Vorlesung: Dienstags 12:00 - 13:30, in Raum NB 02/99 und Mittwochs, 14:15 - 15:45, in Raum IA 1/75 Übung: Mittwochs, 08:30 - 10:00, IA 1/135 Sprechstunde / weitere Diskussion: nach den Vorlesungen / Übungen
Ankündigungen:
Die erste Übung findet am Mittwoch den 17. April statt.
Die Vorlesung am Mittwoch den 17. April und 12. Juni entfallen, da zeitgleich das Kolloquium stattfindet. Die Teilnahme am Kolloquium wird empfohlen. Bei Bedarf werden diese beiden Termine zu einem späteren Zeitpunkt nachgeholt.
Inhalt:
In der Differentialtopologie werden glatte Mannigfaltigkeiten untersucht. In dieser Vorlesung werden wir Mannigfaltigkeiten studieren indem wir sie in einfache Stücke zerschneiden. Diese einfachen Stücke, sogenannte Henkel, sind (nach Glättung der Ecken) alle diffeomorph zu Bällen. Die gesamte Information über die ursprüngliche Mannigfaltigkeit ist also in den Verklebeabbildungen dieser einfachen Stücke kodiert. Am Anfang der Vorlesung werden wir eine Einführung in die Theorie der glatten Mannigfaltigkeiten und ihre Henkelzerlegungen geben und uns danach auf niedrige Dimensionen einschränken.
Dies wird dann zum Begriff eines Heegaard-Diagramms einer 3-Mannigfaltigkeit führen, ein 2-dimensionales Diagramm, in dem die gesamte Information der 3-Mannigfaltigkeit kodiert ist.
Eine Dimension höher werden wir die gesamte Information einer glatten kompakten 4-Mannigfaltigkeit (oder ihres 3-dimensionalen Randes) in einem sogenannten Kirby-Diagramm darstellen. Als Kirby-Kalkül werden dann ganz allgemein die Modifikationen solcher Diagramme bezeichnet, welche den Diffeomorphietyp der entsprechenden 4-Mannigfaltigkeiten (oder ihres 3-dimensionalen Randes) nicht ändern. Mittels Kirby-Kalkül werden wir zum Beispiel zeigen, dass jede 3-Mannigfaltigkeit als Rand einer 4-Mannigfaltigkeit auftritt und exotische 4-Mannigfaltigkeiten konstruieren, dass heißt glatte 4-Mannigfaltigkeiten, die homöomorph aber nicht diffeomorph sind.
Zum Ende der Vorlesung werden wir unser Verständnis über Henkelzerlegungen benutzen um eine Version der Poincaré Vermutung in höheren Dimensionen zu beweisen, welche besagt, dass eine Mannigfaltigkeit mit der algebraischen Topologie einer Sphäre, schon eine Sphäre sein muss.
Vorwissen: Vorrausgesetz werden die Anfängervorlesungen (Analysis I, II and Lineare Algebra I, II).
Exam: Die Prüfung findet am Ende des Semesters in Form einer mündlichen Prüfung statt. Den Termin werden wir zu Beginn des Semesters festlegen.
Übungsblätter: Blatt 1 (pdf) Blatt 2 (pdf) Blatt 3 (pdf)
Inhaltsverzeichnis: (vorläufig)
0. Übersicht:
1. Knoten und Verschlingungen:
1.1. Projektionen und Reidemeister-Bewegungen
1.2. Knoten Invarianten
1.3. Knotenpolynome - Das Jones Polynom
2. Mannigfaltigkeiten und Henkelzerlegungen:
2.0. Topologische Räume
2.1. Glatte Mannigfaltigkeiten
2.2. Die Poincaré Vermutung
2.3. Der Tangentialraum und Transversalität
2.4. Henkelzerlegungen
2.5. Henkelhomologie
3. Flächen:
3.1. Kirby-Kalkül von Flächen und der Flächenklassifikationssatz
3.2. Baer's theorem
3.3. Die Abbildungsklassengruppe
3. Heegaard-Zerlegungen von 3-Mannigfaltigkeiten:
3.1. Existenz von Heegaard-Zerlegungen
3.2. Heegaard-Diagramme
3.4. Linsenräume
3.5. Henkelbewegungen und Stabilisierungen
3.6. Die Primzerlegung von 3-Mannigfaltikeiten
4. Dehn-Chirurgie von 3-Mannigfaltigkeiten:
4.1. Chirurgie und Henkelkörper
4.2. Chirurgiebeschreibungen von 3-Mannigfaltigkeiten
4.3. Chirurgiekoeffizienten und Verschlingungszahlen
4.4. Die Poincaré Homologiesphäre
4.5. Ganzzahlige Chirurgie und der Satz von Lickorish-Wallace
4.6. Rolfsen-Twists und Kirby's Theorem
5. Kirby-Kalkül von 4-Mannigfaltigkeiten:
4.1. Kirby-Diagramme
4.2. Die Schnittform und die Homologie von 2-Henkelkörpern
4.3. Topologische und glatte 4-Mannigfaltigkeiten
4.4. Henkelbewegungen
4.5. Henkelaufhebungen
4.6. Stabilisierungssätze für 4-Mannigfaltigkeiten
4.7. Die punktierte Kreis Notation für 1-Henkel
4.8. Die Akbulut-Kirby-Sphäre
6. Exotische 4-Mannigfaltigkeiten
6.1. Knoten-Geschlechter und Scheibenknoten
6.2. Konstruktion von potenziell exotischen Spähren
6.3. Exotische Kopien von R4
7. Hoch-dimensionale Mannigfaltigkeiten:
7.1. Der Kobordismenring
7.2. Konstruction von exotischen Sphären
7.3. Der h-Kobordismensatz und der Beweis der Poincaré Vermutung in hohen Dimensionen
8: Ausblick: Der Geometrisierungssatz
8.1. Geometrisierung von 2-Mannigfaltigkeiten
8.2. Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten und die 3-dimensionale Poincaré Vermutung
8.3. Hyperbolische Geometrie Literatur:
Ich werde keiner besonderen Quelle folgen, aber im Laufe der Vorlesung hier auf begleitende und zusätzliche Literatur verweisen.
Knotentheorie und 3-Mannigfaltigkeiten: V. Prasolov and A. Sossinsky: Knots, Links, Braids and 3-Manifolds, AMS, 1997, available online here. D. Rolfsen: Knots and Links, Publish or Perish, 1976, available online here. Before you look into Rolfsen's book I also recommend reading the following
review on it.
Henkelzerlegungen: H. Geiges: How to depict 5-dimensional manifolds, Jahresbericht der DMV, 2017, available online at the ArXiv. R. Gompf and A. Stipsicz: 4-Manifolds and Kirby Calculus, AMS, 1999, available online here.
For more information on handle decompositions of surfaces you may also consult: C. Wengler: Skript zur Topologie I, 2019, available online here.
Knotentheorie: G. Burde, M. Heusener and H. Zieschang: Knots, De Gruyter, 2013, available online here. P. Cromwell: Knots and Links, Cambridge University Press, 2012, available online here. P. Ozsvath, A. Stipsicz and Z. Szabo: Grid Homology for Knots and Links, American Mathematical Society, 2002, available online
here.
Morse-Theorie: Y. Matsumoto: An Introduction to Morse Theory, American Mathematical Society, 2002, available online here. J. Milnor: Morse Theory, Princeton University Press, 1963, available online here.
Abbildungsklassengruppe: B. Farb and D. Margalit: A Primer on Mapping Class Groups, Princeton University Press, 2012, available online here.
Klassische Sätze der Differentialtopologie: T. Bröcker and K. Jänich: Einführung in die Differentialtopologie, Springer. (A translation to English is also available.) V. Guillemin and A. Pollack: Differential topology, Prentice-Hall, 1974. M. Hirsch: Differential topology, Springer, 1976. J. Milnor: Topology from the Differentiable Viewpoint, The University Press of Virginia, 1965.
Algebraische Topologie: S. Friedl: Lecture notes for Algebraic Topology I-IV, available online at his
homepage. A. Hatcher: Algebraic topology, available online at his homepage. C. Wendl: Lecture notes for Topologie I and II, available online at his homepage. M. Armstrong: Basic Topology, Springer, 1983. S. Friedl: Lecture notes for Algebraic Topology I-IV, erhältlich online auf seiner Homepage. A. Fomenko and D. Fuchs: Homotopical topology, Springer, 2016. K. Jänich: Topologie, Springer, 1996.
Allgemeine 4-Mannigfaltigkeiten: A. Scorpan: The wild world of 4-manifolds, AMS, 2005.