Differentialgeometrie I
BMS Course "Surface Theory"
Do 9-11 Uhr, RUD25, 1.013; Do 13-15
Uhr, RUD26, 0'310
English version
Vorlesender: Klaus Mohnke
Büro: Adlershof, Haus 1, Zimmer 306
Tel: (030) 2093 1814
Fax: (030) 2093 2727
Email: mohnke@mathematik.hu-berlin.de
Übung: Mi 15-17 Uhr, RUD 25, 1.115, Nicolas
Roy
Sprechstunden: Mi 9-11, RUD25, 1.306 (Büro) und nach
Vereinbarung
Übungsblätter
Nicolas
Roy's Homepage
Bemerkung
zu Weingartenabbildung und Gaußkrümmung
Bernhard Riemann (1826-1866)
Krümmung ist das zentrale
Untersuchungsobjekt dieser Vorlesung. Sie ist die grundlegende
infinitesimale Größe in der Riemannschen
Geometrie.
Letztere ist die Möglichkeit, geometrische Begriffe wie Abstand
und Winkel im zu betrachtenen Raum (beispielsweise einer
Fläche im euklidischen Raum) intrinsisch zu beschreiben, d.h. ohne
auf geometrische Eigenschaften eines umgebenen Raums (eben des
euklidischen Raums) zurückzugreifen. Die Tatsache, dass die nach
ihm benannte Krümmung einer ebensolchen Fläche intrinsisch
beschrieben werden kann, war Gauß bereits klar. Die gesamte
Geometrie unabhängig von einer gegebenen Einbettung (und für
Räume beliebiger Dimension) zu beschreiben, ist indes eine
der großen Leistungen seines Schülers. Die Tragweite war
Gauß indessen wohl
bewußt: der Legende zufolge, listete Riemann dieses Thema an
letzter Stelle der geforderten Liste für einen von der Kommission
zu bestimmenden Habilitationsvortrag, vielleicht mit der Idee, das es
unüblich sei, dass das Thema auf dieser Position ausgewählt
würde, zumal auch die anderen Themen heiße Kandidaten waren.
Sein Lehrer wählte zielsicher genau dieses Thema aus (Bernhard Riemann: Ueber die Hypothesen, welche der
Geometrie zu Grunde liegen). Riemann legte damit Grundlagen
moderner Geometrie. Einsteins allgemeine Reltivitätstheorie
fußt z.B. ganz wesentlich auf seinen Ideen.
Wir werden ganz allgemein Krümmung von
Zusammnhängen/kovarianten Ableitungen auf Vektorbündeln
einführen. Riemannsche Krümmung ist dann die Krümmung
des Levi-Civita-Zusammenhanges auf dem Tangentialbündel. Wir
werden sehen, wie sie auf natürliche Weise in der
Variationsrechnung des Längenfunktionals auftritt. Wir werden dann
Flächen im euklidischen Raum studieren, geometrisch motivierte
Krümmungsgrößen einführen und diese mit dem
allgemeinen Konzept vergleichen. Sie treten bei der Variation des
Flächenfunktionals auf und wir werden kritische Punkte,
nämlich Minimalflächen, untersuchen. Einen großen Teil
der Vorlesung werden wir mit der Frage verbringen, welche
geometrischen und topologischen Eigenschaften die Krümmung
impliziert.
Aktuelle und behandelte Themen der Vorlesung:
- Faserbündel
- Vektorbündel: Kozykelbeschreibung
- kovariante Ableitungen: Zusammenhangsform, Transformation
- Krümmung, 2.Bianchi-Identität
- 1. und 2. Bianchi-Identität
- Schnitt-, Ricci- und Skalarkrümmung
- Jacobifelder: Differential der Exponentialabbildung, konjugierte
Punkte, 2. Variation der Länge
- Sätze von Bonnet und Myers
- Lokale Isometrien, Raumformen, Theorem von Ambrose-Cartan-Hicks
- Hadamard-Räume
Literatur:
- M.P.do Carmo: Riemannian Geometry, Birkäuser
- M.P.do Carmo: Differentialgeometrie von Kurven und Flächen,
Vieweg
- Helga Baum: http://www.mathematik.hu-berlin.de/~baum/Skript/diffgeo1.pdf
- I.Agricola,Th.Friedrich: Globale Analysis, Vieweg
- J.-H.Eschenburg, J.Jost: Differentialgeometrie und
Minimalflächen, Springer
- R.L.Bishop,R.J.Crittenden: Geometry of Manifolds, AMS
Klaus Mohnke
Mo, 6. Juni 2007, 17:00