HUMBOLDT–UNIVERSITÄT ZU BERLIN

Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II Institut für Mathematik Prof. PhD. Andreas Griewank Dr. Andrej Ponomarenko Dipl.-Ing. Heinz–Jürgen Lange

Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik, Unter den Linden 6, D-10099 Berlin

Übungsaufgaben zur Vorlesung Mathematik für Informatiker I

Serie 9. (Abgabe: bis 18.01.05)

Aufgabe 1: Im Anschauungsraum betrachte die Vektoren u = (2, 5, 1)^{T} und v = (3, 2, 4)^{T}.

a) Berechne die Euklidische Länge von u, v, u + v, u − v und verifiziere die Dreiecksungleichung und die Parallelogramm–Gleichung. (4 Punkte)

b) Berechne das Innere Produkt u · v und verifiziere die Gültigkeit der Cauchy–Schwarz– Ungleichung. (3 Punkte)

c) Berechne den Winkel ϕ zwischen u und v. (2 Punkte)

d) Berechne die orthogonale Projektion ũ von u auf v. (2 Punkte)

e) Prüfe, dass u − ũ orthogonal zu v ist. (2 Punkte)

f) Berechne den Vektor ṽ, der sich von obigen v nur in der letzten Komponente unterscheidet und zu u orthogonal ist. (2 Punkte)

g) Berechne den minimalen Abstand zwischen u und v = (3, 2, ν)^{T} mit ν als Variable. (3 Punkte)

h) Berechne das Kreuzprodukt u × v und zeige, dass es sowohl zu u, als auch zu v orthogonal ist. Außerdem prüfe ||u × v|| = ||u|| ||v|| sin ϕ mit ϕ wie in Aufgabe c). (3 Punkte)

i) Für w = (1, 2, 6)^{T} berechne das Spatprodukt [u, v, w] und entscheide, ob das System u, v, w links- oder rechts-orientiert ist. (2 Punkte)

j) Überprüfe, dass |[u, v, w]| ≤ ||u|| ||v|| ||w||. (2 Punkte)

Aufgabe 2: Betrachte die L_{1} Norm: ||v||_{1} = |ν_{1}| + |ν_{2}| + |ν_{3}|

a) Zeige, dass || · ||_{1} für beliebige u und v die Dreiecksungleichung ||u + v||_{1} ≤ ||u||_{1} + ||v||_{1} erfüllt. (2 Punkte)

b) Zeige, dass || · ||_{1} für die in Aufgabe 1 angegebenen Vektoren (u, v) die Parallelogramm– Gleichung nicht erfüllt. (2 Punkte)

c) Verifiziere für u und v (aus Aufgabe 1), dass || · ||_{1} die umgekehrte Dreiecksungleichung erfüllt. (2 Punkte)

d) Betrachte die Punkte u = (1, 0) und v = (2, 2) in der Ebene ℝ^{2}. Zeige geometrisch, dass es mehrere Werte α ∈ ℝ gibt, für die ||u − αv||_{1} minimal wird. (3 Punkte)

Aufgabe 3: Die Koordinaten von Berlin sind 13^{∘}20′ Länge und 52^{∘}31′ Breite. Der Abstand vom Erdmittelpunkt ist |r| = 6371 km. Betrachte ein Koordinatensystem mit diesem Ursprung, der Erdachse als z–Achse und Greenwich Meridian in der z − x–Ebene. Die Rotationsgeschwindigkeit der Erde ist ω = 7.2921 ∗ 10^{−5} rad/s. Berechne den Geschwindigkeitsvektor von Berlin in diesem Koordinatensystem. (4 Punkte)

phone: 030/2093-5820  fax: 030/2093-5848  e-mail: griewank@math.hu-berlin.de         andrej@math.hu-berlin.de
lange@math.hu-berlin.de        wagnerha@math.hu-berlin.de        http://www.mathematik.hu-berlin.de/∼gaggle/MATHINF