Inhalt
Mengen, logische Grundbegriffe und erste algebraische Strukturen, der
geordnete Körper R und Begriffe der Topologie,
konvergente Folgen und Reihen, Stetigkeit, Differenzialrechnung, Integration, Fourierreihen,
erste Schritte mit Differenzialgleichungen
Literatur
Bitte beachten Sie:
Die angegebenen Bücher dienen zur Orientierung und sollen die Vorlesung
nicht ersetzen. 1 und 2 stellen die Verbindung zu Themen der Informatik her, wärend die
anderen Texte in unmittelbarem Zusammenhang mit dem theoretischen Vorlesungsstoff stehen.
ÜBUNGSAUFGABEN (Abgabe jeweils nach der Vorlesung am Dienstag, z.Z. nur als
Papierexemplar - keine Diskette oder E-mail)
Für jede richtig gelöste Aufgabe erhalten Sie 10 Punkte. Mit einem * bezeichnete
Aufgaben sind fakultativ und werden insofern in die die Gesamtbewertung einbezogen, als
Sie dadurch mehr als 100 % erhalten können (aber dennoch keine bessere Note als 1).
Musterlösungen zu einzelnen Aufgaben sind nun unter Goya verfügbar.
Bitte beachten Sie: Einige Hörer haben sich nicht im System Goya angemeldet. In diesem Fall können für die gesamte Studiengruppe, bei der eine Immatrikulations-Nr. nicht akzeptiert wird, keine Punkte eingetragen werden.
| Serie 1 zum 29.10.02 PS , PDF | Serie 2 zum 5.11.02 PS , PDF | Serie 3 zum 12.11.02 PS , PDF | Serie 4 zum 19.11.02 PS , PDF |
| Serie 5 zum 26.11.02 PS , PDF | Serie 6 zum 3.12.02 PS , PDF | Serie 7 zum 10.12.02 PS , PDF | Serie 8 zum 17.12.02 PS , PDF |
| Serie 9 zum 7.1.03 PS , PDF | Serie 10 zum 14.1.03 PS , PDF | Serie 11 zum 21.1.03 PS , PDF | Serie 12 zum 28.1.03 PS , PDF |
EINIGE STICHPUNKTE ZUM STOFF (Aktualisierung nach den jeweiligen Vorlesungen):
15.10.02: Mathematik und Informatik - eine Motivation unter besonderer Berücksichtigung der Analysis
18.10.02: (naiver) Begriff der Menge, Elementbeziehung, Mengenbildung, Inklusion, Gleichheit, Mengenoperationen (Vereinigung, Durchschnitt, Differenz, Komplement), natürliche Zahlen, geordnete Paare, kartesisches Produkt
22.10.02: n-Tupel, Potenzmenge; Aussagen: Wahrheitswerte, Aussagenverbindungen und logische Äquivalenz (Wahrheitswerttabellen), klassische Schlussregeln (Kettenschluss, Abtrennungsregel, Fallunterscheidung, indirekter Beweis), Quantoren ("es existiert ein", "für alle"); Abbildungen (Quelle, Ziel, Bilder bzw. Urbilder entsprechender Teilmengen)
25.10.02: Pfeildiagramme und Wertetafeln für Abbildungen endlicher Mengen; injektive, surjektive und bijektive Abbildungen, Produkt (Hintereinanderausführung) von Abbildungen, Folgen in einer Menge und (allgemeiner, bei beliebiger Indexmenge) Familien von Elementen einer Menge, Durchschnitt und Vereinigung von Mengenfamilien, gleichmächtige Mengen (insbesondere Begriff der endlichen bzw. der abzählbaren Menge)
29.10.02: Kardinalzahl einer Menge (für unendliche Mengen nur im naiven Sinn), Ordnungsrelationen auf Mengen (Beispiele, obere und untere Schranken von Teilmengen, maximale und minimale Elemente, kleinste und größte Elemente), vergleichbare Elemente, vollständig geordnete Mengen; Äquivalenzrelationen (Beispiel: Quotientengleichheit)
1.11.02: Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilungen (z.B. in der Menge der Schüler einer Schule); Konstruktion der Menge Z der ganzen Zahlen mittels der Äquivalenzrelation der Differenzengleichheit auf NxN, Definition der Addition auf Z (Achtung, Falle: Warum ist die Definition sinnvoll?)
5.11.02: Konstruktion der rationalen Zahlen, Abzählbarkeit; Axiome der reellen Zahlen (Körpereigenschaften, Anordnungseigenschaften, Vollständigkeitsaxiom), Supremum (bzw. Infimum) einer nach oben (bzw. unten) beschränkten Menge reeller Zahlen
8.11.02: Beschreibung des Supremums, Satz des Archimedes, Rechnen mit reellen Zahlen, Ungleichungen, Existenz und Eindeutigkeit von Wurzeln (Beweis wird fortgesetzt)
12.11.02: Rechenregeln für Wurzeln nichtnegativer Zahlen, Bernoullische Ungleichung, komplexe Zahlen (Operationen, Eigenschaften)
15.11.02: Rechenregeln für Realteil, Imaginärteil, Betrag, Konjugation; metrische Räume: Beispiele, Umgebungen von Punkten, offene Mengen, innere Punkte einer Menge, Berührungspunkte, Randpunkte, abgeschlossene Mengen
19.11.02: Vereinigungen und endliche Durchschnitte offener Mengen. Intervalle; Konvergenz: Achilles und die Schildkröte, harmonische Reihe: Konvergenz auf dem Computer und Divergenz in der Mathematik, Begriff der Konvergenz und des Grenzwerts
22.11.02: Nullfolgen (auch: Grenzwert für Produkt einer Nullfolge mit einer beschränkten Folge), eigentliche Divergenz, Rechnen mit Grenzwerten von Folgen (Summe u. Produkt, Vielfachensumme, Quotient), Beispiel: Grenzwert eines Quotienten von Polynomen; Landausymbol O
26.11.02: Satz über die Konvergenz monotoner Folgen, Beispiel: eine schnell konvergierende Folge zur Bestimmung der Quadratwurzel; Intervallschachtelungen; Binärdarstellung reeller Zahlen
29.11.02: Häufungspunkte von Folgen, eine Löwenfang-Methode: Der Satz von Bolzano-Weierstraß, Cauchy-Folgen, Cauchy's Konvergenzkriterium; Begriff der Reihe
3.12.02: Cauchy's Konvergenzkriterium für Reihen und Anwendungen; absolute Konvergenz; Quotientenkriterium und Wurzelkriterium; Eigenschaften konvergenter Reihen
6.12.02: Umordnung absolut konvergenter Reihen, Cauchysche Produktreihe, Potenzreihen (Konvergenzradius, Multiplikation von Potenzreihen); das Exponential
10.12.02: Sinus und Kosinus (Eulersche Formeln und Reihenentwicklungen); stetige Abbildungen metrischer Räume (Begriff, erste Beispiele)
13.12.02: Häufungspunkt einer Menge (Achtung: nicht mit dem Begriff "Häufungspunkt einer Folge" verwechseln), Grenzwert einer Abbildung (einfache Beispiele), Stetigkeit und Folgenstetigkeit, erste Rechenregeln (Beispiel: Stetigkeit polynomialer Abbildungen)
17.12.02: Weitere Eigenschaften stetiger Abbildungen: Produkt und Verkettung; Stetigkeit rationaler Funktionen, Stetigkeit der Inversen einer injektiven stetigen Abbildung f:[a,b] -> R (auf im(f)); Zwischenwertsatz
20.12.02: einseitige Grenzwerte, das stetige Bild eines abgeschlossenen Intervalls [a,b] in R ist abgeschlossen, Satz von Weierstraß (Existenz von Maximum und Minimum einer stetigen Funktion auf [a,b] ); Begriff der Ableitung, Beispiele (insbesondere exp, sin, cos); Rechenregeln für die Ableitung (Beweise werden fortgesetzt)
7.1.03: Rechenregeln für die Ableitung von Funktionen (Fortsetzung); Satz von Rolle
10.1.03: erster und zweiter Mittelwertsatz der Differenzialrechnung, Entwicklung von Funktionen nach dem Taylorschen Satz (Restglied nach Lagrange)
14.1.03: unbestimmtes Integral (Begriff und erste Eigenschaften); Bestimmung von Grenzwerten mit der l'hospitalschen Regel, Monotonie und strenge Monotonie differenzierbarer Funktionen; Existenz der Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion: natürlicher Logarithmus, Exponentialfunktion und Logarithmus zu beliebiger Basis a>0; lokale Extremwerte differenzierbarer Funktionen (wird fortgesetzt)
17.1.03: hinreichende Bedingungen für lokale Extrema; weitere Eigenschaften von sin und cos (Definition der Zahl pi, Nullstellen, Periodizität)
21.1.03: Konvexität und Wendepunkte; Hinweis: Bitte beachten Sie die Änderung bei Aufgabe 12.4
24.1.03: riemannsches Integral einer beschränkten Funktion (Zerlegungen, Ober- und Untersummen, Ober- und Unterintegral, Integrierbarkeit); erste Rechenregeln für integrierbare Funktionen
28.1.03: Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit, Integrierbarkeit stetiger Funktionen
31.1.02: Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, Anmerkungen zur numerischen Integration, uneigentliche Integrale; Fourierreihen: Orthogonalitätsrelationen von cos(nx), sin (mx)
4.2.03: orthogonale und orthonormale Funktionenfamilien; gleichmäßige Konvergenz von Folgen und Reihen, cauchysches Kriterium für gleichmäßige Konvergenz, Weierstraß-Kriterium für die gleichmäßige Konvergenz einer Reihe
7.2.03: Stetigkeit einer gleichmäßig konvergenten Reihe stetiger Funktionen, Integration gleichmäßig konvergenter Reihen; Bestimmung der Koeffizienten einer Fourierreihe (notwendige Bedingung) nach Euler-Fourier; trigonometrische Interpolation ("diskrete Fouriertransformation")
11.2.03: ein Additionstheorem für Summe_m cos(mx); Bestimmung der Fourierkoeffizienten im diskreten Fall, auch am Beispiel; Konvergenzuntersuchung für Fourierreihen: dirichletsches Integral für die Partialsummen einer Fourierreihe; riemannsches Lokalisierungsprinzip (wird fortgesetzt)
14.2.03: Konvergenz der Fourierreihe gegen den Funktionswert in Spezialfällen; dynamische Systeme: Einführung und erstes Beispiel (Wachstumsgleichung).
TERMIN SEMESTERKLAUSUR: 17.2.2003, Beginn: 10.15 Uhr (Kinosaal, Hauptgebäude)
TERMIN NACHKLAUSUR (Wiederholung und Nachzügler): 25.4.03, Beginn: 13.30 (Raum
4.101, Adlershof)
DIE KLAUSUREN IST SIND PRÜFUNGEN, BITTE MELDEN SIE SICH RECHTZEITIG (MINDESTENS 14 TAGE VORHER) BEI DER STUDIENABTEILUNG IHRES INSTITUTS AN.
ÜBUNGSSCHEINE: Hier finden Sie die aktuelle Liste aller Teilnehmer, die Scheine (PS / PDF) erhalten (Voraussetzung für die Prüfungszulassung). Da es für die meisten Teilnehmer ausreicht, wenn die Liste bei der Studienabteilung vorliegt, werden einzelne Scheine nur auf Anforderung ausgestellt. Wer bereits ein diesbezügliches e-mail geschickt hat, kann den Schein zum Semesterbeginn bei der Studienabteilung abholen.
Bitte lesen Sie das INFORMATIONSBLATT (PS) (PDF), es gilt sinngemäß auch für die zweite Klausur (bis auf Einzelheiten zu den Aufgaben). Ein eigenes Exemplar erhalten Sie bei der Klausur.
KLAUSURAUSWERTUNG: Hinweise zu Lösungen. Die Auswertung erscheint hier nach Abschluß der Korrektur.
Einige Aufgabenblätter wurden ohne Namen und Immatr.Nr. abgegeben. Bitte melden Sie sich unter Angabe der betr. Aufgabe.
Falls Sie Ihre Klausur bereits während der Semesterpause einsehen wollen, setzen Sie sich bitte mit Frau Protzek in Verbindung, Tel 2093 1816.
NACHKLAUSUR 25.4.03:
Hier finden Sie Aufgaben und Lösungen
( PS ,
PDF ) und
die Auswertung
PS ,
PDF .