Analysis und Geometrie auf Mannigfaltigkeiten

Do 9-11 Uhr, RUD25, 1.013; Do 13-15 Uhr, RUD26, 1'304

English version


Vorlesender
:  Klaus Mohnke
                           Büro: Adlershof, Haus 1,  Zimmer 306
                           Tel: (030) 2093 1814
                           Fax: (030) 2093 2727
                           Email:   mohnke@mathematik.hu-berlin.de
 

Übung:  Mi 9-11 Uhr, RUD 25, 3.007, Klaus Mohnke
              Do 11-13 Uhr, RUD 25, 3.008 (außer am 9.11.: 1.315 !!), Nicolas Roy
 

Sprechstunden: Mi 11-13, RUD25, 1.304 (Büro) und nach Vereinbarung



Übungsblätter

Homework Set 1
Homework Set 2
Homework Set 3
Homework Set 4
Homework Set 5
Homework Set 6
Homework Set 7
Homework Set 8
Homework Set 9
Homework Set 10
Homework Set 11
Homework Set 12
Homework Set 13
Homework Set 14


Korrektur

Punktestand

Zur m
ündlichen Pr
üfung:

Fragenkatalog: kein Anspruch auf Vollständigkeit


Ausgewählte Musterlösungen

CP1 und S2 sind diffeomorph (Homework Set 1)
Flüsse kommutierender Vektorfelder kommutieren (Homework Set 3)
Rand einer Mannigfaltigkeit (Homework Set 6)
Holonomie auf S2



Aktuelle und behandelte Themen der Vorlesung:
 

          Definition (Atlanten, Differentialstruktur, Parametrisierungen, Karten, Koordinaten,
                            Kartenübergänge, Beispiele),
          Topologie (offene und abgeschlossene Mengen, Umgebung, Stetigkeit, Hausdorff-Eigenschaft),
          Tangentialraum (physikalisch, geometrisch, algebraisch),
          Vektorfelder (Lieklammer, Flüsse, Lieableitung),
          Untermannigfaltigkeiten (Immersionen, Einbettungen, Beispiele, Tangentialraum)
          Quotientenräume (diskrete Gruppenwirkungen)
          Multilinearformen (Wedge-Produkt, Hodge-Operator)
          Differentialformen auf Rn (Zurückziehen (Pull-back), äußeres Differential, Lie-Ableitung, Cartan-Formeln)
          deRham-Kohomologie, Poincaré-lemma)
          Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten
          Integration von Differentialformen (Zerlegung der Eins, kompakter Träger, allgemein
          Satz von Stokes (Beweis, Fixpunktsatz von Brower)
          Klassische Integralsätze (Gaußscher Divergenzsatz, Greensche Formeln, Stokesche Integralsätze)
          Riemannsche Metrik (Definition, Existenz, Länge einer Kurve, Winkel, Volumen)
          Geodäten (Euler-lagrange-Gleichungen des Längenfunktionals, Geodäaten der euklidischen Ebene, der
          Poincaré-Ebene, der Sphäre)
          Parallelverschiebung (kovariante Ableitung, entlang von Abbildungen)
          levi-Civita-Zusammenhang (Definition, Existenz, Koszul-Formel, Christoffel-Symbole,
          koordinatenfreie Geodätengleichung )
          Exponentialabbildung (Normalkoordinaten, Riemannsche Metrik in Normalkoordinaten)
          Lokale Minimalität von  Geodäten (Gauß-lemma)
          Satz von Hopf und Rinow



Literatur:

Mannigfaltigkeiten:
  1. M.P.do Carmo: Riemannian Geometry, Birkäuser1992
  2. V.Guillemin,A.Pollack: Differential Topology, Prentice-Hall 1974
  3. John Lee: Introduction to smooth manifolds, Springer
  4. Helga Baum: http://www.mathematik.hu-berlin.de/~baum/Skript/diffgeo1.pdf
Differentialformen und der Satz von Stokes:
  1. I.Agricola,Th.Friedrich: Globale Analysis, Vieweg 2001
  2. M.Spivak: Calculus on Manifolds, Addison-Wesley 1965
  3. M.P.do Carmo: Differential Forms and Applications, Springer 1994
  4. O.Forster: Analysis 3. Integralrechnnung im Rn mit Anwendungen, Vieweg 1989





Klaus Mohnke
Fr, 23. Februar  2007, 13:30