Aufgaben und Materialien zu dem Buch "Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I"

Aufgaben zu Kapitel II: Beweisen und Argumentieren

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Aufgabe II.1: Zwei Sehnen eines Kreises Schneiden sich zwei Sehnen eines Kreises, so ist das Produkt der Abschnitte der einen Sehne gleich dem der anderen. Beweisen Sie zunächst diesen Satz selbst. Hinweis: Zeigen Sie dazu, dass die Dreiecke ABS und CDS ähnlich sind. Der Beweis zielt zunächst nicht auf das Produkt von Streckenlängen, sondern auf einen Quotienten von Streckenlängen, der mittels der Ähnlichkeitssätze nachgewiesen werden kann. Analysieren Sie den Beweis: Welche Voraussetzungen werden benötigt? Welche besonderen Schwierigkeiten erwarten Sie bei diesem Beweis in Klasse 9? Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit für eine 9. Klasse, in deren Mittelpunkt diese Aufgabe steht. Denken Sie dabei an: Lernziele der Stunde, Einführung, Problemstellung und Problemlösung, Sicherung und Vertiefung. Anmerkung: Das Produkt zweier Streckenlängen lässt sich vielfach auch als Flächeninhalt eines Rechtecks visualisieren.

• Aufgabe II.2: Tangenten an einen Kreis

Analysieren Sie folgenden Satz:
Ist eine Gerade t Tangente an einen Kreis k mit dem Mittelpunkt M und ist A der Berührpunkt, so steht der Radius MA senkrecht auf t.

• Wie wird der Begriff "Tangente an einen Kreis" in der Sekundarstufe I (Klassenstufe 7 oder 8) üblicherweise eingeführt?
  
  
• Bilden Sie die Umkehrung des oben genannten Satzes. Formulieren Sie danach den Satz und seine Umkehrung zusammengefasst (unter Verwendung von "genau dann, wenn").
  
  
• Vergleichen Sie die Bedeutung des oben genannten Satzes und die seiner Umkehrung in Hinblick auf die Konstruktion von Kreistangenten. Geben Sie unter Nutzung des Satzes und/oder seiner Umkehrung eine Konstruktionsvorschrift für die Tangente an einen Kreis durch einen vorgegebenen Punkt des Kreises an.
  
  
• Geben Sie eine für die Altersgruppe geeignete anschauliche Begründung für die von Ihnen formulierte Umkehrung (unter Berufung auf Symmetrie) an.
  
  
• Führen Sie einen Beweis der von Ihnen formulierten Umkehrung, der auf Grundlagen basiert, die in den betreffenden Klassenstufen zur Verfügung stehen (Hinweis: Basiswinkelsatz, Innenwinkelsatz). Warum bietet sich hierbei ein indirekter Beweis an; wie lässt sich dies mit Schülerinnen und Schüler herausarbeiten?
  
  

• Aufgabe II.3: Tangentenviereck

Ein Viereck ist genau dann ein Tangentenviereck, wenn die Summe zweier Gegenseiten gleich der Summe der beiden anderen ist.

• Beweisen Sie diesen Satz (es sind zwei Richtungen zu beweisen).
  Notieren Sie genau, welche Voraussetzungen Sie für den Beweis benötigen.
  
  
• Wie würden Sie im Unterricht diesen Satz motivieren? Geben Sie in Stichworten einen unterrichtlichen Zugang zu diesem Satz an, d.h. schildern Sie, wie Sie die Unterrichtsstunde beginnen würden.
  
  

• Aufgabe II.4: Falten eines Tetraeders und anschließendes Beweisen

• Basteln Sie ein Tetraeder aus einem DIN-A4 Blatt gemäß Anleitung.
  
  
• Begründen Sie, warum das Dreieck ABC gleichseitig ist.
  
  
• Was können Sie an oder/und mit diesem Tetrader alles beweisen?
  Formulieren Sie eine Frage und geben Sie eine Beweisskizze dazu an.
  
  

• Aufgabe II.5: Finden geeigneter Hilfslinien als heuristische Strategie

• Sammeln Sie Beweise, die sich im Wesentlichen darauf stützen, dass die gegebene Figur durch geeignete Hilfslinien ergänzt wird.
  
  
• Untersuchen Sie Schulbücher daraufhin, wie dort diese Strategie erläutert wird.
  
  

• Aufgabe II.6: Verschiedene Beweise zum Satz von Pythagoras

Zum Satz von Pythagoras und seiner Umkehrung existiert eine Vielzahl unterschiedlichster Beweise.

• Sammeln Sie verschiedene Beweise (in Schulbüchern, in Lehrbüchern zur Elementargeometrie, in mathematikhistorischen Werken, ...) und stellen Sie diese einander gegenüber.
  
  
• Charakterisieren Sie die Beweise nach ihrer Anschaulichkeit einerseits und der Exaktheit des Argumentationsniveaus andererseits.
  
  

• Aufgabe II.7: Vergleich von Kongruenzbeweis und Abbildungsbeweis (I)

Ein Viereck ist genau dann ein Parallelogramm, wenn sich die Diagonalen halbieren.

• Geben Sie einen Kongruenzbeweis für diesen Satz an.
  
  
• Geben Sie einen Abbildungsbeweis für diesen Satz an.
  
  
• Vergleichen Sie beide Beweise. Erläutern Sie jeweils die Vor- und Nachteile beider Beweismethoden bei diesem Satz im Hinblick auf den Unterricht in Klasse 8.
  
  

• Aufgabe II.8: Vergleich von Kongruenzbeweis und Abbildungsbeweis (II)

Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.

• Geben Sie einen Kongruenzbeweis für diesen Satz an.
  
  
• Geben Sie einen Abbildungsbeweis für diesen Satz an.
  
  
• Vergleichen Sie beide Beweise. Erläutern Sie jeweils die Vor- und Nachteile beider Beweismethoden bei diesem Satz im Hinblick auf den Unterricht in Klasse 7 oder 8.
  
  

• Aufgabe II.9: Flächeninhalt eines Trapezes

• Beweisen Sie eine Formel für den Flächeninhalt des Trapezes auf zwei verschiedene Arten. Gehen Sie auf die Voraussetzungen für diese Beweise ein.
  
  
• Zeigen Sie, wie man durch funktionale Betrachtungen das Verständnis von Flächeninhaltsformeln vertiefen kann.
  
  
• Skizzieren Sie kurz die Entwicklung einer Unterrichtseinheit, in der eine Flächeninhaltsformel für das Trapez erarbeitet wird.