Aktuelles
Die Vorlesung am 12.11. fällt aufgrund einer Dienstreise aus und wird stückweise nachgeholt werden.
Kursbeschreibung
Orte und Zeiten:
Mo 14:30-16:00 Uhr in RUD25-4.007, Do 9-11 Uhr in RUD25-3.008, Übung Do 11-13 Uhr in RUD25-3.008.
Die Vorlesung beschäftigt sich mit Mathematischer Relativitätstheorie, Elektrodynamik und Yang-Mills-Theorien. In der Relativitätstheorie
werden die geometrischen Eigenschaften von Raum und Zeit durch ein einziges Objekt, eine Lorentzsche Mannigfaltigkeit, beschrieben.
Der Unterschied zu einer Riemannschen Mannigfaltigkeit ist, dass die Bilinearform nicht mehr positiv-definit ist, sondern von Signatur (1,n-1).
Auf diesen Mannigfaltigkeiten werden die physikalischen Feldgleichungen z.B. der Elektrodynamik beschrieben. Diese haben die Form von Yang-Mills-Theorien,
die eine interessante Anwendung der Theorie der Prinzipalbündel darstellen. Schlussendlich wird dann auch die Metrik zu einer dynamischen Variable,
die bestimmten Feldgleichungen, den Einstein-Gleichungen, folgt. Die Vorlesung wird folgendermaßen gegliedert sein:
1. Grundlegendes über Lorentzmannigfaltigkeiten und Kausalität
2. Cauchyflächen, Zeitfunktionen, analytische Bedeutung für symmetrisch-hyperbolische Systeme, Yang-Mills-Theorien
3. Geodätische: Existenz einer maximalen Geodätischen für kausal relationierte Punkte, Limit Curve Lemma, Beispiele für (Un-)Vollständigkeit und Maximalität. Maximale Hyperflächen
4. Die Einstein-Wirkung und die Einstein-Gleichung. Explizite Lösungen der Einstein-Gleichung: Die Schwarzschild-Raumzeit, ihre Erweiterungen und ihre Eindeutigkeit (Birkhoff-Theorem), die Kerr-Newman-Familie, FLRW-Raumzeiten
5. Energiebedingungen für Materiemodelle und Singularitätentheoreme
6. Asymptotische Flachheit, konforme Kompaktifizierungen und Positive-Energy-Theoreme
7. Stationäre Lösungen, Eindeutigkeit (Keine-Haare-Theoreme) und Stabilität
8. Struktur des Raumes der Anfangswerte, die Konforme Methode, Klebekonstruktionen, Stabilität und Slice-Theoreme
Erforderliche Vorkenntnisse: Lineare Algebra I-II, Analysis I-IV, Differentialgeometrie I. Wünschenswert ist außerdem ein Vorwissen zu Differentialgleichungen.
Das Skript zur Vorlesung wird wöchentlich aktualisiert auf diese Seite gestellt werden.
Hier finden Sie einen von Frau Jurja ausgearbeiteten Beweis der inversen Cauchy-Schwarz-Ungleichung, der im Gegensatz zu dem Beweis in der Vorlesung keine zusätzliche Idee benötigt (aber dafür etwas länger ist). B(z,z) <=0 folgt hier aus der Aussage von Th. 1.3 (ii) (dem Teil (i 1/2) aus der Vorlesung). Die letzte Ungleichung in Frau Jurjas Beweis funktioniert wegen B(v,v) <=0.
Hier finden Sie einen von Herrn Phan ausgearbeitete Lösung der Aufgabe 6.2 (Beweis des Theorems 2.39)
Kriterien zur Erlangung der 5LP: Bestehen der Klausur. Es wird jedoch dringend empfohlen, dass die Teilnehmer regelmäßig die Übungsaufgaben lösen; diese werden auf Anfrage vom Dozenten korrigiert. Zusätzliche Präsenzaufgaben werden in den Übungen bearbeitet werden.
Erstprüfung: 18.2., 9:00-12:00, Zweitprüfung: 29.3., 9:00-12:00
Literatur:
Die folgende Auswahl ist etwas willkürlich, aber jedes der aufgeführten Bücher bietet eine verlässliche Grundlage, die jedoch nicht immer alle in diesem Kurs behandelten Themen abdeckt:
C. Bär, Lorentzgeometrie-Skript, 2006.
J. Beem, P. Ehrlich, K. Easley, Global Lorentzian Geometry, CRC Press, 1996.
A. Besse, Einstein Manifolds, Springer Verlag, 2008, reprint of the 1987 edition.
O'Neill, Semi-Riemannian Geometry with Applications to Relativity, Academic Press, 1983.
Course description
The course gives an introduction to the topic of Lorentzian geometry, mathematical relativity, electrodynamics and Yang-Mills Theories. In the theory of relativity, geometric features of space and time are described by a soingle object: the spacetime. The difference to a Riemannian manifold is the signature (1,n-1) of the used bilinear form, as opposed to the signature (0,n) in the Riemannian case. On such an object, a Lorentzian manifold, the physical field equations of electrodynamics and other fundamental theories can be defined. Many have the form of Yang-Mills theories, which are an interesting application of the theory of principal bundles. In the end, the metric itself is also treated as a dynamical variable subject to the so-called Einstein equations. The course will be structured as follows:
1. Foundations of Lorentzian manifolds and causality
2. Cauchy surfaces, time functions, analytical consequences for symmetric hyperbolic systems, Yang-Mills Theories
3. Geodesics: existence of a maximal geodesic between causally related points, Limit Curve Lemma, Examles for (in)completeness and maximality. Maximal hypersurfaces
4. Einstein action, Einstein‘s equation and its explicit solutions: Schwarzschild spacetime, its extensions and its uniqueness (Birkhoff's Theorem), the Kerr-Newman family FLRW spacetimes
5. Energy conditions for matter models and singularity theorems
6. Asymptotic flatness, conformal compactifications and Positive-Energy Theorems
7. Stationary solutions, uniqueness (no-hair theorrems) and stability
8. Structure of the space of initial values, the conformal method, gluing constructions, stability and Slice Theorems
The script will be supplemented every week.
Passed exams you will need: Linear Algebra I-II, Analysis I-IV, Differential Geometry I. Additionally, some previous knowledge of differential equations is desirable.
Criteria to obtain the 5LP: Passing the written exam at the end of the course. It is however strongly recommended to solve constantly the exercises, which I am going to correct on demand. Additional ex-tempore exercises will be treated in the exercise sessions.
Time and Place of the first exam: TBA, time and place of the second exam: TBA.
Recommended Literature:
The following selection is admittedly a bit arbitrary, but each of the listed books provides a good foundation for most of the topics treated:
C. Bär, Lorentzgeometrie-Skript, 2006, available online.
J. Beem, P. Ehrlich, K. Easley, Global Lorentzian Geometry, CRC Press, 1996.
A. Besse, Einstein Manifolds, Springer Verlag, 2008, reprint of the 1987 edition.
O'Neill, Semi-Riemannian Geometry with Applications to Relativity, Academic Press, 1983.
Übungsaufgaben:
Übungsblatt 1
Übungsblatt 2
Übungsblatt 3
Übungsblatt 4
Übungsblatt 5
Übungsblatt 6
Übungsblatt 7
Übungsblatt 8
Übungsblatt 9
Übungsblatt 10
Übungsblatt 11
Übungsblatt 12
Übungsblatt 13
Übungsblatt 14