DGI-SS09

Prof. Dr. Helga Baum
Lehrveranstaltungen SS 2009

Vorlesung: Differentialgeometrie I
(Einführung in die Riemannsche Geometrie)

Inhalt der Vorlesung:

Die Vorlesung gibt eine Einführung in die Differentialgeometrie auf Mannigfaltigkeiten, insbesondere in die Riemannsche Geometrie. Wir werden folgende Themen behandeln:

Riemannsche und pseudo-Riemannsche Metriken,
Längen, Winkel und Volumen für (pseudo-)Riemannsche Mannigfaltigkeiten
Isometrien und konforme Abbildungen
kovariante Ableitungen und Levi-Civita-Zusammenhang
Krümmungstensoren (pseudo-)Riemannscher Mannigfaltigkeiten
Einsteinräume
Geodätische Linien und Abstände, Der Satz von Hopf-Rinow
Exponentialabbildung, Jacobifelder und Variation von Geodäten
Die Beziehung zwischen Topologie und Krümmungen Riemannscher Mannigfaltigkeiten: Satz von Gauß-Bonnet, Satz von Hadamard, Satz von Bonnet-Myers, Satz von Synge-Weinstein, Räume konstanter Krümmung
Geometrie isometrischer Immersionen

Für Interessenten findet ein Seminar zum Thema Holonomiegruppen Riemannscher Mannigfaltigkeiten statt, in dem die in der Vorlesung behandelten Begriffe angewendet und vertieft werden.

Voraussetzungen für die Vorlesung:

Ich werde voraussetzen, dass Sie wissen, was differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind und Grundbegriffen der Differential- und Intergralrechnung auf Mannigfaltigkeiten kennen (insbesondere differenzierbare Abbildungen, Tangentialraum, Differential einer differenzierbaren Abbildung, Vektor- und Tensorfelder, Rechnen mit Differentialformen) . Eine gute Vorbereitung sind meine Analysis IIIa-Vorlesung (Analysis auf Untermannigfaltigkeiten) aus dem WS 07/08 (man ersetze hier den Begriff der Untermannigfaltigkeit durch den der (abstrakten) Mannigfaltigkeit und die Definition des Tangentialraumes durch diejenige für (abstrakte) Mannigfaltigkeiten. Alles andere läßt sich dann wörtlich auf abstrakte Mannigfaltigkeiten übertragen.
Diejenigen Studenten, die die Vorlesung über Analysis auf Mannigfaltigkeiten aus dem WS 08/09 nicht gehört haben, lesen sich bitte Kapitel 1 (Topologische Räume) und Kapitel 2 (Differenzierbare Mannigfaltigkeiten) aus meinem Skript über Differentialgeometrie durch.

Die erste Übung am 15.04. werde ich dazu nutzen, einige der Voraussetzungen zu wiederholen. Bei Bedarf können wir dann ggf. eine zusätzliche Besprechung/Übung dazu vereinbaren.

Termine:

Vorlesung:   Mittwoch     09:15 - 10:45,   Raum RUD 26, 0.311   (Beginn: 15.04.09)
                     Donnerstag 11:00 - 12:30,   Raum RUD 26, 1.304

Übung:       Mittwoch 11:15 - 12:45,   Raum RUD 25, 3.006   (Beginn: 15.04.09)

Übungsaufgaben zur Vorlesung:

Aufgaben	Abgabetermin
Blatt 1	22.04.09
Blatt 2	29.04.09
Blatt 3	06.05.09
Blatt 4	13.05.09
Blatt 5	20.05.09
Blatt 6	27.05.09
Blatt 7	03.06.09
Blatt 8	10.06.09
Blatt 9	17.06.09
Blatt 10	24.06.09
Blatt 11	01.07.09
Blatt 12	08.07.09

Modulprüfung:

Die Modulprüfung findet als mündliche Prüfung statt.
Termine: 30.07.09 und 31.07.09
05.10.09 und 06.10.09

Letzte Änderung: 09.04.2009