HUMBOLDT–UNIVERSITÄT ZU BERLIN

Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II Institut für Mathematik Prof. PhD. Andreas Griewank Dr. Andrej Ponomarenko Dipl.-Ing. Heinz–Jürgen Lange

Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik, Unter den Linden 6, D-10099 Berlin

Übungsaufgaben zur Vorlesung Mathematik für Informatiker I

Serie 11. (Abgabe: bis 1.02.05)

Aufgabe 1: Eine Teilmenge M eines linearen Vektorraumes heißt affiner Unterraum, falls

u, v ∈ M, λ ∈ ℝ ⟹ λu + (1 − λ)v ∈ M

und heißt konvexe Menge, wenn dies nur unter der Einschränkung 0 ≤ λ ≤ 1 gilt.

(i) In welchen Beziehungen stehn für M ⊂ V die Aussagen: (5 Punkte) (m.a.W. aus welcher Aussage folgt andere?)

(a) M ist affiner Unterraum
(k) M ist konvexe Menge
(l) M ist linearer Unterraum

(ii) Für zwei Untermengen M, N ⊂ V betrachte den Schnitt M ∩ N und die Summe

M + N = {u + v : u ∈ M, v ∈ N }

Betrachte das folgende Diagramm:

∩⧹+ (a) (k) (l)
(a) (a)
(k)  (k)
(l)  (l)

Die diagonalen Einträge bedeuten, dass Schnitte und Summen affiner, konvexer und linearer Mengen jeweils wieder affin, konvex oder linear sind. Fülle die verbliebenen 6 Kästchen aus und beweise zumindest zwei davon. (5 Punkte)

Aufgabe 2: Wie in Übung 10 , Aufgabe 1, betrachte die Vektoren

v_{1} = (3, 1, 2), v_{2} = (5, 5, 4), v_{3} = (1, 2, 8), z = (7, 4, 5)

(i) Transformiere v_{1}, v_{2}, v_{3} in eine orthonormale Basis b_{1}, b_{2}, b_{3} durch das Gram–Schmidt– Orthogonalisierungsverfahren. (3 Punkte)

(ii) Berechne direkt die Koeffizienten von z bezüglich der in (i) erhaltenen orthonormalen Basis, d.h. die β_{i}, so dass (3 Punkte)

z = β_{1}b_{1} + β_{2}b_{2} + β_{3}b_{3}

(iii) Nutze die in (i) erhaltenen Darstellungen der v_{i} als Linearkombinationen der b_{i} um für beliebiges z die Abhängigkeit des obigen β_{i} von den entsprechenden γ_{i} mit

z = γ_{1}v_{1} + γ_{2}v_{2} + γ_{3}v_{3}

darzustellen. (3 Punkte)

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