Vorlesung Differentialgeometrie I

Aktuelles

Am 22.2. um 10:00 findet eine Sprechstunde zur Prüfungsvorbereitung statt, in der Sie Fragen zur Vorlesung stellen können.
Treffpunkt: RUD 25, Raum 1.307

Ihre Prüfungszeit können Sie den aktuellen Prüfungslisten auf der homepage des Instituts (unter Lehre) entnehmen.

Inhalt der  Vorlesung

Die Differentialgeometrie beschreibt und untersucht die geometrischen Eigenschaften gekrümmter Räume mit Methoden der Differentialrechnung. Die betrachteten Räume sind hier nur noch lokal durch reelle Koordinaten zu beschreiben. Beispiele sind gekrümmte Flächen im Euklisdischen Raum oder auch abstraktere Gebilde wie zum Beispiel projektive Räume oder kosmologische Modelle, die in der allgemeinen Relativitätstheorie benutzt werden.

In der Vorlesung werden zunächst die grundlegenden Begriffe und Methoden der Differentialgeometrie eingeführt (wie differenzierbare Mannigfaltigkeiten, Vektor- und Tensorfelder). Darauf aufbauend wird eine Einführung in die Riemannsche Geometrie gegeben. Mit Hilfe einer Riemannschen Metrik auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit kann man geometrische Eigenschaften wie die Länge von Kurven,  Schnittwinkel, Volumen von Teilmengen, Parallelverschiebung - die man für den Euklidischen Raum kennt - auch für Riemannsche Mannigfaltigkeiten definieren. Ein besonderes Augenmerk legen wir auf die Beschreibung von Krümmungseigenschaften Riemannscher Mannigfaltigkeiten. Es ist eine zentrale Fragestellung der Differentialgeometrie, inwieweit  (lokal meßbare) Krümmungsgrößen Aussagen über die globale Gestlalt der Mannigfaltigkeit zulassen.  Ein weiterer Schwerpunkt der Vorlesung  werden die geodätischen Linien auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten sein, die die Geraden im Euklidischen Raum und ihre Eigenschaften verallgemeinern.

Insbesondere werden wir folgende Themen behandeln:

• Topologische Räume (sofern sie den Hörern noch nicht bekannt sind)
  
• Differenzierbare Mannigfaltigkeiten (Immersionen, Einbettungen und Submersionen, Vektorfelder und Flüsse, Tensorfelder)
  
• Grundbegriffe der Riemannschen Geometrie (Metriken, Isometrien und konforme Abbildungen, kovarianten Ableitungen und Parallelverschiebung, Krümmungen von Kurven, Flächen und Riemannschen Mannigfaltigkeiten, geodätische Linien und Abstände, Satz von Hopf-Rinow)
  

Termine

Übungsaufgaben

• B. O'Neill: Semi-Riemannian Geometry with Applications to General Relativity, Academic Press, 1983
• M. Do Carmo: Riemannian Geometry. Birkhäuser, 1992
  
• W. Kühnel: Differentialgeometrie: Kurven - Flächen - Mannigfaltigkeiten. 5. Auflage, Vieweg-Teubner, 2010 
  

Hier ist ein  Skript "Differentialgeometrie"  aus vergangenen Vorlesungen, an dem Sie sich ebenfalls orientieren können.
(Skripte sind kein Ersatz für den regelmäßigen Besuch der Vorlesung und auch keine Lehrbücher. Das angegebene Skript haben Studenten geschrieben und ist von mir nicht korrigiert worden).