HUMBOLDT–UNIVERSITÄT ZU BERLIN

Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II Institut für Mathematik Prof. PhD. Andreas Griewank Dr. Andrej Ponomarenko Dipl.-Ing. Heinz–Jürgen Lange

Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik, Unter den Linden 6, D-10099 Berlin

Übungsaufgaben zur Vorlesung Mathematik für Informatiker I

Serie 13. (Abgabe: bis 15.02.05)

Aufgabe 1: Betrachte ein lineares Gleichungssytsem Ax = b ∈ IR^{m} mit A ∈ IR^{m×n} und seine Lösungsmenge X ≡ {x ∈ IR^{n} : Ax = b}.

(i) Zeige, dass X ⊂ IR^{n} immer affin ist! (2 Punkte)

(ii) Zeige, dass X ein linearer Unterraum ist gdw. b = 0, d.h. das Problem homogen ist! (2 Punkte)

(iii) Zeige, dass X nie aus genau zwei Elementen bestehen kann! (2 Punkte)

(iv) Konstruiere ein Beispiel, bei dem X leer ist! (2 Punkte)

(v) Zusatzaufgabe: Speziell in der linearen Optimierung betrachtet man oft Systeme linearer Ungleichungen der Form

Ax ≤ b ⇔ ∑_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j} ≤ b_{i}, für i = 1, ..., m

Zeige, dass die Menge der x, die diese Bedingung erfüllen, konvex ist. (2 Bonuspunkte)

Aufgabe 2: Löse das Gleichungssystem

( \begin{matrix}3 & 5 & 1 \\ 1 & 5 & 2 \\ 2 & 4 & 8 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}7 \\ 4 \\ 5 \end{matrix} )

(i) mit Gauss Elimination. (2 Punkte)

(ii) nach der Cramerschen Regel. (3 Punkte)

Aufgabe 3: Betrachte die Matrix

( \begin{matrix}2 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & −1 & 0 & 1 \\ 4 & −2 & 12 & 5 \\ 2 & 0 & 7 & 4 \end{matrix} )

(i) Berechne die Determinante! (3 Punkte)

(ii) Untersuche wie sich das Ergebnis verändert, wenn man die zweite Zeile mit einer reelen Zahl μ multipliziert! (2 Punkte)

Aufgabe 4: Berechene das charakteristische Polynom der Matrix

( \begin{matrix}1 & 3 & 2 \\ −9/7 & 1 & 2 \\ 10/7 & 1 & 1 \end{matrix} )

und berechne ihre Eigenwerte sowie zumindest einen Eigenvektor. (4 Punkte)

phone: 030/2093-5820  fax: 030/2093-5848  e-mail: griewank@math.hu-berlin.de             andrej@math.hu-berlin.de
lange@math.hu-berlin.de                                                 http://www.mathematik.hu-berlin.de/∼gaggle/MATHINF