HUMBOLDT–UNIVERSITÄT ZU BERLIN

Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II Institut für Mathematik Prof. PhD. Andreas Griewank Dr. Andrej Ponomarenko Dipl.-Ing. Heinz–Jürgen Lange

Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik, Unter den Linden 6, D-10099 Berlin

Übungsaufgaben zur Vorlesung Mathematik für Informatiker I

Serie 12. (Abgabe: bis 8.02.05)

Aufgabe 1:

(i) Teste für selbstgewählte Matrizen A ∈ ℝ^{3×4} und B ∈ ℝ^{4×2}, dass (AB)^{T} = B^{T} A^{T} gilt. (2 Punkte)

(ii) Beweise, dass (AB)^{T} = B^{T} A^{T} auch allgemein gilt. (4 Punkte)

Aufgabe 2: Zeige dass A^{T} A und AA^{T} symmetrisch sind. (2 Punkte)

Aufgabe 3: Betrachte die Matrix

A = I_{n} − 2aa^{T} ∈ ℝ^{n×n}

wobei a = (α_{1}, α_{2}, ..., α_{n})^{T} ∈ ℝ^{n} ein Vektor der Euklidischen Länge 1 ist.

(i) Zeige, dass A sowohl symmetrisch, wie auch orthogonal ist. (3 Punkte)

(ii) Entwickle eine Formel, die zu einem beliebigen, vorgegebenem b ∈ ℝ^{n} ein x ∈ ℝ^{n} liefert, dass folgende Gleichung erfüllt: (4 Punkte)

Ax = b

(iii) Berechne x ∈ ℝ^{3} für den Fall a = \frac{1}{\sqrt{6}}(1, −2, 1) und b = (2, 0, −1/2). (2 Punkte)

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