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Work in progress - Promotionsvorhaben Olaf Teschke
Seit September 1997 arbeite ich an meinem Promotionthema "Klassifikation von Vektorbündeln auf Doppelüberlagerungen des P3". Betreuer der Arbeit ist Prof. H. Kurke.
Programm:
Ziel der Arbeit ist das Studium der Modulräume von semistabilen Vektorbündeln auf Doppelüberlagerungen p: Z -> P3 des dreidimensionalen projektiven Raumes. Ein solches Vektorbündel E bestimmt ein Datum (p*E, y: p*E -> p*E(m)) mit y2=f * IdE, wobei V(f) der Verzweigungsort von p ist.
Im Fall von hyperelliptischen Kurven (also Doppelüberlagerungen des P1 sind von R.-O. Buchweiz ausgehend von den in [1] gezeigten Korrespondenzen die Moduli von Vektorbündeln auf der Kurve durch die auf P1 gegebenen Daten studiert worden. Ich versuche nun, diese Methoden auf den dreidimensionalen Fall zu erweitern.
Dabei habe ich nach der Einarbeitungsphase zunächst begonnen, nicht spaltende Vektorbündel mit verschwindenden Zwischenkohomologiegruppen H1,2(E(l)) zu untersuchen, für die nach dem Horrocks-Kriterium analog zum eindimensionalen Fall p*E eine direkte Summe von Linienbündeln ist. Sei der Grad der Verzweigungsfläche 2m, dann existieren für m>1 solche Bündel. So sind für m=2 die stabilen Vektorbündel vom Rang r=2 mit verschwindendem H1,2(E(l)) und ungerader erster Chernklasse bis auf Twist mit Linienbündel genau die stabilen Bündel mit c1(E)=-1, c2(E)=2 (mit der Identifikation Pic(Z)=< p*O(1) > = Z. Der Modulraum dieser Bündel ist eine 126 - fache Überlagerung des P3; die Bündel entsprechen via Serre-Korrespondenz genau den von I. Hadan in [2] betrachteten 63 eindimensionalen Familien von Geraden auf Z. Bei gerader erste Chernklasse erhält man semistabile Bündel mit c1(E)=0, c2(E)=1, die zu Bitangenten der Verzweigsquartik korrespondieren, sowie stabile Bündel mit c1(E)=0, c2(E)=2, die in Korrespondenz zu elliptischen Kurven vom Grad 4 im P3 stehen. Ich möchte versuchen, diese Moduli für allgemeines m und r möglichst ebenso explizit zu beschreiben.
Im allgemeinen Fall spaltet p*E nicht. Man kann jedoch p*E als Kohomologie einer Monade von Summen von Linienbündeln darstellen. Ich möchte untersuchen, wie die durch p induzierte Struktur auf die Monade liftet, und auf diese Weise den Modulraum über geometrische Invariantentheorie konstruieren.
Parallel dazu versuche ich, auf Kompaktifizierungen von speziellen in [3] (im Zusammenhang mit dem Kürzungs- und C* - Problem der affinen algebraischen Geometrie) betrachteten Doppelüberlagerungen des
Cn gerahmte Vektorbündel zu konstruieren, um die (Nicht)isomorphie dieser Räume zum Cn entscheiden zu können.
[1] R.-O. Buchweiz, F.-O.Schreyer: Intersection of two quadrics, hyperelliptic curves and their Clifford algebras; not published
[2] I.Hadan: Tangent Conics at Quartic Surfaces and Conics in Quartic Double Solids. Dissertation, Humboldt-Universität 1997
[3] Sh. Kaliman, M. Zaidenberg: Affine Modifications and affine hypersurfaces with a very transitive automorphism group; e-print, not yet published
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Hinweise und Kommentare bitte an:
teschke@mathematik.hu-berlin.de
Letzte Änderung: 17.07.1998