(August 2012)

Spaltung holomorpher Vektorbündel

1. Vektorbündel

Sei E ein Vektorbündel über X mit Trivialisierungen Φ_{j} : E_{U_{j}} → U_{j} × ℂ^{r} und trivialisierender Überdeckung U = {U_{j}}. Die Übergangsmatrizen sind

g_{ij} : U_{i} ∩ U_{j} ⟶ GL(r) , Φ_{i}Φ_{j}^{−1}(p, v) = (p, g_{ij}v) .

Die Übergangsmatrizen 𝔤 = {g_{ij}} bilden einen Kozyklus in Z^{1}(U, GL(r)), d.h. g_{ij}g_{jk} = g_{ik} auf U_{i} ∩ U_{j} ∩ U_{k}, und jeder Kozyklus 𝔤 ∈ Z^{1}(U, GL(r)) definiert ein Vektorbündel über X. Definiere U_{ij} = U_{i} ∩ U_{j}. Für 𝔠 ∈ C^{0}(U, GL(r)) und 𝔤 ∈ Z^{1}(U, GL(r)) definiere 𝔠⊡𝔤 = {c_{i}^{−1}g_{ij}c_{j}} ∈ Z^{1}(U, GL(r)). Führe auf Z^{1}(U, GL(r)) folgende Äquivalenzrelation ein: 𝔤̃ ∼ 𝔤 genau dann, wenn es ein 𝔠 ∈ C^{0}(U, GL(r)) gibt mit 𝔤̃ = 𝔠⊡𝔤. Der Quotientenraum wird mit H^{1}(U, GL(r)) bezeichnet und der direkte Limes sei H^{1}(X, GL(r)). Ist X eine komplexe Mannigfaltigkeit, so sind H^{1}(X, 𝒞^{GL(r)}) die topologischen Vektorbündel und H^{1}(X, 𝒪^{GL(r)}) die holomorphen.

Ist E ein Vektorbündel mit Übergangsmatrizen g_{ij}, so hat das duale Vektorbündel E^{∗} die Übergangsmatrizen c_{ij} = (g_{ij}^{−1})^{⊤}. Das Determinantenbündel det(E) ist das Linienbündel mit Übergangsfunktionen det g_{ij}. Sind E, F Vektorbündel über X mit Trivialisierungen ϕ_{j} : E_{U_{j}} → ℂ^{r}, ψ_{j} : F_{U_{j}} → ℂ^{k} und Übergangsfunktionen g_{ij}, h_{ij}, so sind folgende Vektorbündel definiert:

E ⊕ F mit Übergangsmatrizen g_{ij} ⊕ h_{ij} = (\begin{matrix}g_{ij} & 0 \\ 0 & h_{ij} \end{matrix})

E ⊗ F mit Übergangsmatrizen g_{ij} ⊗ h_{ij} = (\begin{matrix}g_{ij}^{11}h_{ij} & ⋯ & g_{ij}^{1r}h_{ij} \\ ⋮ & & ⋮ \\ g_{ij}^{r1}h_{ij} & ⋯ & g_{ij}^{rr}h_{ij} \end{matrix})

Das Vektorbündel Hom(E, F) hat als Übergangsfunktionen T_{ij}(M_{j}) = h_{ij}M_{j}g_{ij}^{−1}, wobei M_{j} ein Schnitt in U_{j} × Hom(ℂ^{r}, ℂ^{k}) ist. Es gilt Hom(E, F) ≅ E^{∗} ⊗ F. Ist H ⊂ E ein Untervektorbündel, so gibt es Trivialisierungen Φ_{U} : E_{U} → U × ℂ^{k} × ℂ^{r−k}, so daß Φ_{U}(H_{U}) = U × ℂ^{k} × {0}. Ist pr_{1} die Projektion von U × ℂ^{k} × ℂ^{r−k} auf U × ℂ^{k}, so sind ϕ_{U} = pr_{1} Φ_{U} Trivialisierungen von H_{U}.

Die Übergangsmatrizen g_{ij} = Φ_{i}Φ_{j}^{−1} haben die Form g_{ij} = (\begin{matrix}h_{ij} & m_{ij} \\ 0 & q_{ij} \end{matrix}), wobei

h_{ij} = ϕ_{i}ϕ_{j}^{−1} Übergangsmatrizen von H sind.

Ein Vektorbündel E spaltet, wenn es ein Unterbündel F gibt, so daß E = F ⊕ Q, wobei Q ≅ E/F. Hingegen: (E, 𝔤) ist trivial ⟺ 𝔤 ∈ Z^{1}(U, GL(r)) spaltet.

Sei {f_{1}^{U}, …, f_{r}^{U}} ein Rahmen über U, d.h. f_{μ}^{U} ∈ Γ(U, E) und in jedem Punkt p ∈ U bilden {f_{1}^{U}(p), …, f_{r}^{U}(p)} eine Basis von E_{p}. Ist {v_{μ}} eine Basis von ℂ^{r}, dann bilden f_{μ}^{U} = Φ_{U}^{−1}(v_{μ}) einen Rahmen in E_{U}. Sei andererseits ein Rahmen {f_{1}, …, f_{r}} über U gegeben. Ist nun s : U → E ein Schnitt, so ist s = s^{1}f_{1} + … + s^{r}f_{r}. Dies definiert eine Trivialisierung Φ_{U} : E_{U} → U × ℂ^{r} durch Φ_{U}(s) = (s^{1}, …, s^{r}). E hat Unterbündel vom Rang k genau dann, wenn es Rahmen {f_{1}^{U_{j}}, . . . . . . , f_{r}^{U_{j}}} gibt, so daß span{f_{1}^{U_{j}}, …, f_{k}^{U_{j}}} = span{f_{1}^{U_{i}}, …, f_{k}^{U_{i}}} über U_{i} ∩ U_{j}. Sei nun H ⊂ E ein Untervektorbündel und Q = E/H das Quotientenbündel mit Fasern Q_{p} = E_{p}/H_{p}. Man erhält die kurze exakte Sequenz

0 ⟶ H ⟶ E ⟶ Q ⟶ 0 .

Wenn g_{ij} = (\begin{matrix}h_{ij} & m_{ij} \\ 0 & q_{ij} \end{matrix}) und h_{ij} die Übergangsmatrizen von H sind, so sind q_{ij}

Übergangsmatrizen vom Quotientenbündel Q.

1.1 Spaltungskriterium

Sei nun L ⊂ E ein holomorphes Untervektorbündel und Q = E/L das Quotientenbündel. Dann gibt es eine kurze exakte Sequenz

0 ⟶ L ⟶^{α} E ⟶^{β} Q ⟶ 0 ,

wobei α ∈ 𝒪(X, Hom(L, E)) und β ∈ 𝒪(X, Hom(E, Q)) holomorph sind. Einen holomorphen Vektorbündelisomorphismus L ⊕ Q → E gibt es genau dann, wenn β : E → Q ein holomorphes Rechtsinverses h : Q → E besitzt, d.h. ein h ∈ 𝒪(X, Hom(Q, E)) mit βh = id_{Q}. Dann ist nämlich L ⊕ Q ≅ α(L) ⊕ h(Q) = E, und der Isomorphismus ist φ(s_{1}, s_{2}) = α(s_{1}) + h(s_{2}). Zudem gibt es dann auch ein holomorphes π : E → L mit πα = id_{L} und Im h = Ker π. Der inverse Isomorphismus ist φ^{−1}(s) = (π(s), β(s)). Man kann somit jeden Schnitt s ∈ 𝒪(U, E) holomorph aufteilen in s = απ(s) ⊕ hβ(s), wobei π(s) = s_{1} ∈ 𝒪(U, L)

und β(s) = s_{2} ∈ 𝒪(U, Q). \xymatrix{ &  & E \ar[dl]^{π} \ar[dd]^{φ^{−1}} \ar[dr]^{β} \\ 0 \ar[r] & E_{1} \ar[ur]^{α} &  & E_{2} \ar[ul]^{h} \ar[r] & 0 \\  &  & E_{1} ⊕ E_{2} \ar@{-->}[ul]^{_{pr_{1}}} \ar[uu]^{φ} \ar@{-->}[ur]_{_{pr_{2}}}}

Im allgemeinen gibt es global nur ein differenzierbares h ∈ ℰ (X, Hom(Q, E)). Jedoch gibt es lokal holomorphe Linksinverse π_{j} : E_{j} → L_{j} zu α : L → E und holomorphe Rechtsinverse h_{j} : Q_{j} → E_{j} zu β : E → Q, so daß Im h_{j} = Ker π_{j}.

Für holomorphe Vektorbündel E, F sei ℋ��(E, F) die lokal-freie Garbe der holomorphen Schnitte des holomorphen Vektorbündels Hom(E, F) ≅ E^{∗} ⊗ F, also ℋ��(E, F) = 𝒪^{Hom(E,F)}.

Zu der kurzen exakten Sequenz

0 ⟶ ℋ��(Q, L) ⟶^{α} ℋ��(Q, E) ⟶^{β} ℋ��(Q, Q) ⟶ 0

gehört die exakte Kohomologiesequenz

H^{0}(X, ℋ��(Q, E)) ⟶^{β} H^{0}(X, ℋ��(Q, Q)) ⟶^{δ} H^{1}(X, ℋ��(Q, L)) .

Somit gibt es h ∈ H^{0}(X, ℋ��(Q, E)) mit βh = id_{Q} ∈ H^{0}(X, ℋ��(Q, Q)) genau dann, wenn δ(id_{Q}) = 0 in H^{1}(X, ℋ��(Q, L)). Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn H^{1}(X, ℋ��(Q, L)) = 0 (z.B. wenn X Steinsch). Für die kurze exakte Sequenz 0 → L ⟶^{α} E ⟶^{β} Q → 0 gilt Im α = Ker β. Für eine Überdeckung U = {U_{j}} bezeichne E_{j} = E_{U_{j}}. Ist {(U_{j}, Φ_{j})} eine trivialisierende Überdeckung, so gibt es über U_{j} holomorphe Rechtsinverse h_{j} : Q_{j} → E_{j} zu β. Sei also {U_{j}} so, daß h_{j} ∈ 𝒪(U_{j}, Hom(Q_{j}, E_{j})) und π_{j} ∈ 𝒪(U_{j}, Hom(E_{j}, L_{j})) existieren mit

π_{j}α = id_{L_{j}} , βh_{j} = id_{Q_{j}} , Im h_{j} = Ker π_{j} .

Definiere

\begin{matrix}u_{j} : L_{j} ⊕ Q_{j} → E_{j} , & u_{j}(s_{1}, s_{2}) = α(s_{1}) + h_{j}(s_{2}) \\ u_{j}^{−1} : E_{j} → L_{j} ⊕ Q_{j} , & u_{j}^{−1}(s) = (π_{j}(s), β(s)) . \end{matrix}

Es gilt

\begin{aligned}u_{i}^{−1}u_{j}(s_{1}, s_{2}) & = u_{i}^{−1}(α(s_{1}) + h_{j}(s_{2})) = (π_{i}(α(s_{1}) + h_{j}(s_{2})), β(α(s_{1}) + h_{j}(s_{2}))) \\ & = (s_{1} + π_{i}h_{j}(s_{2}), s_{2}) \end{aligned}

⇝ u_{i}^{−1}u_{j} = (\begin{matrix}1 & π_{i}h_{j} \\ 0 & 1 \end{matrix}) : L_{ij} ⊕ Q_{ij} ⟶ L_{ij} ⊕ Q_{ij} .

Nun gilt in E_{ij}

απ_{j}(s) + h_{j}β(s) = s = απ_{i}(s) + h_{i}β(s)
⇝ α(π_{i}(s) − π_{j}(s)) = (h_{j} − h_{i})β(s) .  (∗)

Wendet man π_{i} auf die Gleichung (∗) an, erhält man

\begin{aligned}\underbrace{π_{i}α}_{id_{L_{i}}}(π_{i}(s) − π_{j}(s)) & = π_{i}h_{j}β(s) − \underbrace{π_{i}h_{i}}_{=0} β(s) \\ ⇝ π_{i}(s) − π_{j}(s) & = π_{i}h_{j}β(s) = π_{i}h_{j}(s_{2}) . \end{aligned}

Da β surjektiv ist, gibt es zu s_{2} ∈ Γ(U, Q) ein s ∈ Γ(U, E) mit β(s) = s_{2}. Es folgt {π_{i}h_{j}} ∈ Z^{1}(U, ℋ��(Q, L)) und mit (∗)

\begin{aligned}α π_{i}h_{j} β(s) & = α(π_{i}(s) − π_{j}(s)) = (h_{j} − h_{i})β(s) , also \\ α π_{i}h_{j} & = h_{j} − h_{i} in U_{i} ∩ U_{j} . \end{aligned}

Es gilt βα = 0 bzw. β(h_{j} −h_{i}) = βh_{j} −βh_{i} = 0 in U_{i} ∩U_{j}, somit h_{j} −h_{i} ∈ Ker β. Angenomen, zu b_{ij} = π_{i}h_{j} ∈ 𝒪(U_{ij}, Hom(Q, L)) gibt es b_{j} ∈ 𝒪(U_{j}, Hom(Q, L)) mit b_{ij} = b_{j} − b_{i}. Dann gilt α(b_{j} − b_{i}) = α π_{i}h_{j} = h_{j} − h_{i}, d.h. h_{j} − αb_{j} = h_{i} − αb_{i} in U_{ij} = U_{i} ∩ U_{j}. Somit definiert h̃|_{U_{j}} := h_{j} − αb_{j} einen globalen Schnitt h̃ ∈ 𝒪(X, Hom(Q, E)) mit βh̃ = id_{Q}.

Die Trivialisierungen ψ_{j} : L_{j} → U_{j} × ℂ^{k} und η_{j} : Q_{j} → U_{j} × ℂ^{r−k} definieren Trivialisierungen ψ_{j} ⊕ η_{j} : L_{j} ⊕ Q_{j} → U_{j} × ℂ^{r}. Setze Φ_{j} := (ψ_{j} ⊕ η_{j})u_{j}^{−1}. Dann gilt

\begin{aligned}g_{ij} & = Φ_{i}Φ_{j}^{−1} = (ψ_{i} ⊕ η_{i})u_{i}^{−1}u_{j}(ψ_{j}^{−1} ⊕ η_{j}^{−1}) \\ & = (\begin{matrix}ψ_{i} & 0 \\ 0 & η_{i} \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & π_{i}h_{j} \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}ψ_{j}^{−1} & 0 \\ 0 & η_{j}^{−1} \end{matrix}) = (\begin{matrix}λ_{ij} & ψ_{i}π_{i}h_{j}η_{j}^{−1} \\ 0 & q_{ij} \end{matrix}) , \end{aligned}

wobei λ_{ij} = ψ_{i}ψ_{j}^{−1} und q_{ij} = η_{i}η_{j}^{−1}.

Für B_{i} = (\begin{matrix}1 & b_{i} \\ 0 & 1 \end{matrix}) gilt B_{i}^{−1}B_{j} = (\begin{matrix}1 & −b_{i} \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & b_{i} \\ 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & b_{j} −b_{i} \\ 0 & 1 \end{matrix}).

Sei B_{ij} = (\begin{matrix}1 & b_{ij} \\ 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & π_{i}h_{j} \\ 0 & 1 \end{matrix}).

Falls nun B_{ij} = B_{i}^{−1}B_{j}, B_{j} : L_{j} ⊕ Q_{j} → L_{j} ⊕ Q_{j}, bzw. b_{ij} = b_{j} − b_{i}, dann gilt

g_{ij} = (ψ_{i} ⊕ η_{i})B_{ij}(ψ_{j} ⊕ η_{j})^{−1} = (ψ_{i} ⊕ η_{i})B_{i}^{−1}B_{j}(ψ_{j} ⊕ η_{j})^{−1} .

Definiere Ψ_{j} := (ψ_{j} ⊕ η_{j})B_{j} und Φ̃_{j} = Ψ_{j}u_{j}^{−1}. Dann ist Φ̃_{j} : E_{j} → U_{j} × ℂ^{r} eine Trivialisierung mit

g̃_{ij} = Φ̃_{i}Φ̃_{j}^{−1} = (\begin{matrix}λ_{ij} & 0 \\ 0 & q_{ij} \end{matrix}) = c_{j}g_{ij}c_{i}^{−1} , c_{j} = (\begin{matrix}1 & ψ_{j}b_{j}η_{j}^{−1} \\ 0 & 1 \end{matrix}) .

1.2 \overline{∂}_{E} Operator

Ist E → X ein holomorphes Vektorbündel, so gibt es einen Operator

\overline{∂}_{E} : ℰ^{p,q}(X, E) → ℰ^{p,q+1}(X, E) ,

so daß Φ_{j}(\overline{∂}_{E}s) = \overline{∂}Φ_{j}(s) für jeden Schnitt s ∈ ℰ^{p,q}(U, E) und holomorphe Trivialisierung Φ_{j} : E_{U_{j}} → U_{j} × ℂ^{r}. Es gilt \overline{∂}_{E} ∘ \overline{∂}_{E} = 0 .

Ist f ∈ ℰ^{p,q}(U, Hom(E, F)), so gilt

(\overline{∂}_{Hom(E,F)}f)s = \overline{∂}_{F} f(s) − (−1)^{p+q}f \overline{∂}_{E}s ,

f : E → F holomorph ⟺ \overline{∂}_{F} f(s) = f\overline{∂}_{E}s ⟺ \overline{∂}_{Hom(E,F)}f = 0 .

Betrachte die kurze exakte Sequenz von holomorphen Vektorbündeln

0 ⟶ E_{1} ⟶^{α} E ⟶^{β} E_{2} ⟶ 0

mit holomorphen α ∈ 𝒪(X, Hom(E_{1}, E)), β ∈ 𝒪(X, Hom(E, E_{2})). Dann gibt es h ∈ ℰ (X, Hom(E_{2}, E)) und π ∈ ℰ (X, Hom(E, E_{1})) mit

πα = id_{E_{1}} , βh = id_{E_{2}} , Im h = Ker π .

Dies definiert einen differenzierbaren Isomorphismus

φ : E_{1} ⊕ E_{2} → E = α(E_{1}) ⊕ h(E_{2}) , φ(s_{1}, s_{2}) = α(s_{1}) + h(s_{2}) ,

mit Inversem φ^{−1}(s) = (π(s), β(s)). Es gilt s = απ(s) + hβ(s) .

φ^{−1}\overline{∂}_{E}φ(s_{1}, s_{2}) = φ^{−1}\overline{∂}_{E}(αs_{1} + hs_{2})

= ( π\overline{∂}_{E}αs_{1} + π\overline{∂}_{E}hs_{2} , β\overline{∂}_{E}αs_{1} + β\overline{∂}_{E}hs_{2} )

= ( πα\overline{∂}_{E_{1}}s_{1} + π\overline{∂}_{E}hs_{2} , βα\overline{∂}_{E_{1}}s_{1} + \overline{∂}_{E_{2}}βhs_{2} )

= ( \overline{∂}_{E_{1}}s_{1} + π\overline{∂}_{E}hs_{2} , \overline{∂}_{E_{2}}s_{2} )

= (\begin{matrix}\overline{∂}_{E_{1}} & π\overline{∂}_{E}h \\ 0 & \overline{∂}_{E_{2}} \end{matrix}) (\begin{matrix}s_{1} \\ s_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix}\overline{∂}_{E_{1}} & b \\ 0 & \overline{∂}_{E_{2}} \end{matrix}) (\begin{matrix}s_{1} \\ s_{2} \end{matrix})

definiert b ∈ ℰ^{0,1}(X, Hom(E_{2}, E_{1})) , b(s_{2}) = π\overline{∂}_{E}h(s_{2}) . Da απ = id_{E} −hβ, folgt

αbs_{2} = απ\overline{∂}_{E}hs_{2} = \overline{∂}_{E}hs_{2} − hβ\overline{∂}_{E}hs_{2}
= \overline{∂}_{E}hs_{2} − h\overline{∂}_{E_{2}}βhs_{2}
= \overline{∂}_{E}hs_{2} − h\overline{∂}_{E_{2}}s_{2} = (\overline{∂}_{Hom(E_{2},E)}h)s_{2} ,

also: α ∘ b = \overline{∂}h. Weiter gilt \overline{∂}_{Hom(E_{2},E_{1})}b = \overline{∂}_{E_{1}}b − (−1) · b\overline{∂}_{E_{2}} . Da \overline{∂}_{E}^{2} = \overline{∂}_{E_{1}}^{2} = \overline{∂}_{E_{2}}^{2} = 0 , folgt

0 = (\begin{matrix}\overline{∂}_{E_{1}} & b \\ 0 & \overline{∂}_{E_{2}} \end{matrix}) (\begin{matrix}\overline{∂}_{E_{1}} & b \\ 0 & \overline{∂}_{E_{2}} \end{matrix}) = (\begin{matrix}\overline{∂}_{E_{1}}^{2} & \overline{∂}_{E_{1}}b + b\overline{∂}_{E_{2}} \\ 0 & \overline{∂}_{E_{2}}^{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix}0 & \overline{∂}_{Hom(E_{2},E_{1})}b \\ 0 & 0 \end{matrix}) ,

also \overline{∂}_{Hom(E_{2},E_{1})}b = 0 . Oder: α\overline{∂}b = \overline{∂}(αb) = \overline{∂} \overline{∂}h = 0 und α injektiv.

Es gilt also \overline{∂}b = 0. Angenommen b = \overline{∂}v für ein v ∈ ℰ (X, Hom(E_{2}, E_{1})). Dann ist h̃ := h − αv ∈ 𝒪(X, Hom(E_{2}, E)) holomorph mit βh̃ = id_{E_{2}} , denn es gilt \overline{∂}h̃ = \overline{∂}h − α\overline{∂}v = αb − αb = 0 und βh̃ = βh = id_{E_{2}} .

Definiere ψ : E_{1} ⊕ E_{2} → E_{1} ⊕ E_{2} , ψ = (\begin{matrix}id_{E_{1}} & v \\ 0 & id_{E_{2}} \end{matrix}) .

Dann ist ψφ^{−1} : E → E_{1}⊕E_{2} = Ẽ holomorpher Isomorphismus. Es gilt nämlich

b = \overline{∂}v = \overline{∂}_{E_{1}}v − v\overline{∂}_{E_{2}} und φ^{−1}\overline{∂}_{E}φ = (\begin{matrix}\overline{∂}_{E_{1}} & b \\ 0 & \overline{∂}_{E_{2}} \end{matrix})

⇝ ψφ^{−1} \overline{∂}_{E} = ψ (\begin{matrix}\overline{∂}_{E_{1}} & b \\ 0 & \overline{∂}_{E_{2}} \end{matrix}) φ^{−1} = (\begin{matrix}id_{E_{1}} & v \\ 0 & id_{E_{2}} \end{matrix}) (\begin{matrix}\overline{∂}_{E_{1}} & b \\ 0 & \overline{∂}_{E_{2}} \end{matrix}) φ^{−1}

= (\begin{matrix}\overline{∂}_{E_{1}} & b + v\overline{∂}_{E_{2}} \\ 0 & \overline{∂}_{E_{2}} \end{matrix}) φ^{−1} = (\begin{matrix}\overline{∂}_{E_{1}} & \overline{∂}_{E_{1}}v \\ 0 & \overline{∂}_{E_{2}} \end{matrix}) φ^{−1}

= (\begin{matrix}\overline{∂}_{E_{1}} & 0 \\ 0 & \overline{∂}_{E_{2}} \end{matrix}) (\begin{matrix}id_{E_{1}} & v \\ 0 & id_{E_{2}} \end{matrix}) = \overline{∂}Ẽ ψφ^{−1} ,

d.h. \overline{∂}_{Hom(E,Ẽ)}(ψφ^{−1}) = \overline{∂}Ẽ ψφ^{−1} − ψφ^{−1} \overline{∂}_{E} = 0 .

Zusammenfassung:

Für ein holomorphes Vektorbündel E → X gilt H^{1}(X, 𝒪^{E}) ≅ H^{0,1}(X, E) (Dolbeault–Isomorphismus). Für die kurze exakte Sequenz

0 ⟶ L ⟶^{α} E ⟶^{β} Q ⟶ 0

holomorpher Vektorbündel ist also H^{1}(X, 𝒪^{Hom(Q,L)}) ≅ H^{0,1}(X, Hom(Q, L)) . Wenn H^{1}(X, ℋ��(Q, L)) = 0, dann spaltet die Sequenz holomorph.

Zum einen gibt es {h_{j}} ∈ C^{0}(U, 𝒪^{Hom(Q,E)}) mit βh_{j} = id_{Q_{j}}. Zudem gibt es {π_{j}} ∈ C^{0}(U, 𝒪^{Hom(E,L)}) mit π_{j}α = id_{L_{j}}, so daß {π_{i}h_{j}} ∈ Z^{1}(U, 𝒪^{Hom(Q,L)}). Die Sequenz spaltet holomorph genau dann, wenn {π_{i}h_{j}} ∈ B^{1}(U, 𝒪^{Hom(Q,L)}), d.h. wenn es {b_{j}} ∈ C^{0}(U, 𝒪^{Hom(Q,L)}) gibt mit π_{i}h_{j} = b_{j} − b_{i}. Denn {h_{j} − αb_{j}} ∈ Z^{0}(U, 𝒪^{Hom(Q,E)}) definiert einen holomorphen Schnitt h̃ mit βh̃ = id_{Q}.

Andererseits definiert h ∈ ℰ (X, Hom(Q, E)) mit βh = id_{Q} ein b = π\overline{∂}_{E}h ∈ ℰ^{0,1}(X, Hom(Q, L)) mit αb = \overline{∂}h und \overline{∂}b = 0. Die Spaltung ist holomorph genau dann, wenn es v ∈ ℰ (X, Hom(Q, L)) gibt mit \overline{∂}v = b. Denn h̃ = h − αv ist holomorph und βh̃ = id_{Q}.

Der gesuchte holomorphe Isomorphismus ist φ̃ = φψ^{−1} : L ⊕ Q ⟶ E , φ̃(s_{1}, s_{2}) = α(s_{1}) + h̃(s_{2}) , mit holomorphem π̃ = pr_{1}∘ φ̃^{−1} : E → L,

π̃ = pr_{1}∘ φ̃^{−1} = pr_{1}∘ ψφ^{−1} = π + vβ .

2. Riemannsche Flächen

Sei X eine Riemannsche Fläche. Ein Divisor ist eine Abbildung D : X → ℤ, so daß {D(z) ≠ 0} diskret in X ist. Für eine offene Menge U ⊂ X sei 𝒟(U) die Menge der Divisoren D : U → ℤ und 𝒟 die Garbe (der Keime) der Divisoren. Lokal ist ein Divisor D Divisor einer meromorphen Funktionen, d.h. in jedem Punkt gibt es eine offene Umgebung U, so daß D|_{U} = div(f) für ein f ∈ ℳ^{∗}(U). Ein Hauptdivisor ist Divisor einer meromorpher Funktion, der definiert ist durch div(f)(p) = ord_{p} f für f ∈ ℳ^{∗}(X). Für f ≡ 0 ist div(f) = ∞ (kein Divisor). Es gilt H^{1}(X, 𝒟) = 0. Zu der kurzen exakten Sequenz

0 ⟶ 𝒪^{∗} ⟶ ℳ^{∗} ⟶ 𝒟 ⟶ 0

gehört die lange exakte Kohomologiesequenz

0 → H^{0}(X, 𝒪^{∗}) → H^{0}(X, ℳ^{∗}) → H^{0}(X, 𝒟) → H^{1}(X, 𝒪^{∗}) → H^{1}(X, ℳ^{∗}) → 0 .

Sei D ∈ H^{0}(X, 𝒟). Das zu D assoziierte Linienbündel L = [D] ist das zu δ(D) duale Bündel, wobei δ : H^{0}(X, 𝒟) → H^{1}(X, 𝒪^{∗}). Ist D|_{U_{j}} = div(m_{j}), m_{j} ∈ ℳ^{∗}(U_{j}), so hat [D] die Übergangsfunktionen g_{ij} = m_{i}/m_{j}. Dann definieren nämlich {m_{j}} ∈ C^{0}(U, ℳ^{∗}) wegen m_{i} = g_{ij}m_{j} den globalen meromorphen Schnitt m_{D} ∈ ℳ (X, [D]), m_{D} = (m_{j})_{j}, und es gilt D = div(m_{D}).

Sei L ein holomorphes Linienbündel. Ist s ∈ ℳ (X, L) ein nicht-trivialer meromorpher Schnitt, so gilt L = [div(s)]. Somit besitzt L einen nicht-trivialen meromorphen Schnitt genau dann, wenn L = [D] assoziiertes Linienbündel eines Divisor ist. Wegen {g_{ij}} ∈ Z^{1}(U, 𝒪^{∗}) ⊂ Z^{1}(U, ℳ^{∗}) gilt:

H^{1}(X, ℳ^{∗}) = 0 ⟹ Jedes holomorphe Linienbündel besitzt einen nicht-trivialen meromorphen Schnitt.

Wegen H^{1}(X, 𝒪^{∗}) ⟶ H^{1}(X, ℳ^{∗}) ⟶ 0 gilt auch die Umkehrung.

Satz 2.1. Ist X Riemannsche Fläche, so gilt H^{1}(X, ℳ^{∗}) = 0 .

Seien Div(X) = 𝒟(X) die Divisoren auf X und Div_{P} (X) die Hauptdivisoren. Die Picard–Gruppe Pic(X) = Div(X)/Div_{P} (X) ist isomorph zu H^{1}(X, 𝒪^{∗}). Die Hauptdivisoren entsprechen den trivialen holomorphen Linienbündeln. Ein holomorphes Linienbündel ist trivial genau dann, wenn es einen globalen nullstellenfreien holomorphen Schnitt besitzt.

Zu einem holomorphen Linienbündel L → X bezeichne ℒ = 𝒪^{L} die Garbe der holomorphen Schnitte in L, d.h. ℒ (U) = 𝒪(U, L). Es gilt L ≅ ℒ. Die meromorphen Schnitte werden mit ℒ^{∞} = ℳ^{L} bezeichnet, ℒ^{∞}(U) = ℳ (U, L).

Sei D : X → ℤ ein Divisor und

𝒪_{D}(U) = {f ∈ ℳ (U) | div(f) ≥ −D} ( div(0) = ∞ ⇝ 0 ∈ ℳ (U) ) .

Ist L = [D], so ist L ≅ ℒ ≅ 𝒪_{D}. Sei dazu m_{D} ∈ ℳ (X, L) mit div(m_{D}) = D. Der Isomorphismus ist definiert durch

\begin{matrix}𝒪_{D}(U) → ℒ (U) & , f ↦ f ⊗ m_{D} ; \\ ℒ (U) → 𝒪_{D}(U) & , f ↦ f ⊗ m_{D}^{−1} . \end{matrix}

Sei nun

ℒ_{D}(U) = {s ∈ ℳ (U, L) | div(s) ≥ −D} = 𝒪_{D}(X, L) .

Dann ist ℒ_{D} = 𝒪_{D} ⊗ ℒ. Es gilt m_{D} ∈ ℒ_{−D}(X) und ℒ_{D_{1}} ⊗ ℒ_{D_{2}} = ℒ_{D_{1}+D_{2}}. Allgemein ist ℒ_{1}(U) ⊗ ℒ_{2}(U) ⊂ ℒ_{1}⊗ ℒ_{2} (U).

Zu jeder lokal-freien Garbe ℒ vom Rang 1 gibt es einen Divisor D, so daß ℒ = 𝒪_{D}. Es gilt 𝒪_{D_{1}} ≅ 𝒪_{D_{2}} ⟺ D_{1} − D_{2} ∈ Div_{P} (X).

Ist s ∈ ℳ (X, L) nicht-trivialer meromoropher Schnitt mit D′ = div(s) und ℒ = 𝒪_{D}, so ist D′ ∼ D, d.h. D′ − D ∈ Div_{P} (X), bzw. 𝒪_{D} ≅ 𝒪_{D′}.

Für p ∈ X ist das Linienbündel L_{p} ≅ 𝒪_{P} gegeben durch die trivialisierende Überdeckung {(U_{0}, ϕ_{0}), (U_{1}, ϕ_{1})} und der Übergangsfunktion g_{01} = ϕ_{0}ϕ_{1}^{−1} = z, wobei U_{1} = X \ U_{0} und U_{0} eine Umgebung von p ist. P ist der Punktdivisor, der in p den Wert 1 hat und sonst 0 ist. L_{p} hat den globalen holomorphen Schnitt s_{p} = (s_{p}^{0}, s_{p}^{1}), s_{p}^{0} = z, s_{p}^{1} = 1. Für k ∈ ℤ ist L_{p}^{k} ≅ 𝒪_{kP} mit g_{01} = z^{k}. L_{p}^{k} hat nicht-triviale holomorphe Schnitte genau dann, wenn k ≥ 0.

Betrachte die kurze exakte Exponentialsequenz

0 ⟶ ℤ ⟶ 𝒪 ⟶ 𝒪^{∗} ⟶ 0 .

Wegen dim X = 1 ist H^{2}(X, 𝒪) = 0. Daher ist die Chern–Abbildung

c : H^{1}(X, 𝒪^{∗}) ⟶ H^{2}(X, ℤ) surjektiv .

H^{2}(X, ℤ) ≅ H^{1}(X, 𝒞^{∗}) sind die topologischen Linienbündel. Es gilt

H^{2}(X, ℤ) = \{ \begin{matrix}ℤ & , X kompakt \\ 0 & , X offen (d.h. nicht-kompakt) . \end{matrix}

Sei nun F → X ein holomorphes Vektorbündel und ℱ = 𝒪^{F} die Garbe der holormorphen Schnitte, F ≅ ℱ. Wie für Linienbündel sei ℱ_{D} = 𝒪_{D} ⊗ ℱ,

ℱ_{D}(U) = {s ∈ ℳ (U, F)| div(s) ≥ −D} und ℱ^{∞}(U) = ℳ^{F} (U) = ℳ (U, F) .

Wie in Satz 2.1 gilt: Jedes holomorphe Vektorbündel über einer Riemannschen Fläche besitzt einen nicht-trivialen meromorphen Schnitt.

Ist s ∈ ℳ (U, F) und ϕ(s) = (s^{1}, …, s^{r}) für eine Trivialisierung ϕ : F_{U} → U ×ℂ^{r}, so ist ord_{p} s = min_{1≤j≤r} ord_{p} s^{j} und damit div(s) definiert.

Sei s ∈ ℳ (X, F) ein nicht-trivialer meromorpher Schnitt und D = div(s). Sei {U_{j}} eine Überdeckung, so daß D|_{U_{j}} = m_{j} für m_{j} ∈ ℳ^{∗}(U_{j}). Dann sind die lokalen Schnitte h_{j} = m_{j}^{−1} ⊗ s|_{U_{j}} holomorph und nullstellenfrei, und es gilt span h_{j} = span h_{i} über U_{i} ∩ U_{j}. Somit ist ein holomorphes Unterlinienbündel L ⊂ F definiert mit L = [D]. ℱ hat meromorphen Schnitt s mit div(s) = D genau dann, wenn ℱ Unterbündel ℒ ≅ 𝒪_{D} hat (ℒ = 𝒪_{D}s). Da div(s) ≥ D, ist s ∈ ℱ_{−D}(X).

2.1 offene Riemannsche Flächen

Nicht-kompakte Riemannsche Flächen nennt man offen. Sei X offen. Dann ist H^{1}(X, 𝒪) = 0 und die Chern–Abbildung c : H^{1}(X, 𝒪^{∗}) → H^{2}(X, ℤ) bijektiv. Da zudem H^{2}(X, ℤ) = 0, sind alle Linienbündel trivial, d.h. H^{1}(X, 𝒪^{∗}) = 0. Offene Riemannsche Flächen sind Steinsch. Es gelten

Theorem A. Sei F → X ein holomorphes Vektorbündel über einer Steinschen Mannigfaltigkeit und ℱ = 𝒪^{F}. Dann werden die Halme ℱ_{x} erzeugt durch die globalen holomorphen Schnitte H^{0}(X, ℱ).

Theorem B. Ist F → X ein holomorphes Vektorbündel über einer Steinschen Mannigfaltigkeit, so gilt H^{q}(X, 𝒪^{F}) = 0 für q ≥ 1.

Jedes holomorphe Vektorbündel F → X über einer offenen Riemannschen Fläche hat also nicht-triviale holomorphe Schnitte. Sei s ∈ 𝒪(X, F) mit s ≢ 0 und sei D = div(s). Da H^{1}(X, 𝒪^{∗}) = 0, ist D Hauptdivisor, zu dem es eine meromorphe Funktion f ∈ ℳ (X) gibt mit div(f) = D. Nun ist f^{−1} ⊗ s ein nullstellenfreier holomorpher Schnitt, der ein triviales Unterlinienbündel L ⊂ F definiert. Ist Q = F/L das Quotientenbündel, so gilt H^{1}(X, ℋ��(Q, L)) = 0. F spaltet also holomorph zu L ⊕ Q. Durch Induktion erhält man

Satz 2.2 (Röhrl). Ist X offene Riemannsche Fläche, so gilt H^{1}(X, 𝒪^{GL(r)}) = 0, d.h. holomorphe Vektorbündel über offenen Riemannschen Flächen sind trivial.

2.2 kompakte Riemannsche Flächen

Sei X eine kompakte Riemannsche Fläche und D : X → ℤ ein Divisor. Dann ist deg D = ∑_{x∈X}D(x) wohldefiniert, denn {D ≠ 0} ist endlich.

Ist f : X → ℂ̂ meromorph und nicht konstant, so gilt deg(f) = 0. Ist L = [D], definiere deg L = deg D. Es gilt deg L = c_{1}(L). Weiter sei c(ℒ) = c_{1}(L). Sind {p_{1}, …, p_{m}} = {x ∈ X | D(x) ≠ 0} und D(p_{j}) = k_{j}, dann läßt sich das assozierte Linienbündel schreiben als L = L_{p_{1}}^{k_{1}} ⊗ … ⊗ L_{p_{1}}^{k_{m}}. Da 𝒪_{D}(X) = {f ∈ ℳ (X) | div(f) ≥ −D}, folgt Lemma 2.3. deg D < 0 ⟹ H^{0}(X, 𝒪_{D}) = 0 . Beweis. Ist f ∈ ℳ (X) und f ≢ 0, so ist deg(f) = 0. Für f ∈ 𝒪_{D}(X) gilt jedoch deg(f) ≥ − deg D > 0, wenn f ≢ 0. Satz 2.4 (Kodaira). Ist F → X ein holomorphes Vektorbündel und X eine kompakte komplexe Mannigfaligkeit, so gilt dim H^{q}(X, 𝒪^{F}) < ∞ für q ≥ 0. Satz 2.5 (Theoreme A und B). Sei F → X ein holomorphes Vektorbündel über einer kompakten Riemannschen Fläche und ℱ = 𝒪^{F}. Dann gibt es ein n_{+} ∈ ℕ, so daß für jeden Divisor D ∈ Div(X) mit deg D ≥ n_{+} gilt: (A) Die Halme (ℱ_{D})_{x} werden erzeugt durch die globalen Schnitte H^{0}(X, ℱ_{D}). (B) H^{1}(X, ℱ_{D}) = 0 . Sei h^{q}(X, ℱ) = dim H^{q}(X, ℱ). Ist X kompakt, so ist jede holomorphe Funktion f : X → ℂ konstant. Somit gilt h^{0}(X, 𝒪) = 1. Weiter sei h^{1}(X, 𝒪) = g. Satz 2.6 (Riemann–Roch I). Ist X eine kompakte Riemannsche Fläche, so gilt

h^{0}(X, 𝒪_{D}) − h^{1}(X, 𝒪_{D}) = 1 − g + deg D .

Sei F → X ein holomorphes Vektorbündel und ℱ = 𝒪^{F}. Definiere

χ(ℱ) = h^{0}(X, ℱ) − h^{1}(X, ℱ) .

Damit gilt χ(𝒪_{D}) = χ(𝒪) + deg D. Ist ℱ vom Rang r, so gilt allgmeneiner Satz 2.7 (Riemann–Roch II). Ist F → X ein holomorphes Vektorbündel vom Rang r über einer kompakten Riemannsche Fläche und ℱ = 𝒪^{F}, so gilt

(i) χ(ℱ_{D}) = χ(ℱ) + r deg D; (ii) χ(ℱ) = r · χ(𝒪) + c(ℱ) , wobei c(ℱ) = c_{1}(det F) .

Beweis (i). Zeige χ(ℱ_{D}) − r deg D = χ(ℱ_{D′}) − r deg D′. Sei D′ ≥ D und 𝒯 = ℱ_{D′}/ℱ_{D}, somit 0 → ℱ_{D} → ℱ_{D′} → 𝒯 → 0. Der Träger von 𝒯 ist D′ − D und es gilt 𝒯_{x} ≅ ℂ^{rn_{x}}, wobei n_{x} = D′(x) − D(x). Damit folgt dim 𝒯 (X) = r deg(D′ −D). Da der Träger von 𝒯 endlich ist, ist H^{1}(X, 𝒯 ) = 0. Betrachte die Kohomologiesequenz

0 → ℱ_{D}(X) → ℱ_{D′}(X) → 𝒯 (X) → H^{1}(X, ℱ_{D}) → H^{1}(X, ℱ_{D′}) → 0 .

Dann ist die alternierende Summe der Dimensionen null, d.h. es gilt

h^{0}(X, ℱ_{D}) − h^{0}(X, ℱ_{D′}) + h^{0}(X, 𝒯 ) − h^{1}(X, ℱ_{D}) + h^{1}(X, ℱ_{D′}) = 0 .

Mit h^{0}(X, 𝒯 ) = r deg D′ − r deg D folgt

h^{0}(X, ℱ_{D}) − h^{1}(X, ℱ_{D}) − r deg D = h^{1}(X, ℱ_{D′}) − h^{1}(X, ℱ_{D′}) − r deg D′
⇝ χ(ℱ_{D}) − r deg D = χ(ℱ_{D′}) − r deg D′ .

Wenn D′ beliebig ist, wähle D′′ mit D ≤ D′′ und D′ ≤ D′′. Dann folgt

χ(ℱ_{D}) − r deg D = χ(ℱ_{D′′}) − r deg D′′ = χ(ℱ_{D′}) − r deg D′ .

Für D′ = 0 folgt χ(ℱ_{D}) = χ(ℱ) + r deg D.

Da nun h^{0}(X, ℱ_{D}) ≥ χ(ℱ) + r deg D, hat ℱ_{D} nicht-triviale globale Schnitte, wenn deg D ≥ n_{+} (vgl. Theorem A). Da ℱ_{D}(X) ⊂ ℱ^{∞}(X), hat somit ℱ nicht-triviale meromorphe Schnitte. Analog zu Lemma 2.3 gilt

Lemma 2.8. Sei F → X ein holomorphes Vektorbündel über einer kompakten Riemannschen Fläche und ℱ = 𝒪^{F}. Dann gibt es ein n_{−} ∈ ℕ, so daß

H^{0}(X, ℱ_{D}) = 0 für deg D < n_{−} .

Beweis. Induktion über r = rg ℱ. Der Fall r = 1 ist Lemma 2.3. Sei nun s ∈ ℱ^{∞}(X) ein nicht-trivialer meromorpher Schnitt. Dann hat ℱ ein Unterlinienbündel ℒ ≅ 𝒪_{D}, wobei D = div(s). Das Quotientenbündel 𝒢 = ℱ /ℒ hat Rang r − 1. Gelte die Behauptung für r − 1. Dann gibt es für ℒ und 𝒢 ein gemeinsames n_{−} mit H^{0}(X, ℒ_{D}) = 0 und H^{0}(X, 𝒢_{D}) = 0 für deg D < n_{−}. Aus den exakten Sequenzen 0 → ℒ_{D} → ℱ_{D} → 𝒢_{D} → 0 und

⟶ H^{0}(X, ℒ_{D}) ⟶ H^{0}(X, ℱ_{D}) ⟶ H^{0}(X, 𝒢_{D}) ⟶

folgt H^{0}(X, ℱ_{D}) = 0 für deg D < n_{−}.

Satz 2.9 (Serre–Dualität I). Ist F → X holomorphes Vektorbündel über einer kompakten komplexen Mannigfaltigkeit mit dim X = n, so gilt

H^{n−p,n−q}(X, F^{∗}) ≅ H^{p,q}(X, F)^{∗} .

Es gilt H^{p,q}(X, F) ≅ H^{q}(X, Ω^{p}(F)) (Dolbeault–Isomorphismus). Sei X nun wieder eine kompakte Riemannsche Fläche. Ein kanonischer Divisor ist ein Divisor einer meromorphen 1–Form ≢ 0. Das assoziierte Linienbündel ist das kanonische Bündel K. Sei Ω_{D}(U) = {ω ∈ ℳ^{1,0}(U) | div(ω) ≥ −D}. Ist K ein kanonischer Divisor, so gilt 𝒪_{D+K} ≅ Ω_{D}.

Satz 2.10 (Serre–Dualität II). Ist X kompakte Riemannsche Fläche, so gilt

h^{1}(X, 𝒪_{D}) = h^{0}(X, Ω_{−D}) = h^{0}(X, 𝒪_{K−D}) ,

speziell: h^{0}(X, Ω) = h^{1}(X, 𝒪) = g und h^{1}(X, Ω) = h^{0}(X, 𝒪) = 1 .

Mit Riemann–Roch folgt: deg K = g − 1 + h^{1}(X, 𝒪) − h^{0}(X, 𝒪) = 2g − 2 .

Mit Lemma 2.3 erhält man wiederum

Satz 2.11 (Theorem B). Ist X kompakte Riemannsche Fläche, so gilt

H^{1}(X, 𝒪_{D}) = 0 für deg D ≥ 2g − 1 .

Satz 2.12 (Spaltungskriterium [GR2]). Sei F → X ein holomorphes Vektorbündel vom Rang r über einer kompakten Riemannsche Fläche. Sei L ⊂ F holomorphes Unterlinienbündel mit folgenden Eigenschaften:

(a) Das Quotientenbündel Q = F/L spaltet holomorph in eine direkte Summe von Linienbündel L_{2} ⊕ … ⊕ L_{r}.

(b) Es gilt deg L − deg L_{j} ≥ 2g − 1 für j = 2, …, r.

Dann gilt F ≅ L ⊕ Q ≅ L ⊕ L_{2} ⊕ … ⊕ L_{r}.

Beweis. Es gilt ℋ��(Q, L) = ℋ��(L_{2}, L) ⊕ … ⊕ ℋ��(L_{r}, L) . Sei L ≅ 𝒪_{D} und L_{j} ≅ 𝒪_{D_{j}}. Wegen Hom(L_{j}, L) ≅ L_{j}^{−1}L gilt ℋ��(L_{j}, L) ≅ 𝒪_{D−D_{j}} . Wenn nun

deg(D − D_{j}) = deg L − deg L_{j} ≥ 2g − 1 ,

so folgt H^{1}(X, ℋ��(L_{j}, L)) = 0 und daher H^{1}(X, ℋ��(Q, L)) = 0 .

3. Vektorbündel über ℙ^{1}

Von nun an werden holomorphe Vektorbündel mit den lokal-freien Garben ihrer holomorphen Schnitte identifiziert: F ≅ 𝒪^{F} = ℱ, L ≅ 𝒪^{L} = ℒ. Auf ℙ^{1} gilt H^{1}(ℙ^{1}, 𝒪) = 0 und H^{1}(ℙ^{1}, 𝒪^{∗}) ≅ H^{2}(ℙ^{1}, ℤ) ≅ ℤ. Die topologischen und holomorphen Linienbündel stimmen demnach überein.

Ein Divisor D : ℙ^{1} → ℤ ist genau dann Hauptdivisor, wenn deg D = 0, und dies ist genau dann der Fall, wenn das assoziierte Linienbündel trivial ist. Zwei Linienbündel L_{1} = 𝒪_{D_{1}} und L_{2} = 𝒪_{D_{2}} sind genau dann äquivalent, wenn deg D_{1} = deg D_{2} bzw. wenn L_{1}^{−1}L_{2} = 𝒪_{D_{2}−D_{1}} ≅ 𝒪 trivial ist. Ist p ∈ ℙ^{1} und deg L = k, so ist L ≅ L_{p}^{k} = 𝒪_{kP}. Diese werden mit 𝒪(k) bezeichnet. Ist U = {U_{+}, U_{−}} die Überdeckung mit U_{+} = ℙ^{1} \ ∞ = ℂ, U_{−} = ℙ^{1} \ 0 = ℂ̂ \ {0} und U_{+} ∩ U_{−} = ℂ^{∗}, so hat 𝒪(k) die Übergangsfunktion g_{+−}(z) = z^{k}. Es gilt

\begin{aligned}(i) h^{0}(ℙ^{1}, 𝒪(k)) & = \begin{cases}0 & , k ≤ −1 \\ k + 1 & , k ≥ −1 , \end{cases} \\ (ii) h^{1}(ℙ^{1}, 𝒪(k)) & = \begin{cases}−(k + 1) & , k ≤ −1 \\ 0 & , k ≥ −1 . \end{cases} \end{aligned}

Für E ≃ F gilt c_{1}(E) = c_{1}(F). Ist E → X ein Vektorbündel vom Rang r ≥ 2 und dim X = 1, dann ist topologisch E ≃_{𝒞} det(E) ⊕ (X × ℂ^{r−1}). Somit ist c_{1}(E) = c_{1}(det(E)) die topologische Klassifikation.

Satz 3.1 (Spaltungssatz von Grothendieck). Jedes holomorphe Vektorbündel F → ℙ^{1} vom Rang r ist holomorph äquivalent zu 𝒪(a_{1}) ⊕ ⋯ ⊕ 𝒪(a_{r}) mit eindeutig bestimmten ganzen Zahlen a_{1} ≥ … ≥ a_{r}.

Zwei holomorphe Vektorbündel über ℙ^{1} vom Rang r sind topologisch äquivalent, wenn die Summen a_{1} + … + a_{r} ihrer holomorphen Zerlegungen gleich sind.

Beweis von 3.1. Siehe [GR1] und [OSS]. Der Beweis folgt durch Induktion. Der Fall r = 1 ist bereits gezeigt. Sei

F (k) = ℱ (k) = 𝒪(k) ⊗ ℱ .

Dann gibt es ein k_{0} ∈ ℤ, so daß

h^{0}(ℙ^{1}, F (k_{0})) ≠ 0 und h^{0}(ℙ^{1}, F (k)) = 0 für k < k_{0} .

Sei s ∈ H^{0}(ℙ^{1}, F (k_{0})) ein nicht-trivialer Schnitt. Hätte nun s eine Nullstelle s(p) = 0, so wäre s auch ein nicht-trivialer Schnitt in 𝒪_{−P} ⊗ F (k_{0}) ≅ F (k_{0} − 1), jedoch H^{0}(ℙ^{1}, F (k_{0} − 1)) = 0. Also ist s nullstellenfrei und definiert ein triviales Unterbündel L ⊂ F (k_{0}), L ≅ 𝒪. Man erhält die exakte Sequenz

0 ⟶ L ⟶ F (k_{0}) ⟶ Q ⟶ 0 .  (∗∗)

Es ist zu zeigen, daß H^{1}(ℙ^{1}, ℋ��(Q, L)) = 0. Da Q = F (k_{0})/L vom Rang r − 1 ist, spaltet nach Induktionsvoraussetzung Q = 𝒪(k_{2}) ⊕ ⋯ ⊕ 𝒪(k_{r}). Wegen L ≅ 𝒪 ist Hom(Q, L) ≅ Q^{∗} = 𝒪(−k_{2}) ⊕ ⋯ ⊕ 𝒪(−k_{r}). Damit folgt

H^{1}(ℙ^{1}, ℋ��(Q, L)) = H^{1}(ℙ^{1}, 𝒪(−k_{2})) ⊕ … ⊕ H^{1}(ℙ^{1}, 𝒪(−k_{r})) .

Es bleibt zu zeigen, daß k_{j} ≤ 1 für j = 2, …, r, damit H^{1}(ℙ^{1}, 𝒪(−k_{j})) = 0. Dazu tensoriere die Sequenz (∗∗) mit 𝒪(−1),

0 ⟶ L(−1) ⟶ F (k_{0} − 1) ⟶ Q(−1) ⟶ 0 ,

wobei L(−1) = 𝒪(−1) und Q(−1) = 𝒪(k_{2} − 1) ⊕ ⋯ ⊕ 𝒪(k_{r} − 1). Da H^{0}(ℙ^{1}, 𝒪(−1)) = H^{1}(ℙ^{1}, 𝒪(−1)) = 0, besteht die exakte Kohomologiesequenz aus

0 ⟶ H^{0}(ℙ^{1}, F (k_{0} − 1)) ⟶ H^{0}(ℙ^{1}, Q(−1)) ⟶ 0 .

Nun ist auch H^{0}(ℙ^{1}, F (k_{0} − 1)) = 0. Wegen

0 = h^{0}(ℙ^{1}, F (k_{0} − 1)) = h^{0}(ℙ^{1}, Q(−1)) = ∑_{j=2}^{r} h^{0}(ℙ^{1}, 𝒪(k_{j} − 1))

folgt h^{0}(ℙ^{1}, 𝒪(k_{j} − 1)) = 0, somit k_{j} ≤ 0 < 1. Damit ist F = 𝒪(−k_{0}) ⊗ F (k_{0}) = 𝒪(−k_{0}) ⊕ 𝒪(k_{2} − k_{0}) ⊕ ⋯ ⊕ 𝒪(k_{r} − k_{0}) .

Eindeutigkeit: Sei 𝒪(a_{1}) ⊕ ⋯ ⊕ 𝒪(a_{r}) = 𝒪(b_{1}) ⊕ ⋯ ⊕ 𝒪(b_{r}) mit a_{1} ≥ … ≥ a_{r} , b_{1} ≥ … ≥ b_{r}. Angenommen es gibt r ≥ j_{0} ≥ 1, so daß a_{j} = b_{j} für j > j_{0} und (o.E.) a_{j_{0}} > b_{j_{0}}. Betrachte nun 𝒪(−a_{j_{0}}) ⊗ F, also

𝒪(a_{1} − a_{j_{0}}) ⊕ ⋯ ⊕ 𝒪(a_{r} − a_{j_{0}}) = 𝒪(b_{1} − a_{j_{0}}) ⊕ ⋯ ⊕ 𝒪(b_{r} − a_{j_{0}}) .

Nun gilt H^{0}(ℙ^{1}, 𝒪(a_{j} − a_{j_{0}})) = H^{0}(ℙ^{1}, 𝒪(b_{j} − a_{j_{0}})) für j > j_{0} ,

h^{0}(ℙ^{1}, 𝒪(a_{j} − a_{j_{0}})) = 0 = h^{0}(ℙ^{1}, 𝒪(b_{j} − a_{j_{0}})) für j_{0} > j ,
jedoch h^{0}(ℙ^{1}, 𝒪(a_{j_{0}} − a_{j_{0}})) = 1 und h^{0}(ℙ^{1}, 𝒪(b_{j_{0}} − a_{j_{0}})) = 0 .

Die Anzahl der globalen Schnitte müßte aber gleich sein. �

Seien 0 < r < R < ∞ und U_{0} = {z ∈ ℂ | |z| < R}, U_{∞} = {z ∈ ℂ̂ | |z| > r}, U = {U_{0}, U_{∞}}. Da H^{1}(U_{j}, 𝒪^{GL(r)}) = 0, ist H^{1}(ℙ^{1}, 𝒪^{GL(r)}) = H^{1}(U, 𝒪^{GL(r)}). Somit ist der Spaltungssatz äquivalent zu

Satz 3.2 (Faktorisierungssatz von Birkhoff). Ist M ∈ 𝒪(U_{0} ∩ U_{∞}, GL(r)), so gibt es M_{j} ∈ 𝒪(U_{j}, GL(r)) und eindeutig bestimmte a_{1} ≥ … ≥ a_{r}, so daß

M = M_{0}DM_{∞} in U_{0} ∩ U_{∞} ,

wobei D die Diagonalmatrix mit Elementen z^{a_{1}}, …, z^{a_{r}} ist.

Für einen analytischen Beweis siehe [Le]. Der Faktorisierungssatz war schon früh bekannt, siehe [Hil, Pl, Bi1, Bi2].

3.1 Beispiele

Jedes holomorphe Vektorbündel vom Rang 2 über ℙ^{1} hat die Form 𝒪(k_{1})⊕𝒪(k_{2}) und ist topologisch isomorph zu 𝒪(k_{1} + k_{2}) ⊕ 𝒪. Sei dazu

α : [0, 1] → SO(2, ℝ) ⊂ SU(2) , α(t) = (\begin{matrix}cos \frac{π}{2}t & sin \frac{π}{2}t \\ − sin \frac{π}{2}t & cos \frac{π}{2}t \end{matrix}) ,

ein Weg, der die Homotopie H(z, t) = ( \begin{matrix}z & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) α(t) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & z \end{matrix}) α(t)^{⊤} definiert, wobei

H(z, 0) = (\begin{matrix}z & 0 \\ 0 & z \end{matrix}) und H(z, 1) = (\begin{matrix}z^{2} & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) .

Sei k ≥ 0 und

g_{+−} = (\begin{matrix}z^{−k} & λ \\ 0 & z^{k} \end{matrix}) ∈ 𝒪(U_{+} ∩ U_{−}, GL(2)) .

Dann beschreibt g_{+−} ein holomorphes Vektorbündel E vom Rang 2, daß 𝒪(−k) als Unterbündel hat. Ist λ ≠ 0, so gilt

g_{+−} = (\begin{matrix}z^{−k} & λ \\ 0 & z^{k} \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & 0 \\ λ^{−1}z^{k} & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}z^{−k} & λ \\ −λ^{−1} & 0 \end{matrix}) = g_{+}^{−1}g_{−}

mit g_{+} ∈ 𝒪(U_{+}, GL(2)) und g_{−} ∈ 𝒪(U_{−}, GL(2)). Somit ist E trivial, E = 𝒪 ⊕𝒪, und es gilt die kurze exakte Sequenz

0 ⟶ 𝒪(−k) ⟶ 𝒪 ⊕ 𝒪 ⟶ 𝒪(k) ⟶ 0 .

Insbesondere ist 𝒪(−k) Unterbündel von 𝒪 ⊕ 𝒪 für k ≥ 0.

Sei nun F das Vektorbündel mit

h_{+−} = (\begin{matrix}z^{k} & λ \\ 0 & z^{−k} \end{matrix}) ∈ 𝒪(U_{+} ∩ U_{−}, GL(2)) .

Dann gilt

h_{+−} = (\begin{matrix}z^{k} & λ \\ 0 & z^{−k} \end{matrix}) = h_{+}^{−1} (\begin{matrix}z^{k} & 0 \\ 0 & z^{−k} \end{matrix}) h_{−} = (\begin{matrix}1 & λz^{k} \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}z^{k} & 0 \\ 0 & z^{−k} \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

mit h_{+} ∈ 𝒪(U_{+}, GL(2)) und h_{−} ∈ 𝒪(U_{−}, GL(2)). Somit ist F = 𝒪(k) ⊕ 𝒪(−k). Sei nun F̃ ein weiteres Vektorbündel und

0 ⟶ 𝒪(k) ⟶ F̃ ⟶ 𝒪(−k) ⟶ 0

eine exakte Sequenz. Da H^{1}(ℙ^{1}, ℋ��(𝒪(k), 𝒪(−k))) = H^{1}(ℙ^{1}, 𝒪(2k)) = 0 für k ≥ 0, spaltet die Sequenz und F̃ = 𝒪(k) ⊕ 𝒪(−k) = F. Für k > 0 kann also 𝒪(k) kein Unterbündel des trivialen Bündels 𝒪 ⊕ 𝒪 sein.

ℱ hat meromorphen Schnitt s mit div(s) = D genau dann, wenn ℱ Unterbündel ℒ ≅ 𝒪_{D} hat (ℒ = 𝒪_{D}s). Da div(s) ≥ D, ist s ∈ ℱ_{−D}(ℙ^{1}). 𝒪 ⊕ 𝒪 hat also keine nicht-trivialen Schnitte mit mehr Nullstellen als Polstellen.

4. Steinsche Mannigfaltigkeiten

Sei X eine Mannigfaltigkeit mit dim X = n und E → X ein Vektorbündel vom Rang rg E = r. Sind s_{j} ∈ Γ(U_{j}, E) nicht verschwindende (d.h. ohne Nullstelle) lokale Schnitte mit span s_{j} = span s_{i} in U_{i} ∩ U_{j}, so bilden diese lokale Rahmen eines Linienbündels L ⊂ E. Ist s ∈ Γ(X, E) ein nicht verschwindender globaler Schnitt, so ist das aufgespannte Linienbündel trivial.

Lemma 4.1. Ist E → X ein Vektorbündel mit rg E > dim X, so hat E einen nicht verschwindenden stetigen Schnitt und E spaltet topologisch zu E ≃_{𝒞} L⊕Q, wobei L ein triviales Linienbündel ist.

Eine Steinsche Mannigfaltigkeit ist eine komplexe Mannigfaltigkeit X mit:

(i) X ist holomorph konvex, (ii) die holomorphen Funktionen trennen Punkte in X,

d.h. sind x, y ∈ X mit x ≠ y, so gibt es f ∈ 𝒪(X) mit f(x) ≠ f(y).

Lokal hat X Karten, die durch globale holomorphe Funktionen gegeben sind.

Ist E → X holomorphes Vektorbündel über einer Steinschen Mannigfaltigkeit, so ist E eine Steinsche Mannigfaltigkeit (Frenkel). Es gilt H^{1}(X, 𝒪^{E}) = 0 und es gibt nicht-triviale globale holomorphe Schnitte. Lokal findet man zu jedem p ∈ X eine Umgebung U und globale Schnitte f_{1}, …, f_{k} ∈ 𝒪(X, E), so daß span{f_{1}|_{U}, …, f_{k}|_{U}} = E_{U} . (Theoreme A und B)

Sei E → X ein holomorphes Vektorbündel mit einem nicht-trivialen meromorphen Schnitt s ∈ ℳ (X, E). Ist dim X = 1 oder E ein Linienbündel, so definiert s einen Divisor D mit D = div(s) und meromorphe Funktionen f_{j} ∈ ℳ^{∗}(U_{j}) mit div(f_{j}) = D|_{U_{j}}. Somit sind f_{j}^{−1} ⊗ s|_{U_{j}} lokale holomorphe Rahmen, die das assoziierte Linienbündel L = [D] definieren. Ist dim X > 1 und rg E ≥ 2, so ist die analytische Menge Z = {s = 0}∪{s = ∞} i.a. keine Hyperfläche, da lokal durch Φ(s) = (s^{1}, …, s^{r}) mehr als eine Funktion die Menge Z definieren.

Satz 4.2 (Oka-Grauert–Prinzip). Ist X eine Steinsche Mannigfaltigkeit, so gilt H^{1}(X, 𝒪^{GL(r)}) ≃ H^{1}(X, 𝒞^{GL(r)}), d.h. jedes topologische Vektorbündel hat eine komplexe Struktur (es gibt ein isomorphes holomorphes Vektorbündel), und zwei holomorphe Vektorbündel sind holomorph äquivalent genau dann, wenn sie es topologisch sind.

Sei E → X holomorphes Vektorbündel und X Steinsch. Ist F ein holomorphes Unterbündel, so spaltet es E zu E = F ⊕ Q, da H^{1}(X, ℋ��(Q, F)) = 0. E hat holomorphe Unterbündel, wenn es sie topologisch hat. (Oka–Grauert)

Analog zur topologischen Situation gilt nun: Ist E → X holomorphes Vektorbündel über einer Steinschen Mannigfaltigkeit, so gibt es ein holomorphes Vektorbündel F, so daß E ⊕ F trivial ist. Ist X zusammenziehbar, so ist E trivial. Die 1-dim. Steinschen Mannigfaltigkeiten sind genau die offenen Riemannschen Flächen (Behnke–Stein). Für diese folgt wieder, daß Vektorbündel trivial sind. Ist rg E > dim X, so folgt, daß E ein triviales Linienbündel L ⊂ E besitzt und E = L ⊕ Q auch holomorph spaltet.

Anhang: Linienbündel 𝒪(k) → ℙ^{1}

Wähle die Überdeckung U = {U_{+}, U_{−}}, U_{+} = ℙ^{1}\∞ = ℂ, U_{−} = ℙ^{1}\0 = ℂ̂\{0} und U_{+} ∩ U_{−} = ℂ^{∗}. Da H^{1}(U_{±}, 𝒪^{GL(r)}) = 0, ist insbesondere H^{1}(U_{±}, 𝒪^{∗}) = 0. Mit Leray folgt, daß H^{1}(ℙ^{1}, 𝒪^{∗}) = H^{1}(U, 𝒪^{∗}) bestimmt ist durch Kozyklen g_{+−} ∈ 𝒪^{∗}(U_{+} ∩U_{−}). Sei L → ℙ^{1} holomorphes Linienbündel. H^{0}(ℙ^{1}, L) = 𝒪(ℙ^{1}, L) sind die globalen Schnitte in L, und wegen H^{1}(U_{±}, L) = 0 gilt

H^{1}(ℙ^{1}, L) = \frac{𝒪(U_{+} ∩ U_{−}, L)}{𝒪(U_{+}, L) − 𝒪(U_{−}, L)} .

Sei L = 𝒪(k) das Linienbündel mit Übergangsfunktion g_{+−}(z) = z^{k}. Für einen Schnitt s ∈ 𝒪(U, L), s = (s^{+}, s^{−}), gilt dann s^{+}(z) = g_{+−}(z)s^{−}(z) = z^{k}s^{−}(z) in U ∩ U_{+} ∩ U_{−}, wobei s^{+} ∈ 𝒪(U ∩ U_{+}, ℂ) und s^{−} ∈ 𝒪(U ∩ U_{−}, ℂ). Sei D : ℙ^{1} → ℤ der Divisor mit D(0) = k und D(z) = 0 für z ≠ 0. Der Divisor D entspricht meromorphen Funktionen (m_{+}, m_{−}), wobei m_{+} ∈ ℳ^{∗}(U_{+}), m_{+}(z) = z^{k}, und m_{−} ∈ ℳ^{∗}(U_{−}), m_{−}(z) = 1. Es gilt m_{+}/m_{−} ∈ 𝒪^{∗}(U_{+} ∩ U_{−}). Das zu D assoziierte Linienbündel L = [D] ist definiert durch g_{+−} = m_{+}/m_{−}, somit g_{+−}(z) = z^{k} und [D] = 𝒪(k). Also ist deg 𝒪(k) = ∑_{ℙ^{1}} D(z) = k. Die meromorphen Funktionen auf ℙ^{1} sind genau die rationalen Funktionen. Ist D = k · P Vielfaches eines Punktdivisors und f ∈ 𝒪_{kP} (ℙ^{1}), so ist f außerhalb P holomorph und ord_{P} (f) ≥ −k. Wenn f ≢ 0, so ist deg(f) = 0. Nun kann deg(f) = 0 nur, wenn k ≥ 0, und dann ist dim 𝒪_{kP} (ℙ^{1}) = k + 1 . Weiter gilt

(i) dim H^{0}(ℙ^{1}, 𝒪(k)) = \begin{cases}0 & , k ≤ −1 \\ k + 1 & , k ≥ −1 , \end{cases}

(ii) dim H^{1}(ℙ^{1}, 𝒪(k)) = \begin{cases}−(k + 1) & , k ≤ −1 \\ 0 & , k ≥ −1 . \end{cases}

(i) Zu s_{+} suche s = {s_{+}, s_{−}} ∈ Z^{0}(U, 𝒪(k)). Sei s_{+} ∈ 𝒪(U_{+}, 𝒪(k)), d.h. s_{+} = (s_{+}^{+}, s_{+}^{−}) mit s_{+}^{+} : U_{+} → ℂ, s_{+}^{−} : U_{+} ∩U_{−} → ℂ holomorph, s_{+}^{+} = g_{+−}s_{+}^{−} in U_{+} ∩U_{−}. Dann ist

s_{+}^{+}(z) = ∑_{j=0}^{∞} a_{j}z^{j} , s_{+}^{−}(z) = z^{−k} ∑_{j=0}^{∞} a_{j}z^{j} .

Angenommen es gibt einen Schnitt s_{−} ∈ 𝒪(U_{−}, 𝒪(k)) mit s_{+} = s_{−} auf U_{+} ∩ U_{−}. Für s_{−} = (s_{−}^{+}, s_{−}^{−}) gilt dann auf U_{+} ∩ U_{−}

s_{−}^{+}(z) = s_{+}^{+}(z) = ∑_{j=0}^{∞} a_{j}z^{j} ,

s_{−}^{−}(z) = z^{−k}s_{−}^{+}(z) = ∑_{j=0}^{∞} a_{j}z^{j−k} = ∑_{j=−k}^{∞} a_{j+k}z^{j} = ∑_{j=−k}^{0} a_{j+k}z^{j} + ∑_{j=1}^{∞} a_{j+k}z^{j} .

Damit s_{−}^{−} : U_{−} → ℂ, muß k ≥ 0, wobei dann s_{+}^{+}(z) = ∑_{j=0}^{k} a_{j}z^{j} sein muß. Somit

dim H^{0}(ℙ^{1}, 𝒪(k)) = k + 1. Für k < 0 ist H^{0}(ℙ^{1}, 𝒪(k)) = 0. (ii) Sei f = (f^{+}, f^{−}) ∈ 𝒪(U_{+} ∩ U_{−}, 𝒪(k)). Die Laurent-Reihe von f^{+} : ℂ^{∗} → ℂ,

f^{+}(z) = ∑_{j=−∞}^{∞} a_{j}z^{j} = ∑_{j=0}^{∞} a_{j}z^{j} − (− ∑_{j=−∞}^{−1} a_{j}z^{j}) = ϕ_{+}^{+}(z) − ϕ_{−}^{+}(z) ,

wird aufgeteilt in Nebenteil ϕ_{+}^{+} und Hauptteil −ϕ_{−}^{+} . Wechselt man zu f^{−}, erhält man f^{−}(z) = z^{−k}f^{+}(z) = z^{−k}ϕ_{+}^{+}(z) − z^{−k}ϕ_{−}^{+}(z). Definiert man ϕ_{+}^{−}(z) = z^{−k}ϕ_{+}^{+}(z), so ist ϕ_{+} = (ϕ_{+}^{+}, ϕ_{+}^{−}) ∈ 𝒪(U_{+}, 𝒪(k)). Sei ϕ_{−}^{−}(z) = z^{−k}ϕ_{−}^{+}(z), dann gilt

ϕ_{−}^{−}(z) = − z^{−k} ∑_{j=−∞}^{−1} a_{j}z^{j} = − ∑_{j=−∞}^{−k−1} a_{j+k}z^{j} .

Für k ≥ −1 definiert ϕ_{−} = (ϕ_{−}^{+}, ϕ_{−}^{−}) einen Schnitt in 𝒪(U_{−}, 𝒪(k)). Somit gehört f = ϕ_{+} − ϕ_{−} zu B^{1}(U, 𝒪(k)), und das bedeutet H^{1}(ℙ^{1}, 𝒪(k)) = 0 . Ist k < −1, so gibt es b_{1}, …, b_{−k−1} ∈ ℂ mit

f^{+}(z) = ϕ_{+}^{+}(z) − ϕ̃_{−}^{+}(z) + ∑_{j=1}^{−k−1} b_{j}z^{j+k} ,

so daß ϕ_{+} = (ϕ_{+}^{+}, ϕ_{+}^{−}) ∈ 𝒪(U_{+}, 𝒪(k)) und ϕ̃_{−} = (ϕ̃_{−}^{+}, ϕ̃_{−}^{−}) ∈ 𝒪(U_{−}, 𝒪(k)). So sieht man, daß dann dim H^{1}(ℙ^{1}, 𝒪(k)) = −k −1 .

Zusammen gilt: dim H^{0}(ℙ^{1}, 𝒪(k)) − dim H^{1}(ℙ^{1}, 𝒪(k)) = 1 + k.

Anhang: Banachbündel über Riemannschen Flächen

Sei B ein komplexer Banachraum. Banachbündel können wie Vektorbündel über die Automorphismengruppe GL(B) definiert werden. Die holomorphen Banachbündel über X mit charakteristischer Faser B sind dann H^{1}(X, 𝒪^{GL(B)}) und die topologischen H^{1}(X, 𝒞^{GL(B)}).

Satz (Bungart). Für komplexe Banachbündel über Steinschen Mannigfaltigkeiten gilt das Oka-Grauert–Prinzip, d.h. H^{1}(X, 𝒪^{GL(B)}) ≅ H^{1}(X, 𝒞^{GL(B)}).

Speziell für offene Riemannsche Flächen galt:

Satz (Röhrl). Holomorphe Vektorbündel über offenen Riemannschen Flächen sind (holomorph) trivial.

Für Banachbündel muß dies nicht mehr gelten, für Hilbertbündel jedoch schon.

Satz (Kuiper). Für unendlich-dimensionale Hilberträume H ist die Automorphismengruppe GL(H) zusammenziehbar.

Damit folgt: Holomorphe Hilbertbündel unendlichen Rangs über Steinschen Mannigfaltigkeiten sind (holomorph) trivial. (Bungart)

Satz (Douady). Es gibt komplexe Banachräume B, für die die Automorphismengruppe GL(B) nicht zusammenhängend ist.

Folglich gibt es nicht triviale Banachbündel über offenen Riemannschen Flächen.

Beispiel: Der Kreisring M = {z ∈ ℂ | 1 < |z| < 2} . M werde überdeckt von den Gebieten U_{1} und U_{2}, M = U_{1} ∪ U_{2}, wobei der Durchschnitt U_{12} = U_{1} ∩ U_{2} nicht zusammenhängend sei, sondern die zwei Komponenten G_{1} und G_{2} habe. Sei nun g_{12} : U_{12} → GL(B) die Übergangsfunktion eines Banachbündels, für das GL(B) nicht zusammenhängend ist und g_{12}(G_{1}) und g_{12}(G_{2}) in verschiedenen Zusammenhangskomponenten von GL(B) liegen. Sei nun E → M das Banachbündel, das durch g_{12} : U_{12} → GL(B) definiert wird, und seien T_{1} : E_{U_{1}} → U_{1} × B und T_{2} : E_{U_{2}} → U_{2} × B die Trivialisierungen. Angenommen E sei trivial, d.h. Φ : E → M × B sei globale Trivialisierung. Dann definiere (p, g_{1}(p)v) := ΦT_{1}^{−1}(p, v) für (p, v) ∈ U_{1} × B und (p, g_{2}(p)v) := ΦT_{2}^{−1}(p, v) für (p, v) ∈ U_{2} ×B. Dann gilt g_{1} : U_{1} → GL(B) und g_{2} : U_{2} → GL(B) sowie g_{12} = g_{1}^{−1}g_{2} in U_{1} ∩ U_{2}. Seien a ∈ G_{1} und b ∈ G_{2}. Definiere Wege γ_{1} : [0, 1] → U_{1} und γ_{2} : [0, 1] → U_{2} mit γ_{1}(0) = γ_{2}(0) = a und γ_{1}(1) = γ_{2}(1) = b. Sei Γ(t) = g_{1}^{−1}(γ_{1}(t))g_{2}(γ_{2}(t)), dann ist Γ ein stetiger Weg, der Γ(0) = g_{12}(a) mit Γ(1) = g_{12}(b) verbindet, im Widerspruch zu der Voraussetzung, daß g_{12}(a) und g_{12}(b) in verschiedenen Zusammenhangskomponenten liegen. Also kann E nicht trivial sein.

Satz. Jedes holomorphe Banachbündel unendlichen Rangs über einer Steinschen Mannigfaltigkeit hat einen nirgends verschwindenden holomorphen Schnitt.

Literatur

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Anhang

Zu der kurzen exakten Sequenz

0 ⟶ 𝒜 ⟶^{α} ℬ ⟶^{β} 𝒞 ⟶ 0

gehört die exakte Kohomologiesequenz

H^{0}(X, ℬ) ⟶^{β} H^{0}(X, 𝒞) ⟶^{δ^{0}} H^{1}(X, 𝒜) ,

s ∈ H^{0}(X, 𝒞) mit δ^{0}(s) = 0 ⟺ s = β(h) für ein h ∈ H^{0}(X, ℬ) .

Sei U = {U_{j}} Überdeckung mit s|_{U_{j}} = β(h_{j}) und H^{1}(U, 𝒜) = H^{1}(X, 𝒜).

{h_{j}} ∈ C^{0}(U, ℬ) ⇝ δ({h_{j}}) = {h_{j} − h_{i}} ∈ B^{1}(U, ℬ)

β(h_{j} − h_{i}) = s − s = 0 ⇝ h_{j} − h_{i} = α(f_{ij}) , {f_{ij}} ∈ C^{1}(U, 𝒜) ,

denn 0 ⟶ C^{1}(U, 𝒜) ⟶^{α} C^{1}(U, ℬ) ⟶^{β} C^{1}(U, 𝒞) ist exakt.

Weiter gilt αδ({f_{ij}}) = δα({f_{ij}}) = δδ({h_{j}}) = 0 , somit {f_{ij}} ∈ Z^{1}(U, 𝒜), denn α ist injektiv.

\xymatrix{0 \ar[r] & C^{0}(U, 𝒜) \ar[r]^{α} \ar[d]^{δ} & C^{0}(U, ℬ) \ar[r]^{β} \ar[d]^{δ} & C^{0}(U, 𝒞) \ar[d]^{δ} \\ 0 \ar[r] & C^{1}(U, 𝒜) \ar[r]^{α} & C^{1}(U, ℬ) \ar[r]^{β} & C^{1}(U, 𝒞)}

Angenommen

{f_{ij}} ∈ B^{1}(U, 𝒜) , d.h. f_{ij} = f_{j} − f_{i} mit {f_{j}} ∈ C^{0}(U, 𝒜) .

Setze h̃_{j} := h_{j} − α(f_{j}) . Es gilt β(h̃_{j}) = β(h_{j}) = s|_{U_{j}} ,

h̃_{j} − h̃_{i} = h_{j} − h_{i} − α(f_{ij}) = 0 ⇒ h̃_{j} = h̃_{i} in U_{i} ∩ U_{j}

⟹ {h̃_{j}} ∈ Z^{0}(U, ℬ) .

Somit definiert h|_{U_{j}} = h̃_{j} einen globalen Schnitt mit β(h) = s. abstract de Rham theorem ⇝ Dolbeault theorem

Satz. Sei

0 ⟶ ℱ ⟶ 𝒮_{0} ⟶^{d_{0}} 𝒮_{1} ⟶^{d_{1}} 𝒮_{2} ⟶^{d_{2}} 𝒮_{3} ⟶^{d_{3}} …

exakt mit H^{p}(X, 𝒮_{j}) = 0 für p ≥ 1, j ≥ 0. Sei d_{j}^{∗} : H^{0}(X, 𝒮_{j}) → H^{0}(X, 𝒮_{j+1}). Dann gilt

H^{p}(X, ℱ) = \frac{Ker d_{p}^{∗}}{Im d_{p−1}^{∗}} für p ≥ 1 .

Beweis. Sei 𝒦_{j} = Ker d_{j}. Dann zerfällt die Auflösung in kurze exakte Sequenzen

0 ⟶ ℱ ⟶ 𝒮_{0} ⟶^{d_{0}} 𝒦_{1} ⟶^{d_{1}} 0

0 ⟶ 𝒦_{1} ⟶ 𝒮_{1} ⟶^{d_{1}} 𝒦_{2} ⟶^{d_{2}} 0

0 ⟶ 𝒦_{j} ⟶ 𝒮_{j} ⟶^{d_{j}} 𝒦_{j+1} ⟶^{d_{j+1}} 0 .

Aus

0 ⟶ ℱ (X) ⟶ 𝒮_{0}(X) ⟶^{d_{0}^{∗}} 𝒦_{1}(X) ⟶ H^{1}(X, ℱ) ⟶ …

folgt H^{1}(X, ℱ) = 𝒦_{1}(X)/ Im d_{0}^{∗}. Aus

0 ⟶ 𝒦_{1}(X) ⟶ 𝒮_{1}(X) ⟶^{d_{1}^{∗}} 𝒦_{2}(X) ⟶ H^{1}(X, 𝒦_{1})

folgt 𝒦_{1}(X) = Ker d_{1}^{∗}, somit H^{1}(X, ℱ) = Ker d_{1}^{∗}/ Im d_{0}^{∗}. Aus

0 = H^{1}(X, 𝒮_{0}) ⟶ H^{1}(X, 𝒦_{1}) ⟶ H^{2}(X, ℱ) ⟶ H^{2}(X, 𝒮_{0}) = 0

folgt H^{1}(X, 𝒦_{1}) ≅ H^{2}(X, ℱ) . Aus

𝒮_{1}(X) ⟶^{d_{1}^{∗}} 𝒦_{2}(X) ⟶ H^{1}(X, 𝒦_{1}) ⟶ H^{1}(X, 𝒮_{1}) = 0

folgt H^{1}(X, 𝒦_{1}) ≅ 𝒦_{2}(X)/ Im d_{1}^{∗}. Aus

0 ⟶ 𝒦_{2}(X) ⟶ 𝒮_{2}(X) ⟶^{d_{2}^{∗}} 𝒦_{3}(X) ⟶ H^{1}(X, 𝒦_{2})

folgt 𝒦_{2}(X) = Ker d_{2}^{∗}, somit H^{2}(X, ℱ) ≅ H^{1}(X, 𝒦_{1}) ≅ Ker d_{2}^{∗}/ Im d_{1}^{∗}.

Beispiele:

(i) 0 ⟶ ℂ ⟶ ℰ ⟶^{d} ℰ^{1} ⟶^{d} ℰ^{2} ⟶^{d} … H^{p}(X, ℂ) ≅ Hp_{DR}(X)

(ii) 0 ⟶ Ω^{p} ⟶ ℰ^{p,0} ⟶^{\overline{∂}} ℰ^{p,1} ⟶^{\overline{∂}} ℰ^{p,2} ⟶^{\overline{∂}} … H^{q}(X, Ω^{p}) ≅ Hp,q ; \overline{∂}(X),

wobei Ω^{p} die holomorphen p-Formen sind, d.h. lokal hat ω ∈ Ω^{p} die Form ω = ∑_{I} f_{I} dz_{I} mit \overline{∂}f_{I} = 0 bzw. f_{I} ∈ 𝒪(U) hat.

0 ⟶ A ⟶ B ⟶ C ⟶^{γ} D ⟶ E ⟶ 0

γ : C ⟶ Im γ ⊂ D , Im γ ≃ C/ Ker γ

K := Ker γ , I := Im γ

(i) Im γ ≃ C/ Ker γ ⇝ I ≅ C/K, dim I = dim C − dim K

(ii) 0 ⟶ A ⟶ B ⟶ K ⟶ 0 ⇝ K ≅ B/A, dim K = dim B − dim A

(iii) 0 ⟶ I ⟶ D ⟶ E ⟶ 0 ⇝ E ≅ D/I, dim E = dim D − dim I

⇝ dim A − dim B + dim C − dim D + dim E = 0 H^{n}(X, ℤ) für n = dim_{ℝ} X. Zusammenhängende Mannigfaltigkeiten heißen offen, falls sie nicht kompakt sind, oder geschlossen, falls sie kompakt sind.

Poincaré Dualität. X orientierbare Mannigfaltigkeit, dim_{ℝ} X = n:

\begin{aligned}H^{q}(X; G) & ≅ H_{n−q}^{∞}(X; G) \\ H_{q}(X; G) & ≅ H_{c}^{n−q}(X; G) \end{aligned}

X zusammenhängende Mannigfaltigkeit, dim_{ℝ} X = n:

H_{0}^{∞}(X) ≅ \{ \begin{matrix}ℤ & , X geschlossen \\ 0 & , X offen \end{matrix}

Differenzierbare Mannigfaltigkeit sind triangulierbar. Ein Simplizialkomplex ist ein CW–Komplex. Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit X hat den Homotopietyp eines CW-Komplexes der Dimension ≤ dim X.

Sei X CW–Komplex. Ist X^{1} unendlich, lokal endlich und wegzusammenhängend, dann ist H_{0}^{∞}(X; G) = 0.

Der Rand eines Weges c : [0, 1] → X im Sinne einer 1-Kette ist ∂c = c(1) − c(0). Gegeben seien Wege

γ_{j} : [0, 1] → X mit γ_{j+1}(0) = γ_{j}(1) , j = 0, 1, 2, …,

so daß die Kette γ = ∑_{j} γ_{j} lokal endlich ist. Dazu darf X nicht kompakt sein. Es gilt

∂( ∑_{j=0}^{N} γ_{j}) = γ_{N}(1) − γ_{0}(0) ⇝ ∂γ = ∑_{j=0}^{∞} ∂γ_{j} = −γ_{0}(0) + lim_{N→∞} γ_{N}(1) ,

jedoch auch

∂γ = ∑_{j=0}^{∞} ( − γ_{j}(0) + γ_{j+1}(0)) = −γ_{0}(0) + ∑_{j=1}^{∞} (γ_{j}(0) − γ_{j}(0)) = −γ_{0}(0) .

Wähle Parametrisierung γ_{j} : [j, j+1] → X, damit γ : [0, ∞) → X. Ist γ eigentlich, dann gilt (topologisch)

∂γ([0, ∞)) = γ(∂[0, ∞)) = γ(0) = γ_{0}(0) .

Satz von deRham. X differenzierbare Mannigfaltigkeit: Hp_{DR}(X) ≅ H^{p}(X; ℝ).

Es gilt:

X offen, dim_{ℝ} X = n ⇒ Hn_{DR}(X) = 0
X einfach zusammenhängend ⇒ H1_{DR}(X) = 0
X zusammenziehbar ⇒ Hp_{DR}(X) = 0 , p ≥ 1

Sei X eine reelle n-dimensionale C^{2}–Mannigfaltgkeit und f : X → ℝ eine C^{2}– Funktion. Ein Punkt p ∈ X heißt kritischer Punkt von f, falls df(p) = 0. Die Menge der kritischen Punkte wird mit Crit(f) bezeichnet. Ein kritischer Punkt p von f heißt nicht ausgeartet, falls die Hesse–Matrix

H_{f}(p) = (\frac{∂^{2}f}{∂x_{j}∂x_{k}} (p))_{j,k=1}^{n}

invertierbar ist. Andernfalls heißt er ausgeartet. Ist p ein nicht ausgearteter kritischer Punkt von f, dann hat H_{f}(p) k negative und n − k positive Eigenwerte und k = Ind_{p}(f) heißt Index von f in p.

Eine Funktion, die keine ausgearteten kritischen Punkte hat, nennt man auch Morse–Funktion. Ein kritischer Punkt p einer Morse–Funktion f ist ein lokales Maximum ⟺ Ind_{p} f = n und lokales Minimum ⟺ Ind_{p} f = 0.

Eine Funktion f heißt Ausschöpfungsfunktion, falls die Mengen f^{−1}((−∞, a]) kompakt sind für alle a ∈ ℝ.

Lemma. Nicht ausgeartete kritische Punkte liegen isoliert.

Lemma. Die Morse–Funktionen bilden eine dichte offene Teilmenge in C_{S}^{r}(X, ℝ), 2 ≤ r ≤ ∞.

Lemma. Sei X eine C^{∞}–Mannigfaltigkeit und f : X → ℝ eine C^{∞}–Funktion. Dann gibt es eine Folge f_{j} : X → ℝ von C^{∞}–Funktionen ohne ausgeartete kritische Punkte, so daß f_{j} → f gleichmäßig auf den kompakten Teilmengen konvergiert zusammen mit den ersten und zweiten Ableitungen.

Satz. Ist f : X → ℝ eine Ausschöpfungsfunktion für eine Mannigfaltigkeit X ohne ausgeartete kritische Punkte (ausschöpfende Morse–Funktion), dann hat X den Homotopietyp eines CW–Komplexes mit einer Zelle der Dimension k für jeden kritischen Punkt mit Index k.

Sei X eine komplexe n-dimensionale Mannigfaltgkeit und ϱ : X → ℝ eine C^{2}– Funktion. Die Levi–Form L_{ϱ} ist definiert als

L_{ϱ}(p)ξ = ∑_{j,k=1}^{n} \frac{∂^{2}ϱ}{∂\overline{z}_{j}∂z_{k}} (p) \overline{ξ}_{j}ξ_{k} , ξ ∈ T_{p}^{1,0}X .

Eine C^{2}–Funktion ϱ : X → ℝ heißt q-konvex in p ∈ X, falls ihre Levi-Form n−q+1 positive Eigenwerte in p besitzt. n-konvexe Funktionen haben keine lokalen Maxima.

X heißt q-konvex, falls es eine kompakte Menge K ⊂ X und eine Ausschöpfungsfunktion ϱ in X gibt, die q-konvex in X \ K ist. Falls K = ∅ gewählt werden kann, heißt X auch q-vollständig. 1-vollständig bedeutet Steinsch.

Satz (Greene/Wu). Jede n-dimensionale zusammenhängende nicht-kompakte Mannigfaltigkeit X besitzt eine streng subharmonische Ausschöpfungsfunktion. Insbesondere ist eine offene komplexe Mannigfaltigkeit X (dim_{ℂ} X)-vollständig.

Sei X Steinsche Mannigfaltigkeit, dim_{ℂ} X = n, d.h. dim_{ℝ} X = 2n. Dann hat X den Homotopietyp eines CW–Komplexes der Dimension ≤ n. Weiter gilt:

H_{q}(X) = 0 , q > n ; H_{n}(X) frei abelsch
⇝ H^{q}(X; G) = 0 , q > n

Sei X eine q-vollständige Mannigfaltigkeit mit dim_{ℂ} X = n. Dann hat X den Homotopietyp eines CW–Komplexes der Dimension ≤ n + q − 1. Weiter gilt:

H_{j}(X) = 0 , j > n + q − 1 ; H_{n+q−1}(X) frei abelsch
⇝ H^{j}(X; G) = 0 , j > n + q − 1

Ist X offene komplexe Mannigfaltigkeit, dim_{ℂ} X = n, dann ist X n-vollständig. Somit gilt H^{2n}(X; G) = 0.

Ist X n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit und f : X → ℝ eine C^{2}– Funktion, dann ist durch Δf = tr H_{f} ein Laplace–Operator definiert. f heißt streng subharmonisch, falls Δf > 0 auf X. Ist f eine streng subharmonische Morse–Funktion, dann ist Ind(f) < n auf X und f hat keine lokalen Maxima. Ist f eine Ausschöpfungsfunktion, dann folgt: X offen ⇝ H^{n}(X, ℤ) = 0.

Satz (Malgrange). Ist E → X ein holomorphes Vektorbündel über einer offenen komplexen Mannigfaltigkeit der Dimension n, so gilt H^{n}(X, E) = 0.

Literatur

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