MSG-Zirkel 8e 2016/17

Dies ist die alte Seite, für Klasse 7 und 8. In Klasse 9 gab es keine Website, für Klasse 10 gab es wieder eine.

Dies ist die Website des MSG-Zirkels 8e. Der Zirkel findet jeden Donnerstag von 16:15 Uhr bis 18:00 Uhr im Mathematik-Gebäude der TU, Straße des 17. Juni 136, Raum MA 645 (das ist im sechsten Stock, Aufzüge sind vorhanden!) statt und wird von Leon Ochmann geleitet.

Inhalte und Materialen

Zusätzlich zu den unten angegebenen Themen werden stets noch die Hausaufgaben aus der vorigen Stunde besprochen.

Analytische Geometrie

27. April

Verschiedenes

  • Exkurs: Was ist eine 2?
  • Mathematikolympiade 561236
20. April

Verschiedenes

  • Exkurs: Was ist eine 2?
  • Mathematikolympiade 561236
6. April

Geradengleichungen in Parameterform

  • Einführung der „Rechenerleichterung“, die die Parameterform darstellt
  • konkrete Beispiele mit Schnittpunktbestimmung
  • Beweis, dass die Seitenhalbierenden sich in einem Punkt schneiden
30. März

Geradengleichungen II

  • Weitere Olympiadeaufgaben zum Thema
  • Analytischer Beweis, dass sich die Mittelsenkrechten im Dreieck in einem Punkt schneiden
23. März

Geradengleichungen

  • Koordinatensysteme
  • Flächeninhalt eines Parallelogramm mit Pick und mit rechtwinkligen Dreieck
  • Erinnerung an Geradengleichungen y = mx + n und x = n
  • Steigung einer Geraden in Abhängigkeit zur Steigung einer Senkrechten zur Geraden
  • Durchrechnen einer bereits mit elementargeometrischen Methoden gelösten Olympiadeaufgabe der letzten Berliner Mathematikolympiade, nämlich 561033

Zahlentheorie

16. März

Wiederholung Zahlentheorie

  • Wiederholung der Eulerschen φ-Funktion und Uhrenarithmetik
  • Knobelaufgabe zum Messen mit möglichst wenig Gewichten
  • Ausblick auf das neue Thema analytische Geometrie
9. März

Mathematikolympiade II

  • Verschiedene Olympiadeaufgaben der 56. Berliner Mathematikolympiade, nämlich 561034, 560936, 561234
Arbeitsblatt 38 (TeX-Datei)
2. März

Mathematikolympiade

  • Verschiedene Olympiadeaufgaben der Berliner Mathematikolympiade vom vergangenen Wochenende, nämlich 560833, 560835, 561033
Arbeitsblatt 38 (TeX-Datei)
23. Februar

Eulersche Phi-Funktion II

  • Zweiter Teil einer Formel für die Berechnung der eulerschen Phi-Funktion: φ(p1 ∙ … ∙ pn) = φ(p1) ∙ … ∙ φ(pn) = (p1 - 1) ∙ … ∙ (pn - 1)
  • kleines Intermezzo zum dreidimensionalen Satz des Pythagoras
Arbeitsblatt 38 (TeX-Datei)
16. Februar

Eulersche Phi-Funktion I

  • Erster Teil einer Formel für die Eulersche Phi-Funktion: φ(p1a1 ∙ … ∙ pnan) = p1a1-1 ∙ … ∙ pnan-1 ∙ φ(p1 ∙ … ∙ pn)
9. Februar

Verschiedenes

  • Größtenteils Hausaufgabenbesprechung
26. Januar

Division in ℤn

  • Erweiterung der These vom letzten Mal auf andere ℤn anhand von Beispielen
  • Beweis der Beobachtung
  • Entwicklung eines Algorithmus zur Division beziehungsweise Bestimmung von Inversen in ℤn
Arbeitsblatt 37 (TeX-Datei)
19. Januar

Division in ℤ24

  • Kriterien für sinnvolle Division (genau ein mögliches Ergebnis)
  • Beobachtung, dass Division durch x ∈ ℤ24 genau dann möglich ist, wenn x und 24 teilerfremd sind
12. Januar

Wiederholung und ℤ24

  • Wiederholung des Beweises der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung
  • Durchführbarkeit von Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division in der „Uhrenarithmetik“ am Beispiel ℤ24
5. Januar

Wiederholung und kgV

  • Wiederholung der letzten drei Einheiten vor den Ferien
  • Beobachtung und Beweis, dass kgV(a, b) ⋅ ggT(a, b) = a ⋅ b.
15. Dezember

Primfaktorzerlegung

  • Beweis der Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung
8. Dezember

Euklidischer Algorithmus

Arbeitsblatt 36 (TeX-Datei)
1. Dezember

Teilen mit Rest

  • Erinnerung an und Formalisierung der Division mit Rest als a = qb + r, 0 ≤ r < b
  • Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers über den euklidischen Algorithmus
  • Nutzung des Euklidischen Algorithmus' zur Lösung von ax+by=ggT(a, b)
Arbeitsblatt 35 (TeX-Datei)
24. November

Einführung

  • Besprechung verschiedener Muster quadratischer Reste modulo m, darunter Regelmäßigkeit, Symmetrie und Betrachtung der Summe 1²+2²+3²+…+m² modulo m
  • Währung mit nur zwei verschiedenen Münzen: Welche Beträge sind zahlbar? Beobachtung, dass genau die Vielfachen des größten gemeinsamen Teilers zahlbar sind
Arbeitsblatt 34 (TeX-Datei)

Kombinatorik

17. November

Arbeitsblatt 34 (TeX-Datei)
10. November

Binomischer Lehrsatz (Binomialkoeffizienten IV)

  • Besprechung von einigen Aufgaben aus der Regionalrunde der Matheolympiade vom Vortag
  • Berechnung von (a+b)n (binomischer Lehrsatz)
Arbeitsblatt 33 (TeX-Datei)
3. November

Unabhängige Wahrscheinlichkeiten

  • Diskussion des XKCD-Beispiels für unabhängige Wahrscheinlichkeiten
  • Berechnung des idealen Füllstands einer Wasserflasche für den Bottle-Flip (über die Bestimmung des niedrigst-möglichen Schwerpunkts)

Kein Arbeitsblatt dieses Mal!

20.–27. Oktober Herbstferien.
13. Oktober

Binomialkoeffizienten III

  • Doppelte Hausaufgabenbesprechung mit allerlei Aufgaben zu Binomialkoeffizienten
  • Summe der Quadrate einer Zeile des Pascalschen Dreiecks
  • Der vierte Fall von vor den Ferien als Binomialkoeffizient
Arbeitsblatt 32 (TeX-Datei)
29. September

Binomialkoeffizienten II

  • Hausaufgabenbesprechung aufs nächste Mal verschoben
  • Beobachtung und Beweis, dass das Pascalsche Dreieck aus Binomialkoeffizienten besteht
  • Versprochener 10-Minuten-Beweis des Satzes von Pick mittels Physik (über Wassergläser und Strömung in der Ebene)
Arbeitsblatt 32 (TeX-Datei)
22. September

Binomialkoeffizienten I

  • Wiederholung von vor den Ferien: Definition und kombinatorische Interpretation der Binomialkoeffizienten
  • Beweis, dass Halbkreise auf n Punkten über einer Geraden n über 4 Schnittpunkte außerhalb besitzen
Arbeitsblatt 31 (TeX-Datei)
15. September

Satz von Pick II

  • „Addieren“ von zwei Figuren
  • „Subtrahiern“ von zwei Figuren
  • Vollendung des Beweises
  • Einführung Pascalsches Dreieck
Arbeitsblatt 30 (TeX-Datei)
8. September

Thematischer Ausreißer: Satz von Pick

  • Begrüßung von zwei neuen Mitgliedern
  • Herleitung der Formel
  • Beweis der Formel für Quadrate
  • Rechtecke
  • rechtwinklige Dreiecke

Keine Hausaufgabe, da mitten im Beweis!

7. Juli–1. September Ausfall (größtenteils wegen der Sommerferien)
30. Juni 2016

Klassische Urnenprobleme II

  • Beweis der Vermutung vom letzten Mal über die n-te k-dimensionale Tetraederzahl
  • beispielhafte rekursive Berechnung einer solchen Zahl über das Pascalsche Dreieck
  • Erwähnung der Formel für Einträge im Pascalschen Dreieck und der Folgerung, dass die n-te k-dimensionale Tetraederzahl gleich n + k - 1 über k - 1 ist.
Hausaufgabe 29—Über die Ferien (TeX-Datei)
23. Juni 2016

Klassische Urnenprobleme I

Anzahl der möglichen Ergebnisse bei k-maligem Ziehen aus einer Urne mit n verschiedenen Kugeln …

  • … ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge (n!) mit Beweis
  • … ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge (n!) mit Beweis
  • … mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge („n über k“ := n!/((n-k)!*k!) mit Beweis
  • Vermutung, dass im Fall „mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge“ die Antwort die n-te k-dimensionale Tetraederzahl ist

Keine Hausaufgabe dieses Mal!

16. Juni 2016

Schätzen und Kombinieren

  • Verschiedene Schätzaufgaben
  • Anzahl der Kombinationen bei unabhängigen Auswahlmöglichkeiten
Hausaufgabe 28 (TeX-Datei)

Rekapitulation

9. Juni 2016

Rekapitulation Geometrie

  • Konzentrische Streckung
  • Euler-Gerade mit Beweis
Hausaufgabe 27 (TeX-Datei)
2. Juni 2016

Rekapitulation Module-Rechnung

  • Herleitung und Beweis der Teilbarkeitsregeln für 99, 999, …, 101, 1001, …
  • Nutzung zur Formulierung von Teilbarkeitsregeln für die Teiler 7, 13, 37, …
Hausaufgabe 26—Färbungen u. Ä. (TeX-Datei)

Zahlenmengen

Nebenher wollen wir ein wenig das Aufstellen und Lösen von Gleichungen trainieren.

26. Mai 2016

Zahlenbereiche Querbeet

  • Induktionsaufgabe
  • Kommadarstellung rationaler Zahlen

Keine Hausaufgabe dieses Mal!

19. Mai 2016

Zahlenbereiche Querbeet II

  • Irrationalität von Wurzeln
  • Peano-Axiome
Arbeitsblatt 25 (TeX-Datei)
12. Mai 2016

Reellen Zahlen

  • Überabzählbarkeit der reellen Zahlen

Keine Hausaufgabe dieses Mal!

5. Mai 2016 Himmelfahrt
28. April 2016

Rationale Zahlen

  • Ungleichungsumformung
  • Fraktale Blume mit Flächeninhaltsberechnung
Hausaufgabe 24 (TeX-Datei)
21. April 2016

Vollständige Induktion III, Mächtigkeit

  • Gleichungsumformung
  • Aufgabe zur Bestimmung der Anzahl der Gebiete, durch die die Ebene von n Geraden höchstens geteilt wird
  • Gleichmächtigkeit von ℕ, ℤ und ℚ
Hausaufgabe 23 (TeX-Datei)
14. April 2016

Vollständige Induktion II

  • Grundlagen des Gleichungsumformens
  • Induktion, intensiv
Hausaufgabe 22 (TeX-Datei)
7. April Semesterferienbedingter Ausfall
24. und 31. März 2016 Osterferien. Ab jetzt haben wir einen neuen Raum, den MA 645 (statt MA 144)!
17. März 2016

Vollständige Induktion I

  • Grundlagen des Gleichungsumformens
  • Erste Formulierung der Induktion
  • Nochmal: die Gaußsche Summenformel
Hausaufgabe 21 (TeX-Datei)

(Kombinatorische) Wettbewerbstricks und -aufgaben

10. März 2016

Verschiedene Aufgaben

  • Wieder viel Hausaufgaben-Besprechung
  • Formel für die Anzahl der Teiler einer Zahl abhängig von den Potenzen der Primfaktoren
  • Abstimmung über neues Thema mit dem Ergebnis Zahlenbereiche und nebenher Gleichungssysteme
Hausaufgabe 20 (TeX-Datei)
3. März 2016

Färbungen, Schubfachprinzip, Invarianten II

Hausaufgabe 19 (TeX-Datei)
25. Februar 2016

Färbungen, Schubfachprinzip, Invarianten

Hausaufgabe ist es, mindestens eine der Aufgaben vom Arbeitsblatt 18 (TeX-Datei) aufzuschreiben.

18. Februar 2016

Färbungen, Schubfachprinzip

  • Zwei typische Schachbrettaufgaben
  • Klassische Schubfachbeispiele
  • Aufgabe von fünf Maikäfern im gleichseitigen Dreieck
Hausaufgabe 17 (TeX-Datei)

Geometrie

11. Februar 2016

Mittelparallele und Seitenhalbierende

  • Charakterisierungen der Mittelparallele zweier paralleler Geraden
  • Länge der Mittelparallele im Dreieck
  • (Rekapitulation der) Beweise, dass sich Winkelhalbierenden, Mittelsenkrechten und Höhen in einem Punkt schneiden
  • Beweis, dass sich Seitenhalbierenden in einem Punkt schneiden
Hausaufgabe 16 (TeX-Datei)
4. Februar 2016 Winterferien
28. Januar 2016

Ähnlichkeit

  • Besprechung der zwei Aufgaben zu Sehnenvierecken
  • Ähnlichkeit von Drei- und Vierecken

Keine Hausaufgabe über die Ferien!

21. Januar 2016

Haus der Vierecke III

  • (Fast) alle Beweise für das Haus der Vierecke
  • zwei Aufgaben zu Sehnenvierecken
Hausaufgabe 15 (TeX-Datei)
14. Januar 2016

Haus der Vierecke II

  • Charakterisierungen von Vierecken über Eigenschaften von Winkeln und Strecken sowie über Symmetrien
  • Schiefspiegelung und schiefer Drachen
  • Einordnung von Sehnen- und Tangentenviereck
Hausaufgabe 14 (TeX-Datei)
7. Januar 2016

Haus der Vierecke I

  • Freiheitsgrade von Dreiecken und spezifischen Vierecken (Quadrat, Raute, Rechteck, Parallelogramm, Trapez, Drachen, allgemeines Viereck)
  • Vorbereitung des Hauses der Vierecke

Keine Hausaufgabe heute.

17. Dezember 2015

Weihnachts-Knobelstunde

  • Kurzer (ungeplanter) Exkurs zu komplexen Zahlen
  • verschiedene Knobelaufgaben, unter anderem 100 blauäugige Menschen auf einer Insel
Hausaufgabe 13 (TeX-Datei)
10. Dezember 2015

Peripheriewinkelsatz II

  • Verschiedene Lagebeziehungen zum Peripheriewinkelsatz betrachtet
  • Satz des Thales
  • Satz über gegenüberliegende Winkel von Sehnenvierecken
Hausaufgabe 12 (TeX-Datei)
3. Dezember 2015

Peripheriewinkelsatz I

  • Peripheriewinkelsatz mitsamt Beweis
Hausaufgabe 11 (TeX-Datei)
26. November 2015

Winkeljagden II

Von der Hausaufgabe 10 (TeX-Datei) soll erst einmal nur Aufgabe 3 gemacht werden, weil der Peripheriewinkelsatz erst nächste Woche kommt.

19. November 2015

Winkeljagden I

Hausaufgabe 9 (TeX-Datei)
12. November 2015

Grundlagen

  • Winkelsätze
  • Bezeichnungen im Dreieck
  • Innenwinkelsummensatz
  • Kongruenzsätze
  • Umkreismittelpunkt
  • Basiswinkel in gleichschenkligem Dreieck
  • Winkeljagden
Hausaufgabe 8 (TeX-Datei)

Modulo-Rechnung

5. November 2015
  • Kleiner Exkurs zu Induktion und Gaußscher Summenformel, Summe von Quadraten, Zweierpotenzen, etcetera

Keine Hausaufgabe, da wir leider davor zu lange gebraucht haben.

22., 29. Oktober 2015 Herbstferien
15. Oktober 2015

Teilbarkeitsregeln

  • Teilbarkeitsregeln für kleine Primzahlpotenzen: Zweierpotenzen (2, 4, 8, ...), 3, 9 und 11
  • Teilbarkeitsregeln für Produkte dieser Zahlen
Hausaufgabe 7 (TeX-Datei)
8. Oktober 2015

Die Modulo-Regel II, Teilbarkeitsregeln

  • Verschiedene Beispiel-Aufgaben zur Modulo-Rechnung, mit der allgemeinen Regel vom letzten Mal
  • anschauliches Besprechen verschiedener Teilbarkeitsregeln
Hausaufgabe 6 (TeX-Datei)
1. Oktober 2015

Die Modulo-Regel I

  • Definition für a ≡ b mod m über m teilt a − b
  • Beispielrechnungen
  • aus a ≡ b mod m und a' ≡ b' mod m folgt aa' ≡ bb' mod m
  • allgemeine Regel beim Vereinfachen modulo m
Hausaufgabe 5 (TeX-Datei)
24. September 2015

Motivation und Grundlagen

  • Letzte Stelle von 7100
  • Definition von Teilbarkeit
  • Division mit Rest
  • Definition von a ≡ b mod m über gleichen Rest von a und b beim Teilen durch m
Hausaufgabe 4 (TeX-Datei)

Aussagenlogik

17. September 2015

Wahrheitstafeln II

  • Negation von Wenn-Dann
  • Äquivalente Aussagen
  • Curry-Paradoxon
Hausaufgabe 3 (TeX-Datei)
10. September 2015

Wahrheitstafeln I

  • Kombination von Aussagen mit Nicht, Und, Oder, Wenn-Dann mit Wahrheitstafeln
Hausaufgabe 2 (TeX-Datei)
3. September 2015

Motivation

  • Was zählt als (mathematische) Aussage? Arbeitsblatt zur Aussagenlogik
Aussagenlogik Arbeitsblatt
Hausaufgabe 1