HUMBOLDT–UNIVERSITÄT ZU BERLIN

Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II Institut für Mathematik Prof. PhD. Andreas Griewank Dr. Andrej Ponomarenko Dipl.-Ing. Heinz–Jürgen Lange

Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik, Unter den Linden 6, D-10099 Berlin

Übungsaufgaben zur Vorlesung Mathematik für Informatiker I

Serie 10. (Abgabe: bis 25.01.05)

Aufgabe 1: Betrachte die folgenden vier Vektoren im Raum ℝ^{3}

u = (3, 1, 2), v = (5, 5, 4), w = (1, 2, 8), z = (7, 4, 5)

a) Finde spezielle, nicht alle verschwindende Koeffizienten α, β, γ, δ, so dass

α ∗ u + β ∗ v + γ ∗ w + δ ∗ z = 0

Hinweis: Siehe z.B. die in der Vorlesung vorgeführte auf dem Kreuzprodukt basierende Version der Cramerschen Regel zur Berechnung der Koeffizientendarstellung eines Raumvektors bezüglich dreier vorgegebener linear unabhängiger. (4 Punkte)

b) Betrachte die Menge aller Vektoren (α, β, γ, δ) ∈ ℝ^{4} die diese Gleichung erfüllen. Zeige, dass sie einen linearen Unterraum von ℝ^{4} bilden. Bestimme eine Basis und damit die Dimension dieses Unterraumes. (4 Punkte)

c) Berechne das Volumen und die Oberfläche des vom Urspung und den Spitzen der vier Vektoren aufgespannten Simplex. (4 Punkte)

d) Überprüfe welche der Punkte a = (4,2,2), b=(2,3/2,13/4) und c = (4/5,3/4,2) im Inneren des Simplex liegen. (3 Punkte)

Aufgabe 2: Betrachte zwei Familien linear unabhängiger Vektoren {u_{i}}_{i=1}^{m} und {w_{i}}_{i=1}^{n} aus einem Raum V der Dimension d. Beweise oder widerlege die folgenden Aussagen.

a) Falls m + n >= d, können die {u_{i}}_{i=1}^{m} durch Hinzunahme von Elementen der {w_{i}}_{i=1}^{n} zu einer Basis von V erweitert werden. (3 Punkte)

b) Seien U von {u_{i}}_{i=1}^{m} und W von {w_{i}}_{i=1}^{n} aufgespannte Unterräume. Der Schnittraum W ∩ U kann irgendeine Dimension zwischen max(0, (d − m − n)) und min(m, n) haben. (3 Punkte)

c) Dann lässt sich eine Basis des Schnittraumes W ∩ U durch ausgewählte Element von {u_{i}}_{i=1}^{m} und {w_{i}}_{i=1}^{n} bilden. (3 Punkte)

d) Der von U und W aufgespannte Raum U+W kann irgendeine Dimension zwischen max{m, n} und min{d, m + n} haben. (3 Punkte)

e) Falls jedes Element v von V sich auf höchstens eine Art als Linearkombination der {u_{i}}_{i=1}^{m} und {w_{i}}_{i=1}^{n} darstellen lässt so enthält U ∩ W nur einen einzigen Vektor. (3 Punkte)

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