Inhalt
Elementare Wahrscheinlichkeitstheorie (LA/BA) WS 2011/12
Gliederung (aktuell/geplant)
Einleitung
I. Diskrete Wahrscheinlichkeitsmodelle
1. Zufällige Versuche und zufällige Ereignisse
zufällige Versuche
Verknüpfung von Ereignissen
Zusammenhang: Zufällige Ereignisse und Teilmengen
σ-Algebren (Potenzmengen)
2. Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen
Zufallsexperimente, Grundraum und zufällige Ereignisse
Axiomensystem der Wahrscheinlichkeitstheorie
einfache Folgerungen, Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten
Inklusions-Exklusions-Formel
3. Laplace Experimente, Elemente der Kombinatorik
(I) Permutation mit Wiederholung
(II) Permutation ohne Wiederholung
(III) Kombination ohne Wiederholung
(IV) Kombination mit Wiederholung
Beispiele:
4x Karte ziehen, A= "kein Bube"",
k Briefe rein zufällig auf n Fächer verteilen, A="ein Fach mit mehr als einem Brief"
Geburtstagsproblem (Paradox der ersten Kollision )
analog Lottosensation 1995
Fixpunkte einer zufälligen Permutation
Weitere "Urnen"-Modelle
4. Zufällige Größen und ihre Verteilungen
Zufallsgrößen als messbare Abbildungen,
Geometrische Verteilung
Indikatorvariablen
5. Eine Aufgabe der statistischen Qualitätskontrolle:
Hypothesenformulierung,
Entscheidungsregel
Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art und für Fehler 2. Art,
Hypergeometrische Verteilung, Annahmekennlinie
6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Unabhängigkeit von Ereignissen
bedingte Wahrscheinlichkeiten und ihre Eigenschaften
(Fatales) Beispiel: Mordprozess
Kopplung von Experimenten (Mehrstufige Experimente), Multiplikationsformel
Beispiel: Polyasches Urnenmodell
Formel der totalen Wahrscheinlichkeit
Bayessche Formel
Beispiele: HIV-Test
Interpretation bedingter Wahrscheinlichkeiten - Simpson Paradox (Berkley)
Unabhängigkeit
Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
Beispiel: Nutzung bei Vererbungsgesetzen
Beispiel: Vierfeldertafel
Produktexperimente
Unabhängigkeit von n Ereignissen
7. Bernoulli Kette, Binomialverteilung
Anwendungsbeispiele
Poissonscher Grenzwertsatz
Zusammenhang Hypergeometrische Verteilung und Binomialverteilung
8. Erwartungswert und Varianz von Zufallsgrößen
Erwartungswerte einer Zufallsgröße
Beispiele: geometrische Verteilung, "faire" 2-Personen Spiele, Nettoprämien
Eigenschaften des Erwartungswertes:
u.a. E(aX+b)=a E(X) +b, E(X+Y)=E(X)+E(Y)
Beispiel: Erwartungswertberechnung bei der Binomialverteilung,
(Nutzung des E-Wertes einer zuf. Indikatorvariablen)
Median und Quantile einer Verteilung, Schätzung eines Medians
Varianz einer Zufallsgröße
Berechnungsformeln
Eigenschaften
Beispiel: Binomialverteilung
Petersburger Paradox
Standardisierung von Zufallgrößen
9. Unabhängigkeit von Zufallsgrößen, Kovarianz und Korrelation
Gemeisame Verteilung von (X,Y) in tabellarischer Form
Randverteilungen
Beispiel: Kontingenztafeln,
Unabhängigkeit von n Zufallsgrößen
Eigenschaften unabhängiger Zufallsgrößen:
Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y), E(XY)=E(X) E(Y), Cov(X Y) = 0
Erwartungswert und Varianz des arithmetischen Mittels
von n unabhängigen, identisch verteilten (iid) Zufallsgrößen
Kovarianz und Korrelation
die optimale Approximation einer Zufallsgröße Y durch eine lineare Funktion von X
(bzgl. des minimalen Erwartungswertes der quadratischen Abweichung)
lineare Regression
Eigenschaften des Korrelationskoeffizienten
der Korrelationskoeffizient als Maß der linearen Abhängigkeit
empirischer Korrelationskoeffizient
10. Tschebyscheff-Ungleichung und das schwache Gesetz der großen Zahlen
Tschebyscheff-Ungleichung
Beispiel: "Stabilisierung" des arithmetischen Mittels
Anwendung bei Binomialverteilung
als Folgerung: Schwaches Gesetz der großen Zahlen
11. Statistische Verfahren zur Untersuchung einer unbekannten Wahrscheinlichkeit
Punktschätzungen bei einer Binomialverteilung
Schätzung eines Erwartungswerts
Konfidenzschätzungen mit Hilfe der Tschebyscheff-Ungleichung
(1-α)-Konfidenzbereiche
12. Das Testen von (einfachen) Hypothesen über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit
Ablehnebereich, Fehler 1. Art und Fehler 2. Art,
Signifikanztest, α-Test,
II. Allgemeine Wahrscheinlichkeitsmodelle
allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume (Borelsche σ-Algebra).
die Verteilungsfunktion F(z) = P( X ≤ z ) der Zufallsgröße X
Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit Dichten (1-dim)
ausgewählte Standardverteilungen mit Dichten:
Gleichmäßige Verteilung auf [0,1]
Exponentialverteilung (Weibullverteilung)
Normalverteilung, Standardnormalverteilung,
kσ-Bereiche einer Normalverteilung
2-dim Dichten (am Beispiel)
Kenngrößen einer Verteilung mit Dichte: Erwartungswert und Varianz
Unabhängigkeit von Zufallsgrößen
Faltungsformel für Dichten, Verteilung der Summe unabhängiger Zufallsgrößen
Beispiel: gleichmäßige Verteilung auf [0,1], Normalverteilung
die Normalverteilung als Verteilungsmodell beim Messen physikalischer Größen
Standardfragestellungen bei der Auswertung von Messungen:
Sicherheit, Genauigkeit, Stichprobenumfang
der Grenzwertsatz von Moivre-Laplace
Faustregel, Steigkeitskorrektur
Anwendungen
Zentraler Grenzwertsatz