Analysis und Geometrie auf
Mannigfaltigkeiten
Do 9-11 Uhr, RUD25, 1.013; Do 13-15
Uhr, RUD26, 1'304
English version
Vorlesender: Klaus Mohnke
Büro: Adlershof, Haus 1, Zimmer 306
Tel: (030) 2093 1814
Fax: (030) 2093 2727
Email: mohnke@mathematik.hu-berlin.de
Übung: Mi 9-11 Uhr, RUD 25, 3.007, Klaus Mohnke
Do 11-13 Uhr, RUD 25, 3.008 (außer am 9.11.: 1.315 !!), Nicolas
Roy
Sprechstunden: Mi 11-13, RUD25, 1.304 (Büro) und nach
Vereinbarung
Übungsblätter
Homework Set 1
Homework Set 2
Homework Set 3
Homework Set 4
Homework Set 5
Homework Set 6
Homework Set 7
Homework Set 8
Homework Set 9
Homework Set 10
Homework Set 11
Homework Set 12
Homework Set 13
Homework Set 14
Korrektur
Punktestand
Zur mündlichen Prüfung:
Fragenkatalog: kein Anspruch auf
Vollständigkeit
Ausgewählte Musterlösungen
CP1 und S2 sind diffeomorph (Homework Set 1)
Flüsse kommutierender Vektorfelder
kommutieren (Homework Set 3)
Rand
einer Mannigfaltigkeit (Homework Set 6)
Holonomie
auf S2
Aktuelle und behandelte Themen der Vorlesung:
Definition
(Atlanten, Differentialstruktur, Parametrisierungen, Karten,
Koordinaten,
Kartenübergänge, Beispiele),
Topologie
(offene und abgeschlossene Mengen, Umgebung, Stetigkeit,
Hausdorff-Eigenschaft),
Tangentialraum
(physikalisch, geometrisch, algebraisch),
Vektorfelder
(Lieklammer, Flüsse, Lieableitung),
Untermannigfaltigkeiten (Immersionen, Einbettungen, Beispiele,
Tangentialraum)
Quotientenräume (diskrete Gruppenwirkungen)
- Differentialformen und der Satz von Stokes
Multilinearformen (Wedge-Produkt, Hodge-Operator)
Differentialformen auf Rn
(Zurückziehen (Pull-back), äußeres Differential,
Lie-Ableitung, Cartan-Formeln)
deRham-Kohomologie, Poincaré-lemma)
Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten
Integration von
Differentialformen (Zerlegung der Eins, kompakter Träger, allgemein
Satz von Stokes
(Beweis, Fixpunktsatz von Brower)
Klassische
Integralsätze (Gaußscher Divergenzsatz, Greensche Formeln,
Stokesche Integralsätze)
Riemannsche
Metrik (Definition, Existenz, Länge einer Kurve, Winkel, Volumen)
Geodäten
(Euler-lagrange-Gleichungen des Längenfunktionals, Geodäaten
der euklidischen Ebene, der
Poincaré-Ebene, der Sphäre)
Parallelverschiebung (kovariante Ableitung, entlang von Abbildungen)
levi-Civita-Zusammenhang
(Definition, Existenz, Koszul-Formel, Christoffel-Symbole,
koordinatenfreie
Geodätengleichung )
Exponentialabbildung (Normalkoordinaten, Riemannsche Metrik in
Normalkoordinaten)
Lokale
Minimalität von Geodäten (Gauß-lemma)
Satz von Hopf
und Rinow
Literatur:
Mannigfaltigkeiten:
- M.P.do Carmo: Riemannian Geometry, Birkäuser1992
- V.Guillemin,A.Pollack: Differential Topology, Prentice-Hall 1974
- John Lee: Introduction to smooth manifolds, Springer
- Helga Baum: http://www.mathematik.hu-berlin.de/~baum/Skript/diffgeo1.pdf
Differentialformen und der Satz von
Stokes:
- I.Agricola,Th.Friedrich: Globale Analysis, Vieweg 2001
- M.Spivak: Calculus on Manifolds, Addison-Wesley 1965
- M.P.do Carmo: Differential Forms and Applications, Springer 1994
- O.Forster: Analysis 3. Integralrechnnung im Rn mit Anwendungen,
Vieweg 1989
Klaus Mohnke
Fr, 23. Februar 2007, 13:30