Zuletzt geändert:   23.01.06

Ausgewählte Kapitel der Differentialgeometrie

Proseminar  im WS 05/06 für Diplom- und Lehramtsstudenten


Inhalt:
In den ersten 6 Vorträgen sollen grundlegende geometrische Konzepte von Kurven und Flächen im 3-dimensionalen Raum erarbeitet werden. Dem Umstand, dass wir so elementar wie möglich bleiben wollen und müssen, tragen wir Rechnung, indem wir uns mit dem Buch von Spivak weitgehend eine "historische" Sichtweise zu eigen machen. Dieser Darstellung fehlt sicherlich die glattgeschliffene und pollierte Elleganz modernerer Vorlesungen zum gleichen Thema, scheint mir aber für ein (Pro-)Seminar durch seine "der-Weg-ist-das-Ziel"-Formulierung ein interessantes Quellenmaterial zu sein. Der zweite Teil des Proseminars behandelt aufbauend auf den ersten spezielle Themen der Kurven- und Flächentheorie. Hier ist auch Platz für eigene Vorschläge. Wir wollen die gewonnenen Begriffe an Beispielen veranschaulichen und vertiefen, sowie eine enge Verzahnung von Kurven- und Flächentheorie herstellen.

Ablauf:
Das Seminar findet wöchentlich montags von 11:15-12:45 Uhr, RUD 25 1.011  statt.  Die grundlegenden Vorträge werden so bis zum Semesterende behandelt sein.
Für den zweiten Teil treffen wir uns am  Samstag, den 18.Februar.



Grundlegende
Vorträge im Semester:
Datum
Titel
Schwerpunkte
Literatur
Vortragende
16.Jan
1) Ebene Kurven
Wiederholung: reguläre Kurven, Parametrisierung nach Bogenlänge, Schmiegkreis(S.6), Krümmung(S.8), Parameter-unabhängige Formel(S.11), Interpretation nach Huygens/Leibniz/Newton(S.12), Lift der Winkelfunktion(S.22), totale Krümmung(S.24)
[Spi] S.1-12, S.21-24
Stephanie Wolter
Denise Neumann
23.Jan
2) Räumliche Kurven
Schmiegebene(S.34), Krümmung und Torsion(S.36/37), Parameter-unabhängige Formel(S.40), Projektion auf Schmieg-, Normal- und Rektifizierende Ebene(S.42), Frenet-Formeln(S.45), Hauptsatz der Kurventheorie(S.45).
[Spi] S.32-46 Oliver Sanftleben
Jochen Taeschner
30.Jan
3) Flächen im R³ und Kurven auf Flächen
Wiederholung: Parametrisierung von Flächen, Bsp. Graph und Niveaumenge, Tangentialraum, Differential  df = f_*, I.Fundamentalform,  Krümmung von Schnittkurven Fläche/Ebene: Euler(S.66) und Meusiers(S.72). [Spi] S.65-73
Qi Weisong
Stefan Lindner
6.Feb
4) Gaussabbildung und Krümmung
Gaussabbildung(S.87), Motivation(S.89-92), Krümmung(S.94), Krümmung als Produkt der Extremalkrümmungen(S.96), Weingartenabbildung(S.99), II.Fundamentalform(S.99),  Meusier revisited(S.99)
[SpII] S.86-88, S.93-100
Ariane Beier
Diane Dross
13.Feb
5) "Theorema Egregium"
Symmetrie von II(S.100), Euler revisited(S.103), Krümmung als Determinante der Weingartenabbildung(S.104),  Krümmung in Thermen von I - "Theorema Egregium"(S.108), Isometrien
[Spi] S.100-112
Robert Foellmer
Michael Jung
18.Feb
11:30
6) Geodäten Variation der Bogenlänge, Geodätische als Kürzeste, Geodätische als am wenigsten gekrümmte, Christoffelsymbole, Differentialgleichung für Geodätische [G-B] S.36-42
Maria Piotrowski
Eric Karge

Literatur:
[G-B]    Grosse-Brauckmann: Klassische Differentialgeometrie (Skript im Internet)
[Spi]      M.Spivak: A comprehensive Introduction to Differential Geometry, Band II


Vertiefende Vorträge im Kompaktkurs:
17.Feb
15:00
7) Spezielle Kuven
Straßenbauer-Kurve, Kettenlinie, Tratrix, logarithmische Spirale, Radlinien (Astronomie)
[Spa] S.59-64,
S.78-86
Thorsten Kath
17.Feb
16:00
8) Kurvenscharen Hüllkurven, Orthogonaltrajektorien, Evolute/Evolvente
[Spa] S.65-76,
S.93-?, [St]
Claudia Ernst
Matthias Kreuschner
17.Feb
18:30
9) Eigenschaften der Kegelschnitte
Hyperbel, Parabel, Ellipse
[Spa] S.124-136
Saskia Becker
Teresa Degenkolb

10)  Globale Kurvensätze
Vierscheitelsatz,  Länge von Parallekurven, Figuren konstanter Breite, Satz von Fenchel
[doC] S.30-33,
[Spa] S.161-164

18.Feb
9:30
11)Krümmungslinien
 Krümmungslinien, Nabelpunkte, Asymptotenrichtungen, Dupinsche Indikatrix, Sätze von Beltrami-Enneper, Joachimsthal  und Dupin [doC] S.106-113
Christoph Pratsch
Stephanie Günter

12)  Rotationsflächen Längen- und Breitenkreise, Rotationsflächen konstanter Krümmung, Geodäten (Clairautsche Regel),  Beispiele
[doC] S.63,120,195-202

18.Feb
15:00
13) Regelflächen
Striktionslinie, Tangentenfläche, Torse, Beschreibung "flacher Flächen" (d.h. K=0), Brennflächen, Parallelflächen
[doC] S.142-149
[Kl] Kap.3.7
Anne Eggers
18.Feb
17:00
14) Minimalflächen
Mittlere Krümmung, Variation des Flächeninhalts,  Cauchy-Riemannsche DGL, isotherme Koordinaten, Seifenblasen
[doC] S.149-159
Sebastian Boldt
Peter Herbricht
 
weitere Themen, die mich interessieren würden:
- Affine invarianten von Kurven, [Spi] S.52-60
- Ebene algebraische Kurven , [Fi] Kapitel 1-5
- Projektive Kurven, [L-E]


Literatur:
[doC]    M.do Carmo: Differentialgeometrie von Kurven und Flächen
[Spa]     K.Spallek: Kurven und Karten
[Fi]        G.Fischer: Ebene algebraische Kurven
[L-E]     L.Locher-Ernst: Einführung in die freie Geometrie ebener Kurven
[St]        G.Steinberg: Evolute und Evolvente, (Aufsatz)
[Kl]        W.Klingenberg: Eine Vorlesung über Differentialgeometrie


Ein paar Hinweise für's Vortragen:


Ein paar Hinweise für's Zuhören:
Im Proseminar bekommt ihr von Mitstreitern kleine Vorträge geboten, die vielleicht noch nicht ganz perfekt sind, über die ihr vielleicht nie geprüft werdet oder die gar nicht relevant für euren eigenen Vortrag sind. Das ist nicht eine besondere Gemeinheit des Grundstudiums, sondern eine Situation, in der ihr Euch immer wieder finden werdet im Laufe des Studiums (Hauptseminar, Diplomandenseminar, Forschungsseminar etc.). Deshalb ist es wichtig bereits hier eine aktive Teilnahme zu praktizieren. Dazu gehören: