/* [wxMaxima batch file version 1] [ DO NOT EDIT BY HAND! ]*/
/* [ Created with wxMaxima version 0.8.5 ] */

/* [wxMaxima: title   start ]
Linearkombinationen, lineare Abhängigkeit,
Basen, Bestimmung von Koordinaten
   [wxMaxima: title   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
(A. Filler, Elementare Lineare Algebra, Kapitel 5)
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: section start ]
Überprüfung, ob Vektoren aus R4 linear abhängig sind
   [wxMaxima: section end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Es wird überprüft, ob vier gegebene Vektoren aus R4 linear abhängig sind.
Dazu wird das entsprechende lineare Gleichungssystem gelöst. Hat dieses
nur die triviale Lösung, so sind die Vektoren linear unabhängig, existieren
weitere Lösungen, so sind sie linear abhängig.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
a:[1,2,3,0]$
b:[2,1,2,-1]$
c:[3,1,2,-1]$
d:[-4,1,0,3]$
solve([lambda1*a[1] + lambda2*b[1] + lambda3* c[1] + lambda4*d[1] = 0, 
       lambda1*a[2] + lambda2*b[2] + lambda3* c[2] + lambda4*d[2] = 0,
       lambda1*a[3] + lambda2*b[3] + lambda3* c[3] + lambda4*d[3] = 0,
       lambda1*a[4] + lambda2*b[4] + lambda3* c[4] + lambda4*d[4] = 0],
      [lambda1, lambda2, lambda3, lambda4]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: section start ]
Darstellung von Vektoren als Linearkombinationen
gegebener Vektoren in R4
   [wxMaxima: section end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Es wird ein Vektor x als Linearkombination der oben eingegebenen Vektoren
a, b, c, d dargestellt. 
ACHTUNG: Bevor die folgende Zelle ausgewertet werden kann muss die obige
Zelle, in der die Vektoren a, b, c, d definiert werden, ausgewertet werden. 
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
x:[24,3,12,-15]$
solve([lambda1*a[1] + lambda2*b[1] + lambda3* c[1] + lambda4*d[1] = x[1], 
       lambda1*a[2] + lambda2*b[2] + lambda3* c[2] + lambda4*d[2] = x[2],
       lambda1*a[3] + lambda2*b[3] + lambda3* c[3] + lambda4*d[3] = x[3],
       lambda1*a[4] + lambda2*b[4] + lambda3* c[4] + lambda4*d[4] = x[4]],
      [lambda1, lambda2, lambda3, lambda4]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: section start ]
Überprüfung, ob drei Vektoren eine Basis von R3 bilden.
   [wxMaxima: section end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Um zu überprüfen, ob drei Vektoren a,b,c von R3 eine Basis bilden, reicht es aus, 
zu prüfen, ob sie linear unabhängig sind. (Drei linear unabhängige Vektoren 
von R3 sind auch automatisch ein Erzeugendensystem.) Wir prüfen dennoch zusätzlich,
ob es a,b,c ein Erzeugendensystem sind.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: subsect start ]
Überprüfung auf lineare Unabhängigkeit
   [wxMaxima: subsect end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Wenn das folgende Gleichungssystem nur die triviale Lösung hat, sind die Vektoren
linear unabhängig.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
a:[1,3,-2]$
b:[4,5,6]$
c:[3,-2,1]$
solve([lambda1*a[1] + lambda2*b[1] + lambda3* c[1] = 0, 
       lambda1*a[2] + lambda2*b[2] + lambda3* c[2] = 0,
       lambda1*a[3] + lambda2*b[3] + lambda3* c[3] = 0],
      [lambda1, lambda2, lambda3]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: subsect start ]
Überprüfung, ob Vektoren ein Erzeugendensystem von R3 sind
   [wxMaxima: subsect end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Damit drei Vektoren a,b,c ein Erzeugendensystem von R3 sind, muss das folgende
Gleichungssystem für beliebige x,y,z lösbar sein.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
a:[1,3,-2]$
b:[4,5,6]$
c:[3,-2,1]$
solve([lambda1*a[1] + lambda2*b[1] + lambda3* c[1] = x, 
       lambda1*a[2] + lambda2*b[2] + lambda3* c[2] = y,
       lambda1*a[3] + lambda2*b[3] + lambda3* c[3] = z],
      [lambda1, lambda2, lambda3]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: section start ]
Bestimmung der Koordinaten eines Vektors bezüglich
einer Basis
   [wxMaxima: section end   ] */

/* [wxMaxima: subsect start ]
Bestimmung der Koordinaten eines Vektors bezüglich
einer Basis in R3
   [wxMaxima: subsect end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Gegeben ist eine Basis B={a,b,c} von R3 und ein Vektor u.
Es werden die Koordinaten lambda1, lambda2, lambda3 des Vektors u bezüglich 
der Basis B ermittelt.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
a:[1,0,0]$
b:[1,1,0]$
c:[1,1,1]$
u:[4,-5,6]$
solve([lambda1*a[1] + lambda2*b[1] + lambda3* c[1] = u[1], 
       lambda1*a[2] + lambda2*b[2] + lambda3* c[2] = u[2],
       lambda1*a[3] + lambda2*b[3] + lambda3* c[3] = u[3]],
      [lambda1, lambda2, lambda3]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: subsect start ]
Bestimmung der Koordinaten eines Vektors bezüglich
einer Basis in R4
   [wxMaxima: subsect end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Hierzu kann die obige Zelle "Darstellung von Vektoren als Linearkombinationen
gegebener Vektoren in R4" genutzt werden, wenn für a, b, c, d eine Basis 
eingegeben wird.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: subsect start ]
Bestimmung der Koordinaten eines Vektors aus R9 
bezüglich einer Basis eines Unterraumes von R9
(Beispiel Magische Quadrate)
   [wxMaxima: subsect end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
b1:[-1,1,0,1,0,-1,0,-1,1]$
b2:[0,1,-1,-1,0,1,1,-1,0]$
b3:[1/3,1/3,1/3,1/3,1/3,1/3,1/3,1/3,1/3]$
m:[4,9,2,3,5,7,8,1,6]$
solve([lambda1*b1[1] + lambda2*b2[1] + s*b3[1] = m[1], 
       lambda1*b1[2] + lambda2*b2[2] + s*b3[2] = m[2],
       lambda1*b1[3] + lambda2*b2[3] + s*b3[3] = m[3],
       lambda1*b1[4] + lambda2*b2[4] + s*b3[4] = m[4],
       lambda1*b1[5] + lambda2*b2[5] + s*b3[5] = m[5],
       lambda1*b1[6] + lambda2*b2[6] + s*b3[6] = m[6], 
       lambda1*b1[7] + lambda2*b2[7] + s*b3[7] = m[7],
       lambda1*b1[8] + lambda2*b2[8] + s*b3[8] = m[8], 
       lambda1*b1[9] + lambda2*b2[9] + s*b3[9] = m[9] ],  
      [lambda1, lambda2, s]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* Maxima can't load/batch files which end with a comment! */
"Created with wxMaxima"$