Im Folgenden finden Sie alle Themen der Vorlesungen Lineare Algebra und
Analytische Geometrie I und II zusammen mit typischen Fragen
aufgelistet.
Die Prüfungsfragen werden nicht notwendigerweise genau die
angegebenen
sein, aber wenn Sie diese Fragen sicher beantworten können dann
besitzen
Sie genügend Kenntnisse, um die Prüfung souverän zu
meistern.
Die wichtigsten Themen und Abschnitte sind hervorgehoben. Sicheres
Wissen in den fett gedruckten Themenkreisen sichert Ihnen
eine gute Note. Solide Kenntnisse in den zusätzlich unterstrichenenThemen
werden von jedem Studenten erwartet. Wer eine sehr gute Note erreichen
möchte, muss natürlich auch Fragen aus den nicht
hervorgehobenen Themenkreisen beantworten können.
Die Daumenregel beim Lernen sollte sein: Wichtig ist alles. Wenn Sie
beispielsweise den Laplaceschen Entwicklungssatz verstanden haben,
kennen Sie sicher auch die Eigenschaften der Determinante.
Für die Prüfung sind etwa 30 Minuten vorgesehen. Es gibt zwar
keine Vorbereitungszeit, aber Sie sollten schon etwas vor
Prüfungsbeginn
vor Ort sein. Planen Sie vielleicht eine halbe Stunde ein, um vor der
Prüfung innerlich etwas zur Ruhe kommen. Dabei können Sie
sich beispielsweise die Themenliste noch einmal anschauen, um sich die
großen Zusammenhänge in Erinnerung zu rufen.
Außerdem sollten Sie Ihren Vortrag noch einmal im Kopf
durchgehen, damit Sie bei Prüfungsbeginn nicht vor Schreck alles
vergessen oder nicht
mehr wissen, womit Sie eigentlich beginnen wollten. Das alles kann
wichtiges
Selbstvertrauen schaffen.
Die Prüfung selbst besteht aus 3 Teilen (jeweils ca. 10 Minuten
lang).
Im ersten Teil tragen Sie (ohne Notizen!!) über ein Thema aus der
linearen Algebra vor, auf das Sie sich zu Hause vorbereiten
können.
Beachten Sie dabei, dass Sie nicht mehr als 10 Minuten dafür zur
Verfügung haben, planen Sie also Ihre Zeit nicht zu knapp ein.
Beim Vortragen vor anderen Personen braucht man meist mehr Zeit als
wenn man nur für sich selbst spricht.
Im zweiten Teil stellen wir Ihnen ein konkretes Problem (z.B.
Lösen eines linearen Gleichungssystems, Bestimmmen einer
Orthonormalbasis usw.). Wir möchten dabei herausfinden, ob Sie
wissen, wie man gegebene Fragen prinzipiell lösen könnte. Es
geht nicht darum, Ihre Nerven mit der Invertierung expliziter
7x7-Matrizen oder der Bestimmung von Rang und Index eines gegebenen
Nichtstandard-Skalarproduktes des R19 auf die Probe
zu stellen! Sie müssen jedoch wissen, welche Schritte zur
Problemlösung notwendig sind.
Im dritten Teil stellen wir Ihnen einige Testfragen zur Vorlesung.
Diese werden prinzipiell wie in der untenstehenden Liste sein,
können aber auch stärker in Details gehen. Sie können
auch versuchen, bei Fragen in Gebieten, die Ihnen besonders liegen, in
die Details zu gehen, die Sie besonders gut kennen.
Wir wünschen Ihnen bei der Vorbereitung und bei der Prüfung
selbst viel Erfolg!!
- Lineare Gleichungssysteme
- homogene Gleichungssytseme und Lösungsräume
- erweiterte Koeffizientenmatrix
- Gauß-Jordan-Algorithmus
Was sind lineare Gleichungssysteme? Wie berechnet man deren
Lösungen?
Wie sehen die zu erwartenden Lösungsmengen aus? Was ist das
Besondere homogener linearer Gleichungssysteme?
Was ist der Rang einer Matrix? Was hat er mit der Dimension des
Lösungsraumes zu tun?
- Ringe, Körper, Rechnen mit komplexen Zahlen
(wird erwartet, aber ist nicht eigenes Prüfungsthema)
Beschreiben und erläutern Sie die Axiome eines Körpers.
Beschreiben und erläutern Sie die Axiome eines Ringes.
Geben Sie Beispiele.
- Polynome
- Rechnen mit Polynomen (Addition, Multiplikation)
Was sind Polynome? Was ist der Grad eines Polynoms? Wie addiert und
multipliziert man Polynome?
- Polynomdivision
Führen Sie (eine konkrete) Division mit Rest zwischen Polynomen
aus. Was ist der grösste gemeinsame Teiler von Polynomen?
*Wie bestimmt man ihn?*
- Nullstellen und Vielfachheiten
Wie viele Nullstellen kann ein Polynom im Allgemeinen besitzen? Belegen
Sie Ihre Aussage mit Beispielen.
Was ist eine mehrfache Nullstelle?
- Fundamentalsatz der Algebra (ohne Beweis, Anwendung auf
reelle und komplexe Polynome)
Formulieren Sie den Fundamentalsatz! Was sind die Primfaktoren
komplexer Polynome? Was sind die Primfaktoren reeller Polynome?
- Elementarsymmetrische Funktionen
Wie kann man die Koeffizienten eines Polynoms aus seinen Nullstellen
bestimmen?
- Matrizen
- Multiplikation von Matrizen
Wie multipliziert man Matrizen? Welche Matrizen kann man miteinander
multiplizieren? Welchen Rechenregeln genügen die Multiplikation
und Addition von Matrizen? Ist die Addition kommutativ? Ist die
Multiplikation kommutativ? Geben Sie Beispiele für Ihre Aussagen,
falls relevant.
- Lineare Gleichungssysteme und Gaußalgorithmus mit
Matrizen
Beschreiben Sie lineare Gleichungssysteme durch Matrizen. Beschreiben
Sie den Gaußalgorithmus durch die Elementarmatrizen.
- Inverses einer Matrix, Gl(n;R)
Was ist das Inverse einer Matrix? Wann existiert es? Wie berechnet man
es?
- Gruppen
Erläutern Sie die Axiome von Gruppen. Was ist ein
Gruppenhomomorphismus? Geben Sie Beispiele an.
Warum ist das Rechtsinverse (einer Matrix) gleich seinem Linksinversen?
- Permutationen, Signatur
Beschreiben Sie Permutationen. Begründen Sie warum sich jede
Permutation als Verknüpfung von Transpositonen schreiben
lässt. Was ist die Signatur einer Permutation und wie kann man sie
berechnen?
- Determinanten
- Leibniz-Formel
Was ist die Determinante einer Matrix? Geben Sie Formeln für die
Determinante von 2x2 und 3x3-Matrizen an.
- Berechnung von Determinanten
Welche Eigenschaften hat die Determinante? Welche davon reichen aus, um
sie bestimmen zu können?
- geometrische Bedeutung (siehe "Multilineare Algebra")
Berechnen Sie das Volumen eines Parallelotops.
- Laplacescher Entwicklungssatz
Geben Sie eine Formel für die Determinante mithilfe der Minoren an.
- Cramersche Regel
Berechnen Sie das Inverse einer Matrix mithilfe der Determinanten der
Minoren.
Welche Matrizen mit Elementen in einem kommutativen Ring sind
invertierbar?
- Vektorräume
- Definition, Beispiele
Erläutern Sie die Axiome der Vektorräume. Was sind
Untervektorräume? Wie sehen Durchschnitte von
Untervektorräumen aus? Geben Sie Beispiele an.
- Lineare Abbildungen
Was bedeutet Linearität? Beachten auch das nachfolgende Kapitel.
- Summen, Quotienten (Faktorräume)
Beschreiben Sie (geometrisch) den Quotienten von Vektorräumen.
Wann ist ein Vektorraum die direkte Summe von Unterräumen?
- Lineare Unabhängigkeit
Was ist der von einer Familie aufgespannte Untervektorraum? Was
ist lineare Unabhängigkeit? Geben Sie einfache Beispiele von
linear abhängigen und linear unabhängigen Familien an.
- Basen, Koordinaten
Was ist eine Basis eines Vektorraumes? Geben Sie Beispiele an. Was sind
die Koordinaten eines Vektors bzgl. einer Basis?
- Ergänzungssatz von Steinitz
Begründen Sie, dass jeder endlich erzeugte Vektorraum eine Basis
besitzt. Wie verhält sich die Dimension unter direkter Summe und
Quotienten?
- Dimension
Was ist die Dimension eines Vektorraumes? Wie verhält sie sich
zwischen Vektorraum und seinen Untervektorraum?
- Koordinatentransformation
Wie ermittelt man die Koordinaten eines Vektors bezüglich einer
Basis aus den Koordinaten bezüglich einer anderen Basis?
- Lineare Abbildungen
- Bild und Kern
Was sind Bild und Kern einer linearen Abbildung? Wie verhalten sich
deren Dimensionen? Wie ermittelt man deren Basen?
- Matrixdarstellung, Transformation
Erläutern Sie die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung. Was
kann man aus ihr direkt ablesen? Inwiefern hängt sie von der Wahl
von
Basen in Definitions- und Wertebereich ab? Leiten Sie die Formel
für
die Transformation her.
- Rang und Normalform
Erläutern Sie das Normalformproblem der Matrixdarstellung linearer
Abbildungen. Was ist die Normalform?
- Jordanzerlegung von Endomorphismen
- Normalformproblem
Erläutern Sie das Normalformproblem der Matrixdarstellung von
Endomorphismen eines Vektorraumes. Was ist der Nutzen?
Was ist ein diagonalisierbarer Endomorphismus?
- Eigenwerte und Eigenvektoren
Was sind Eigenwerte und deren Eigenvektoren? Wie bestimmt man diese?
Was bedeuten komplexe Eigenwerte für reelle Endomorphismen?
- Charakteristisches Polynom, Minimalpolynom
Was ist das charakteristische Polynom eines Endomorphismus? Was ist das
Minimalpolynom? Welche Beziehungen gibt es zwischen ihnen? Welche
Informationen lassen sich allein aus einem annulierenden Polynom eines
Endomorphismus gewinnen?
- Jordanblöcke
Was sind verallgemeinerte Eigenvektoren? Was sind nilpotente
Endomorphismen? Wie hängen die Grösse und die Anzahl der
Jordankästchen eines Endomorphismus vom charakteristischen und vom
Minimalpolynom ab? Kann man diese Zahlen immer oder manchmal
vollständig daraus bestimmen? Belegen Sie Ihre Antwort mit
Beispielen.
- Satz über die Jordanzerlegung
Was ist die Normalform eines komplexen Endomorphismus?
- 1.Zerlegungssatz und Hauptraumzerlegung
Zeigen Sie, dass ein Endomorphismus den Vektorraum in die direkte Summe
von verallgemeinerten Eigenvektoren zerlegt werden kann.
- Jordanzerlegung komplexer Endomorphismen
Zeigen Sie den Satz über die Jordanzerlegung.
- Satz von Caley-Hamilton
Warum annuliert das charakteristische Polynom den Endomorphismus?
- Algorithmus zur Bestimmung der Jordanschen Normalform
eines Endomoprhismus und der zugehörigen Basis (in einfachen
Fällen, dim ≤ 3)
- Jordanzerlegung reeller Endomorphismen
Was ist die Normalform eines reellen Endomorphismus?
- Bilinearformen
- Duale Vektorräume (Beispiele, kanonische
Abbildung, duale Basen, duale Abbildungen)
Was ist das Dual eines Vektorraums? Was ist das Dual einer linearen
Abbildung? Geben Sie Beispiele an.
Wie sehen duale Basen aus? Wie verhält sich die Matrixdarstellung
einer linearen Abbildung zu ihrem Dual?
- Bilinearformen (Beispiele,Gramsche Matrix,
nicht ausgeartete, symmetrische, antisymmetrische BLFen)
Was sind Bilinearformen? Geben Sie Beispiele an. Was ist die
zugehörige lineare Abbildung? Was ist die Matrixdarstellung einer
Bilinearform? Wie sieht
die der zugehörigen lineare Abbildung aus? Was ist der Rang einer
Bilinearform?
Wann ist eine Bilinearform nicht ausgeartet, symmetrisch bzw.
antisymmetrisch?
Geben Sie Beipiele an.
- Euklidische Vektorräume (Orthogonalbasen,
Koordinaten, orthogonale Projektion, Gram-Schmidtscher
Algorithmus)
Was ist ein euklidischer Vektorraum? Was ist die Länge eines
Vektors und der Winkel zwischen zwei Vektoren. Was sind Orthogonal- und
Orthonormalbasen? Geben Sie Beispiele an.
Wie bestimmen sich die Koordinaten eines Vektors bzgl. einer
Orthonormalbasis? Was ist eine orthogonale Projektion? Wie beschreibt
man diese mithilfe einer Orthonormalbasis?
Wie konstruiert man eine Orthonormalbasis? Beweisen Sie die
Cauchy-Schwarzsche Ungleichung oder die Dreiecksungleichung.
Beweisen Sie die Besselsche Ungleichung.
- Orthogonale Gruppe
Was ist eine orthogonale Abbildung? Welche Matrizen beschreiben
orthogonale Abbildungen im Rn? Was ist eine
Orientierung eines endlich-dimensionalen reellen Vektorraums? Was ist
eine spezielle orthogonale Matrix?
Beschreiben Sie die Elemente von O(2) und O(3). Wie berechnet man
Drehwinkel, Drehachse, Spiegelungsgerade bzw. Spiegelungsebene?
- Spektralzerlegung symmetrischer Endomorphismen
Was ist ein symmetrischer Endomorphismus? Wann ist die
Matrixdarstellung eines solchen eine symmetrische Matrix? Warum ist
jeder symmetrische Endomorphismus reell diagonalisierbar?
- Hauptachsentransformation
Zeigen Sie, dass jeder symmetrische Endomorphismus sogar eine
Orthonormalbasis aus Eigenvektoren zu reellen Eigenwerten besitzt.
- Polarzerlegung von Endomorphismen
Zeigen Sie, dass jeder symmetrische Endomorphismus mit positiven
Eigenwerten eine eindeutige Wurzel mit positiven Eigenwerten hat.
Zeigen Sie dass jede reelle quadratische Matrix ein Produkt aus
orthogonaler und symmetrischer Matrix mit positiven Eigenwerten ist.
- Trägheitssatz von Sylvester
Geben Sie eine vollständige Liste von Invarianten reeller
symmetrischer Bilinearformen an.
- Unitäre Vektorräume
Was ist ein unitärer Vektorraum? Sie sollten die unitären
Entsprechungen der Fragen unter "Euklidische Vektorräume"
beantworten können, wobei
"orthogonal/orthonormal" durch "unitär" zu ersetzen werden ist.
- Spektralzerlegung selbstadjungierter Endomorphismen
Die unitären Analoga zu "symmetrischen Endomorphismen" und
"Hauptachsentransformation" sollten Sie kennen.
- Affine und projektive Geometrie
- Affine Transformationen und euklidische Bewegungen
Was sind affine Transformationen? Beschreiben Sie Bewegungen als affine
Transformationen. *Beweisen Sie den Satz vom Fussball.*
Begründen Sie, dass eine Ihnen gegebene affine Abbildung der Ebene
eine Drehung ist und bestimmen Sie das Drehzentrum und den Drehwinkel.
*Lösen Sie analoge Probleme im 3-dimensionalen Raum.*
- Quadriken (Normalform, Quadriken der Ebene und des
Raumes)
Beschreiben Sie, was eine Quadrik ist. Geben Sie Beispiele von
Quadriken in der Ebene und im Raum an. Geben Sie eine Gleichung an, die
eine skizzierte Quadrik erfüllen könnte.
- Kegelschnitte, Brennpunkte und Regelflächen
Warum nennt man ebene Quadriken Kegelschnitte? Was sind
Brennpunkte und was ist ihre geometrische Bedeutung?
Was sind Regelflaechen? Wie bestimmt man ihre Geradenscharen?
- Affine Klassifikation der Quadriken (affine
Hauptachsentransformation)
Wie bestimmt man die Form einer Quadrik ohne die Eigenwerte der
zugehörigen quadratischen Matrix zu bestimmen?
- Projektiver Raum (Projektivitäten, projektive
Dualität)
Erläutern Sie, was ein projektiver Raum ist. Geben Sie Beispiele
für projektive Abbildungen an.
Was ist ein homogenes Polynom? Was ist eine projektive Quadrik?
- Projektive Klassifikation der Quadriken
Wie sehen die projektiven Nullstellenmengen homogener quadratischer
Polynome aus?