Differentialgeometrie und Topologie
Die Differentialgeometrie befasst sich mit geometrischen Objekten, die durch lokale Koordinaten gleichmäßig beschrieben werden können. Diese Objekte werden als glatte Mannigfaltigkeiten bezeichnet, so ist beispielsweise eine glatte Kurve eine 1-dimensionale Mannigfaltigkeit und eine Fläche eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit. Auf glatten Mannigfaltigkeiten beliebiger Dimension kann man verschiedene zusätzliche Strukturen betrachten, die geometrische Informationen kodieren. Zum Beispiel bestimmt in der Riemannschen Geometrie eine Riemannsche Metrik Abstände und Winkel. Man kann dann die Krümmung der Mannigfaltigkeit untersuchen und diese mit ihren Symmetrien oder ihren topologischen Eigenschaften in Beziehung setzen. Alternativ kann man die Geometrie über die "Schwingungsmoden" (d.h. das Spektrum) der Lösungen bestimmter partieller Differentialgleichungen untersuchen und so die klassische Frage der Spektralgeometrie verallgemeinern: "Kann man die Form einer Trommel hören?" Allgemeiner sind pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit einer Metrik ausgestattet, in der der Abstand positiv oder negativ sein kann, ein bedeutsamer Begriff in Einsteins Gravitationstheorie, der die Unterscheidung zwischen Raum und Zeit auf einer vereinheitlichten "Raumzeit"-Mannigfaltigkeit bestimmt. Eine andere Art von geometrischer Struktur findet sich auf symplektischen Mannigfaltigkeiten, die ursprünglich aus der Physik als natürlicher geometrischer Rahmen für die klassische Mechanik hervorgingen, in jüngerer Zeit aber zu einer Vielzahl algebraischer Strukturen geführt haben, die auch für die moderne mathematische Physik von Interesse sind. Die Verbindung zur Physik ist in der mathematischen Eichtheorie noch deutlicher, die partielle Differentialgleichungen aus der Quantenfeldtheorie verwendet, um die globale Struktur glatter Mannigfaltigkeiten zu untersuchen.
In vielen dieser Teilgebiete der Differentialgeometrie sind die interessantesten Fragen topologischer Natur -- d.h. sie betreffen eher globale als lokale Eigenschaften von Mannigfaltigkeiten -- und die leistungsfähigsten Methoden stammen aus der Geometrischen Analysis, d.h. der Untersuchung partieller Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten.
Das Spektrum der Themen, die in Forschung und Lehre an der HU behandelt werden, umfasst die folgenden Bereiche:
In vielen dieser Teilgebiete der Differentialgeometrie sind die interessantesten Fragen topologischer Natur -- d.h. sie betreffen eher globale als lokale Eigenschaften von Mannigfaltigkeiten -- und die leistungsfähigsten Methoden stammen aus der Geometrischen Analysis, d.h. der Untersuchung partieller Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten.
Das Spektrum der Themen, die in Forschung und Lehre an der HU behandelt werden, umfasst die folgenden Bereiche:
- Symplektische Mannigfaltigkeiten, Kontaktmannigfaltigkeiten und pseudoholomorphe Kurven
- Gromov-Witten-Invarianten, symplektische Feldtheorie
- Eichtheorie und Invarianten in der Differentialtopologie
- Mannigfaltigkeiten mit spezieller Holonomie
- Spektralgeometrie
- Geometrische Analysis und ihre Anwendungen in der Riemannschen Geometrie und in der Topologie
- Algebraische Topologie und niedrigdimensionale Topologie
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