−\frac{δ_{0}}{4} \frac{d}{dσ} log (1 − τ_{0} + τ_{0}e^{− \frac{4σ}{δ_{0}}} ) = \frac{τ_{0}e^{− \frac{4σ}{δ_{0}}}}{1 − τ_{0} + τ_{0}e^{− \frac{4σ}{δ_{0}}}} .

Nochmaliges Integrieren von (6) ergibt

− log (1 − τ_{0} + τ_{0}e^{− \frac{4σ(z)}{δ_{0}}} ) ≤ \frac{4}{δ_{0}} ∫_{γ_{z}} τ_{f} dσ ≤ log (1 − τ_{0} + τ_{0}e^{\frac{4σ(z)}{δ_{0}}} ) .

Dabei ist analog zu σ(z) die Länge von f(γ_{z})

∫_{γ_{z}} τ_{f} dσ = ∫_{f(γ_{z})} dη = η(z) ,

folglich

\frac{1}{1 − τ_{0} + τ_{0}e^{− \frac{4σ(z)}{δ_{0}}}} ≤ e^{\frac{4η(z)}{δ_{0}}} ≤ 1 − τ_{0} + τ_{0}e^{\frac{4σ(z)}{δ_{0}}} .  (7)

Sei Γ_{a,b} die Geodätische von a nach b. Dann gilt L_{h}(Γ_{z_{0},z}) ≤ L_{h}(γ_{z}) = σ_{γ}(z) und L_{h}(Γ_{f(z_{0}),f(z)}) ≤ L_{h}(f(γ_{z})) = η(z), insbesondere L_{h}(Γ_{f(z_{0}),f(z)}) ≤ L_{h}(f(Γ_{z_{0},z})). Für die Abschätzung nach oben erhält man mit δ(z_{0}, z) = L_{h}(Γ_{z_{0},z})

e^{\frac{4δ(f(z_{0}),f(z))}{δ_{0}}} ≤ e^{\frac{4L_{h}(f(Γz_{0},z))}{δ_{0}}} ≤ 1 − τ_{0} + τ_{0}e^{\frac{4δ(z_{0},z)}{δ_{0}}} .

Für die Abschätzung nach unten muß beachtet werden, daß die Geodätische Γ_{f(z_{0}),f(z)} nicht in f(𝔻) liegen muß. Deshalb gibt es im allgemeinen kein Urbild von Γ_{f(z_{0}),f(z)} unter f.

Sei dazu z_{0} = 0 und somit f(z_{0}) = 0. Die Geodätischen durch 0 sind euklidische Geraden, d.h. Γ_{0,z} = [0, z]. Für r < 1 und |z| = r betrachte nun das Bild f(C_{r}) der Kreislinie C_{r} = {|z| = r}. Ist z_{r} ∈ C_{r} ein Punkt, für den der Abstand zu 0 minimal wird, d.h. |f(z_{r})| = min_{C_{r}} |f(z)|, dann liegt auch die Strecke [0, f(z_{r})] ⊂ f(\overline{D}_{r}) im Bild von f. Für das Urbild γ̃_{r} = f^{−1}([0, f(z_{r})]) gilt dann L_{h}(γ̃_{r}) ≥ L_{h}([0, z_{r}]) = L_{h}([0, r]) und man erhält

\frac{1}{1 − τ_{0} + τ_{0}e^{− \frac{4δ(0,zr)}{δ_{0}}}} ≤ \frac{1}{1 − τ_{0} + τ_{0}e^{− \frac{4L_{h}(f^{−1}([0,f(zr)]))}{δ_{0}}}} ≤ e^{\frac{4δ(0,f(zr))}{δ_{0}}} .

Zusammen mit der oberen Abschätzung ergibt dies

\frac{1}{1 − τ_{0} + τ_{0}e^{− \frac{4}{δ_{0}} δ(0,z_{r})}} ≤ e^{\frac{4}{δ_{0}} δ(0,f(z_{r}))} ≤ 1 − τ_{0} + τ_{0}e^{\frac{4}{δ_{0}} δ(0,z_{r})} .

Nun gilt δ(0, z_{r}) = δ(0, z) und δ(0, f(z_{r})) ≤ δ(0, f(z)) für |z| = r, also

\frac{1}{1 − τ_{0} + τ_{0}e^{− \frac{4}{δ_{0}} δ(0,z)}} ≤ e^{\frac{4}{δ_{0}} δ(0,f(z))} ≤ 1 − τ_{0} + τ_{0}e^{\frac{4}{δ_{0}} δ(0,z)} .  (8)

Es gilt τ_{0} = τ_{f}(0) = |f′(0)| = b = 1/M und

\frac{4}{δ_{0}} δ(0, z) = 2 log \frac{1 + |z|}{1 − |z|}  ,  \frac{4}{δ_{0}} δ(0, f(z)) = 2 log \frac{1 + |f(z)|}{1 − |f(z)|} .

Einsetzen in (8) liefert

\frac{1}{1 − \frac{4b|z|}{(1+|z|)^{2}}} ≤ (\frac{1 + |f(z)|}{1 − |f(z)|})^{2} ≤ 1 + \frac{4b|z|}{(1 − |z|)^{2}} .

Auflösen nach |f(z)|:

\frac{1 − \sqrt{1 − \frac{4b|z|}{(1+|z|)^{2}}}}{1 + \sqrt{1 − \frac{4b|z|}{(1+|z|)^{2}}}} ≤ |f(z)| ≤ \frac{\sqrt{1 + \frac{4b|z|}{(1−|z|)^{2}}} − 1}{\sqrt{1 + \frac{4b|z|}{(1−|z|)^{2}}} + 1} .  (9)

Mit der Pick–Funktion p_{b}(z) = k_{𝔻}^{−1}(bk(z)) ausgedrückt (vgl. (3))

−p_{b}(−|z|) ≤ |f(z)| ≤ p_{b}(|z|) für f ∈ S_{b} .  (10)

Für |z| → 1 erhält man d(0, ∂f(𝔻)) ≥ \frac{1}{b}(1 − \sqrt{1 − b} )^{2} = b(1 + \sqrt{1 − b} )^{−2} .

Loewner–Theorie

Sei γ : [0, t_{0}] → \overline{𝔻} ein Jordanbogen mit γ([0, t_{0})) ⊂ 𝔻 und γ(t_{0}) ∈ ∂𝔻. Ist 0 ∉ γ, so gibt es eine konforme Abbildung f : 𝔻 → 𝔻 \ γ mit f(0) = 0 und f′(0) > 0. Ist f′(0) = b, so ist f ∈ S_{b}. Eine solche Abbildung in S_{b}, die als Bildgebiet 𝔻 \ γ hat, nennt man Schlitzabbildung. Die Menge der Schlitzabbildungen in S_{b} sollen mit S′_{b} bezeichnet werden. S′_{b} ⊂ S_{b} liegt dicht.

Sei weiter γ_{t} = γ|_{[t,t_{0}]} eine stetige Verkürzung des Jordanbogens γ und D_{t} = 𝔻\γ_{t}. Es gilt D_{0} = 𝔻\γ und D_{t_{0}} = 𝔻. Wegen f(0) = 0 ist 0 ∈ D_{t}, und es gibt konforme Abbildungen g_{t} : 𝔻 → D_{t} mit g_{t}(0) = 0 und g′_{t}(0) > 0. Die Abbildungen

f_{t} = g_{t}^{−1} ∘ f : 𝔻 → 𝔻 \ g_{t}^{−1}(γ|_{[0,t)})

sind ebenfalls Schlitzabbildungen. Für t = 0 ist g_{0} : 𝔻 → 𝔻 \ γ konform und g′_{0}(0) > 0 ebenso wie für f. Somit muß g_{0} = f und f_{0}(z) = z sein. Andererseits ist g_{t_{0}} : 𝔻 → 𝔻, g_{t_{0}} = id, also f_{t_{0}} = f. Man kann g_{t} bzw. γ_{t} so parametrisieren, daß f′_{t}(0) = e^{−t} und somit f_{t} ∈ S′_{e^{−t}} und e^{−t_{0}} = b. Die Loewner–Theorie besagt nun, daß f(z, t) = f_{t}(z) eine Differentialgleichung erfüllt.

Satz 10. Ist f ∈ S′_{b}, so gibt es eine stetige Funktion u : [0, t_{0}] → ℝ, so daß

\frac{d}{dt}f(z, t) = −f(z, t) \frac{e^{iu(t)} + f(z, t)}{e^{iu(t)} − f(z, t)} .

Für den Realteil der Loewner–Differentialgleichung für f ∈ S′_{b} gilt

Re (\frac{d}{dt} log f_{t}) = \frac{d}{dt} log |f_{t}| = −\frac{1 − |f_{t}|^{2}}{|e^{iu} − f_{t}|^{2}} ⇝ d log |f_{t}| = −\frac{1 − |f_{t}|^{2}}{|e^{iu} − f_{t}|^{2}} dt .

Nun gilt (1 − |f_{t}|)^{2} ≤ |e^{iu} − f_{t}|^{2} ≤ (1 + |f_{t}|)^{2} und

\frac{1 − |f_{t}|}{1 + |f_{t}|} = \frac{1 − |f_{t}|^{2}}{(1 + |f_{t}|)^{2}} ≤ \frac{1 − |f_{t}|^{2}}{|e^{iu} − f_{t}|^{2}} ≤ \frac{1 − |f_{t}|^{2}}{(1 − |f_{t}|)^{2}} = \frac{1 + |f_{t}|}{1 − |f_{t}|} .

Wegen

d log k_{α}(|w|) = \frac{1 + e^{iα}|w|}{1 − e^{iα}|w|} d log |w|

folgt

\frac{1 − |f_{t}|}{1 + |f_{t}|} d log k_{0}(|f_{t}|) = d log |f_{t}| = \frac{1 + |f_{t}|}{1 − |f_{t}|} d log k_{π}(|f_{t}|) ;

d log k_{0}(|f_{t}|) = \frac{1 + |f_{t}|}{1 − |f_{t}|} d log |f_{t}| = −\frac{1 + |f_{t}|}{1 − |f_{t}|} \frac{1 − |f_{t}|^{2}}{|e^{iu} − f_{t}|^{2}} dt ≤ −dt
und analog d log k_{π}(|f_{t}|) ≥ −dt .

Integriert man über [0, t_{0}], so erhält man

log k_{0}(|f(z, t)|)|_{0}^{t_{0}} ≤ − ∫_{0}^{t_{0}} dt = −t_{0} = log b und

\frac{k_{0}(|f(z, t_{0})|)}{k_{0}(|z|)} ≤ b ≤ \frac{k_{π}(|f(z, t_{0})|)}{k_{π}(|z|)} .

Umstellen liefert das bekannte Ergebnis

−p_{b}(−|z|) = k_{π}^{−1}(bk_{π}(|z|)) ≤ |f(z)| ≤ k_{0}^{−1}(bk_{0}(|z|)) = p_{b}(|z|) , das wegen der Dichtheit auch für f ∈ S_{b} gilt.

Literatur

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[Fa] G. Faber: Neuer Beweis eines Koebe–Bieberbachschen Satzes über konforme Abbildung. S.-B. Bayer. Akad. Wiss. München (1916), 39–42.

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[Ko2] P. Koebe: Zum Verzerrungssatze der konformen Abbildung. Math. Z. 6 (1920), 311–313.

[Loe] K. Loewner: Untersuchungen über schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises I. Math. Ann. 89 (1923), 103–121.

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[Pi2] G. Pick: Über die konforme Abbildung eines Kreises auf ein schlichtes und zugleich beschränktes Gebiet. S.-B. Kaiserl. Akad. Wiss. Wien, Abt. IIa 126 (1917), 247–263.

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[T] O. Tammi: Extremum Problems for Bounded Univalent Functions. Springer, 1978.

[Ya] S. Yamashita: The Pick version of the Schwarz lemma and comparison of the Poincaré densities. Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 19 (1994), 291–322.

Anhang

Seien wieder φ_{a}(z) = \frac{z + a}{1 + \overline{a}z}, ψ_{a}(z) = \frac{z − a}{1 − \overline{a}z} = φ_{−a}(z) und ϕ_{a}(z) = \frac{z − a}{\overline{a}z − 1}.

Dann gilt φ_{a}^{−1} = ψ_{a} und ϕ_{a}^{−1} = ϕ_{a} und ϕ_{a}(0) = a = φ_{a}(0) .

ϕ′_{a}(z) = \frac{|a|^{2} − 1}{(\overline{a}z − 1)^{2}} , ϕ′_{a}(0) = |a|^{2} − 1 = \frac{1}{ϕ′_{a}(a)}

ϕ′′_{a}(z) = \frac{−2\overline{a}(|a|^{2} − 1)}{(\overline{a}z − 1)^{3}} , \frac{ϕ′′_{a}(0)}{ϕ′_{a}(0)} = 2\overline{a} , \frac{ϕ′′_{a}(a)}{ϕ′_{a}(a)} = \frac{−2\overline{a}}{|a|^{2} − 1}

φ′_{a}(z) = \frac{1 − |a|^{2}}{(1 + \overline{a}z)^{2}} , φ′_{a}(0) = 1 − |a|^{2} = \frac{1}{ψ′_{a}(a)} , φ′′_{a}(z) = \frac{−2\overline{a}(1 − |a|^{2})}{(1 + \overline{a}z)^{3}}

ψ′′_{a}(z) = \frac{2\overline{a}(1 − |a|^{2})}{(1 − \overline{a}z)^{3}} , \frac{φ′′_{a}(0)}{φ′_{a}(0)} = −2\overline{a} , \frac{ψ′′_{a}(a)}{ψ′_{a}(a)} = \frac{2\overline{a}}{1 − |a|^{2}}

Zu f(z_{0}) = w_{0} definiere h_{1} = ϕ_{w_{0}} ∘ f ∘ ϕ_{z_{0}} und h_{2} = ψ_{w_{0}} ∘ f ∘ φ_{z_{0}}. Dann gilt:

h′_{1}(0) = h′_{2}(0) = \frac{1 − |z_{0}|^{2}}{1 − |f(z_{0})|^{2}} f′(z_{0}) = τ_{f}(z_{0}) ,

h′′_{2}(z) = h′_{2}(z) · [\frac{ψ′′(fφ(z)) · f′(φ(z)) · φ′(z)}{ψ′(fφ(z))} + \frac{f′′(φ(z)) · φ′(z)}{f′(φ(z))} + \frac{φ′′(z)}{φ′(z)}]

\begin{aligned}\frac{h′′_{2}(0)}{h′_{2}(0)} & = \frac{ψ′′(f(z_{0})) · f′(z_{0}) · φ′(0)}{ψ′(f(z_{0}))} + \frac{f′′(z_{0}) · φ′(0)}{f′(z_{0})} + \frac{φ′′(0)}{φ′(0)} \\ & = \frac{2\overline{f(z_{0})}f′(z_{0})}{1 − |f(z_{0})|^{2}}(1 − |z_{0}|^{2}) + \frac{f′′(z_{0})}{f′(z_{0})}(1 − |z_{0}|^{2}) − 2\overline{z_{0}} = −\frac{h′′_{1}(0)}{h′_{1}(0)} \end{aligned}

τ′_{f}(z) = ( − \frac{\overline{z}}{1 − |z|^{2}} + \frac{f′(z)\overline{f(z)}}{1 − |f(z)|^{2}} + \frac{f′′(z)}{2f′(z)})τ_{f}(z)

(1 − |z_{0}|^{2}) τ′_{f}(z_{0}) = \frac{h′′_{2}(0)}{2h′_{2}(0)} · τ_{f}(z_{0}) = \frac{h′′_{2}(0)}{2} = −\frac{h′′_{1}(0)}{2}

τ′_{f}(0) = \frac{f′′(0)}{2f′(0)}τ_{f}(0) = \frac{f′′(0)}{2} \frac{|f′(0)|}{f′(0)} , |τ′_{f}(0)| = \frac{|f′′(0)|}{2} .

|\frac{dτ_{f}}{|dz|}(0)| ≤ |f′′(0)| ≤ 4τ_{f}(0)(1 − τ_{f}(0))

τ_{h_{2}}(0) = τ_{f}(z_{0}) , τ′_{h_{2}}(0) = \frac{h′′_{2}(0)}{2h′_{2}(0)}τ_{h_{2}}(0) = (1 − |z_{0}|^{2})τ′_{f}(z_{0})

|\frac{dτ_{h}}{|dz|}(0)| ≤ 4τ_{h}(0)(1 − τ_{h}(0)) ⇝ (1 − |z_{0}|^{2}) |\frac{dτ_{f}}{|dz|}(z_{0})| ≤ 4τ_{f}(z_{0})(1 − τ_{f}(z_{0}))

Satz 7 (c): \frac{1 − |z|}{1 + |z|} ≤ |z \frac{f′(z)}{f(z)}| ≤ \frac{1 + |z|}{1 − |z|}

k_{α}(z) = \frac{z}{(1 − e^{iα}z)^{2}} , k′_{α}(z) = \frac{1 + e^{iα}z}{(1 − e^{iα}z)^{3}} , \frac{k′_{α}(z)}{k_{α}(z)} = \frac{1}{z} \frac{1 + e^{iα}z}{1 − e^{iα}z}

\frac{1 − |z|}{1 + |z|} ≤ |z \frac{k′_{α}(z)}{k_{α}(z)}| = |\frac{1 + e^{iα}z}{1 − e^{iα}z} | ≤ \frac{1 + |z|}{1 − |z|}

k(z) = \frac{z}{(1 − z)^{2}} , k : 𝔻 → ℂ \ ( − ∞, −\frac{1}{4}]

g_{r}(z) = r k(z) , g_{r}(𝔻) = ℂ \ ( − ∞, −\frac{r}{4}]

g′_{r}(0) = r k′(0) = r , g_{r}^{−1}(w) = \frac{\sqrt{\frac{4w}{r} + 1} − 1}{\sqrt{\frac{4w}{r} + 1} + 1}

\begin{aligned}r g_{r}^{−1}(w) & = r \frac{\sqrt{\frac{4w}{r} + 1} − 1}{\sqrt{\frac{4w}{r} + 1} + 1} = r \frac{\frac{4w}{r} + 1 − 1}{(\sqrt{\frac{4w}{r} + 1} + 1)^{2}} = \frac{4w}{(\sqrt{\frac{4w}{r} + 1} + 1)^{2}} \\ & ⟶ \frac{4w}{(\sqrt{0 + 1} + 1)^{2}} = w (r → ∞) \end{aligned}

\begin{aligned}q_{M}(z) & = M p_{\frac{1}{M}} (z) = M k^{−1}(\frac{1}{M} k(z)) = M \frac{\sqrt{\frac{4k(z)}{M} + 1} − 1}{\sqrt{\frac{4(z)}{M} + 1} + 1} \\ & = \frac{4k(z)}{(\sqrt{\frac{4k(z)}{M} + 1} + 1)^{2}} ⟶ k(z) (M → ∞) \end{aligned}

f ∈ S_{M} , |z| = r

M \frac{(1 + r) − \sqrt{(1 + r)^{2} − 4\frac{r}{M}}}{(1 + r) + \sqrt{(1 + r)^{2} − 4\frac{r}{M}}} ≤ |f(z)| ≤ M \frac{\sqrt{(1 − r)^{2} + 4\frac{r}{M}} − (1 − r)}{\sqrt{(1 − r)^{2} + 4\frac{r}{M}} + (1 − r)}

linke Seite:

\begin{matrix}M \frac{(1 + r) − \sqrt{(1 + r)^{2} − 4\frac{r}{M}}}{(1 + r) + \sqrt{(1 + r)^{2} − 4\frac{r}{M}}} = M \frac{(1 + r)^{2} − (1 + r)^{2} + 4\frac{r}{M}}{((1 + r) + \sqrt{(1 + r)^{2} − 4\frac{r}{M}} )^{2}} \\ = \frac{4r}{((1 + r) + \sqrt{(1 + r)^{2} − 4\frac{r}{M}} )^{2}} ⟶ \frac{4r}{4(1 + r)^{2}} = \frac{r}{(1 + r)^{2}} (M → ∞) \end{matrix}

analog rechte Seite:

M \frac{\sqrt{(1 − r)^{2} + 4\frac{r}{M}} − (1 − r)}{\sqrt{(1 − r)^{2} + 4\frac{r}{M}} + (1 − r)} ⟶ \frac{r}{(1 − r)^{2}} (M → ∞)

f ∈ S ⇝ r < 1 : f̂_{r}(z) = \frac{1}{r}f(rz) , f̂_{r} ∈ O(\overline{𝔻}) , f̂_{r} ∈ S_{M}

\begin{aligned}|z| = 1 : & \frac{r}{(1 + r)^{2}} ≤ |f(rz)| ≤ \frac{r}{(1 − r)^{2}} \\ & \frac{1}{(1 + r)^{2}} ≤ |f̂_{r}(z)| ≤ \frac{1}{(1 − r)^{2}} \end{aligned}

⇝ |f̂_{r}(z)| < M_{r} = \frac{1}{(1 − r)^{2}} , z ∈ 𝔻